The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Перекладач: Oksana Hoynyak Утверджено: serhij hajdaj

So why do we learn mathematics?

Чому ми вивчаємо математику?

Essentially, for three reasons:

По суті - з трьох причин:

calculation,

обчислення,

application,

функціональне застосування

and last, and unfortunately least

і, останнє, на жаль, найменш значиме

in terms of the time we give it,

з тієї точки зору, яку ми розглядаємо,

inspiration.

натхнення.

Mathematics is the science of patterns,

Математика - це наука шаблонів,

and we study it to learn how to think logically,

ми вивчаємо її, щоб думати логічно,

critically and creatively,

критично та креативно,

but too much of the mathematics that we learn in school

але забагато математики, яку ми вивчаємо у школі,

is not effectively motivated,

не має ефективної мотивації,

and when our students ask,

і коли студенти запитують,

"Why are we learning this?"

"Для чого ми це вчимо?",

then they often hear that they'll need it

вони часто чують, що їм це буде потрібно

in an upcoming math class or on a future test.

на наступному занятті чи майбутньому тесті.

But wouldn't it be great

Але чи не було б це чудово,

if every once in a while we did mathematics

якби ми вивчали математику

simply because it was fun or beautiful

просто тому, що це весело чи прекрасно

or because it excited the mind?

або тому, що вона зацікавлює нас?

Now, I know many people have not

Я знаю, що багато людей не мали

had the opportunity to see how this can happen,

можливості бачити, як це може статися,

so let me give you a quick example

тому дозвольте мені надати вам приклад

with my favorite collection of numbers,

з моєї улюбленої числової послідовності

the Fibonacci numbers. (Applause)

чисел Фібоначчі. (Оплески)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

О так! Бачу тут присутні фани Фібоначчі.

That's great.

Чудово.

Now these numbers can be appreciated

Ці числа можна визначити

in many different ways.

по-різному.

From the standpoint of calculation,

З точки зору обчислення,

they're as easy to understand

їх легко зрозуміти

as one plus one, which is two.

як один плюс один, що дає два.

Then one plus two is three,

Тоді один плюс два дає в результаті три,

two plus three is five, three plus five is eight,

два плюс три - п'ять, три плюс п'ять - вісім,

and so on.

і так далі.

Indeed, the person we call Fibonacci

Насправді, людину, яку ми називаємо Фібоначчі,

was actually named Leonardo of Pisa,

звали Леонардо Пізанський,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

і ці числа з'являються у його праці "Книга абака" (рахування),

which taught the Western world

яка навчила західний світ

the methods of arithmetic that we use today.

методів арифметики, що їх ми використовуємо сьогодні.

In terms of applications,

З погляду застосування

Fibonacci numbers appear in nature

числа Фібоначчі з'являються у природі

surprisingly often.

дивовижно часто.

The number of petals on a flower

Кількість пелюстків квітки

is typically a Fibonacci number,

є, як правило, числом Фібоначчі,

or the number of spirals on a sunflower

або кількість спіралей соняшника

or a pineapple

чи ананаса

tends to be a Fibonacci number as well.

є також числом Фібоначчі.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Існує чимало інших застосувань чисел Фібоначчі,

but what I find most inspirational about them

але найцікавіші, як на мене,

are the beautiful number patterns they display.

це неймовірні числові моделі, що їх вони відображають.

Let me show you one of my favorites.

Дозвольте вам показати одну з моїх улюблених.

Suppose you like to square numbers,

Припустимо, ви любите підносити числа до квадрату,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

і чесно кажучи, хто не любить? (Сміх)

Let's look at the squares

Подивімось на квадрати

of the first few Fibonacci numbers.

перших кількох чисел Фібоначчі.

So one squared is one,

Отже, один у квадраті становить один,

two squared is four, three squared is nine,

два в квадраті - чотири, три в квадраті - дев'ять,

five squared is 25, and so on.

п'ять в квадраті - 25 і так далі.

Now, it's no surprise

Ми знаємо,

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

що коли додати послідовні числа Фібоначчі,

you get the next Fibonacci number. Right?

ми отримаємо наступне число Фібоначчі. Правильно?

That's how they're created.

Так вони утворюються.

But you wouldn't expect anything special

Однак ви не будете очікувати нічого особливого,

to happen when you add the squares together.

додаючи квадрати цих чисел.

But check this out.

Але перевірмо.

One plus one gives us two,

Один плюс один дає нам два,

and one plus four gives us five.

один плюс чотири дає п'ять.

And four plus nine is 13,

І чотири плюс дев'ять - тринадцять,

nine plus 25 is 34,

дев'ять плюс двадцять п'ять - тридцять чотири,

and yes, the pattern continues.

і так, послідовність продовжується.

In fact, here's another one.

Фактично, є ще одна.

Suppose you wanted to look at

Припустимо, ви хочете глянути на

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

суму квадратів перших кількох чисел Фібоначчі.

Let's see what we get there.

Подивімось, що ми отримаємо.

So one plus one plus four is six.

Отож, один плюс один плюс чотири становить шість.

Add nine to that, we get 15.

Додавши дев'ять, отримуємо 15.

Add 25, we get 40.

Додаємо 25, отримуємо 40.

Add 64, we get 104.

Додаємо 64, отримуємо 104.

Now look at those numbers.

Тепер подивимось на ці числа.

Those are not Fibonacci numbers,

Це не числа Фібоначчі,

but if you look at them closely,

але якщо придивитись ближче,

you'll see the Fibonacci numbers

можна побачити числа Фібоначчі,

buried inside of them.

приховані всередині них.

Do you see it? I'll show it to you.

Ви бачите їх? Я вам покажу.

Six is two times three, 15 is three times five,

Шість - це двічі по три, п'ятнадцять - це тричі по п'ять,

40 is five times eight,

сорок - це п'ять разів по вісім,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

два, три, п'ять, вісім, кому ми маємо завдячувати?

(Laughter)

(Сміх)

Fibonacci! Of course.

Фібоначчі! Звичайно.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Страшенно весело знаходити ці схеми,

it's even more satisfying to understand

та ще більше задоволення приносить розуміння того,

why they are true.

чому вони справджуються.

Let's look at that last equation.

Поглянемо на це останнє рівняння.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Чому квадрати одиниці, одиниці, двох, трьох, п'яти, і восьми

add up to eight times 13?

дорівнюють вісім разів по тринадцять?

I'll show you by drawing a simple picture.

Я вам покажу, намалювавши просту картинку.

We'll start with a one-by-one square

Ми почнемо з квадратика один-на-один

and next to that put another one-by-one square.

і біля нього розмістимо ще один такого ж розміру.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Разом вони формують прямокутник розміром один на два.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Під ним я розміщу квадрат два-на-два

and next to that, a three-by-three square,

і біля нього ще один розміром три-на-три,

beneath that, a five-by-five square,

під ними квадрат п'ять-на-п'ять,

and then an eight-by-eight square,

і потім ще один вісім-на-вісім,

creating one giant rectangle, right?

тим самим створивши величезний прямокутник, правильно?

Now let me ask you a simple question:

Зараз дозвольте поставити просте запитання:

what is the area of the rectangle?

яка площа цього прямокутника?

Well, on the one hand,

З одного боку,

it's the sum of the areas

це сума площ

of the squares inside it, right?

квадратів, які знаходяться всередині, чи не так?

Just as we created it.

Так, як ми його і створили.

It's one squared plus one squared

Це один у квадраті плюс один у квадраті

plus two squared plus three squared

плюс два у квадраті плюс три у квадраті

plus five squared plus eight squared. Right?

плюс п'ять у квадраті плюс вісім у квадраті. Так?

That's the area.

Це площа.

On the other hand, because it's a rectangle,

З іншого боку, оскільки це прямокутник,

the area is equal to its height times its base,

площа є рівною добутку висоти на основу,

and the height is clearly eight,

висота дорівнює, зрозуміло, вісім

and the base is five plus eight,

і основа - п'ять плюс вісім,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

що є наступним числом Фібоначчі, 13. Правильно?

So the area is also eight times 13.

Отже, площа дорівнює також вісім помножити на тринадцять.

Since we've correctly calculated the area

Так як ми правильно розрахували площу

two different ways,

двома способами,

they have to be the same number,

вони мусять бути рівні,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

а тому квадрати одиниці, одиниці, двох, трьох, п'яти та восьми

add up to eight times 13.

дорівнюють добутку восьми та тринадцяти.

Now, if we continue this process,

Тепер, якщо ми продовжимо цей процес,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

ми створимо прямокутник розміром 13 на 21,

21 by 34, and so on.

21 на 34, і так далі.

Now check this out.

Тепер це перевіримо.

If you divide 13 by eight,

Якщо ви поділите 13 на 8,

you get 1.625.

то отримаєте 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

І якщо ви поділите більше число на менше,

then these ratios get closer and closer

то ці відношення будуть все ближчими

to about 1.618,

приблизно до 1,618,

known to many people as the Golden Ratio,

число, знайоме багатьом як Золотий перетин,

a number which has fascinated mathematicians,

число, яке зачаровувало математиків,

scientists and artists for centuries.

науковців та митців протягом століть.

Now, I show all this to you because,

Я показую вам це все тому, що

like so much of mathematics,

як і багато іншого у математиці,

there's a beautiful side to it

це її цікава сторона,

that I fear does not get enough attention

яка, боюсь, не отримує достатньо уваги

in our schools.

у наших школах.

We spend lots of time learning about calculation,

Ми витрачаємо багато часу, вивчаючи обчислення,

but let's not forget about application,

але не забуваймо про застосування,

including, perhaps, the most important application of all,

зокрема, мабуть, найважливіше застосування,

learning how to think.

яке вчить, як думати.

If I could summarize this in one sentence,

Якби я міг підсумувати все одним реченням,

it would be this:

воно б виглядало так:

Mathematics is not just solving for x,

Математика - це не просто інструмент для знаходження x,

it's also figuring out why.

вона також для розуміння - чому.

Thank you very much.

Щиро Вам дякую.

(Applause)

(Оплески)