The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

번역: Kwangmin Lee 검토: Tae Young Choi

So why do we learn mathematics?

우리가 수학을 배우는 이유는 무엇일까요?

Essentially, for three reasons:

기본적으로 세가지 이유가 있습니다:

calculation,

계산,

application,

응용,

and last, and unfortunately least

마지막으로, 현재로서는 유감스럽게도

in terms of the time we give it,

가장 비중이 낮은

inspiration.

영감입니다.

Mathematics is the science of patterns,

수학은 규칙의 학문입니다.

and we study it to learn how to think logically,

이를 연구하는 이유는 논리적이고 정확하며 창의적으로

critically and creatively,

생각하는 힘을 기르기 위해서인데

but too much of the mathematics that we learn in school

학교에서 배우는 수학은

is not effectively motivated,

동기 부여에 약하기 때문에

and when our students ask,

학생들이 "우리가 왜 이걸 배워야 해?"

"Why are we learning this?"

라고 물으면,

then they often hear that they'll need it

그들이 듣는 답은 다음 수학 시간이나

in an upcoming math class or on a future test.

시험에 나오기 때문이라는 게 전부입니다.

But wouldn't it be great

그러나 때때로 수학을 그저

if every once in a while we did mathematics

재미있거나 경이로워서

simply because it was fun or beautiful

아니면 흥미를 유발해서 배우게 된다면

or because it excited the mind?

굉장하지 않을까요?

Now, I know many people have not

자, 저는 많은 사람들에게

had the opportunity to see how this can happen,

이런 일이 일어난 적이 없었다는 것을 잘 알고 있습니다.

so let me give you a quick example

그래서 제가 가장 좋아하는 수 배열인

with my favorite collection of numbers,

피보나치 배열로

the Fibonacci numbers. (Applause)

예를 들어보겠습니다. (박수)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

이미 피보나치 배열에 대해 아시는 분들이 많군요!

That's great.

좋습니다.

Now these numbers can be appreciated

자, 이 수의 배열은 다양한 이유로

in many different ways.

인기가 많습니다.

From the standpoint of calculation,

계산의 관점에서 보면 이것은

they're as easy to understand

다음과 같이 이해하기 쉬운데

as one plus one, which is two.

1 더하기 1은 2,

Then one plus two is three,

1 더하기 2는 3,

two plus three is five, three plus five is eight,

2 더하기 3은 5, 3 더하기 5는 8,

and so on.

과 같이 계속됩니다.

Indeed, the person we call Fibonacci

사실 우리가 피보나치라고 부르는 사람은

was actually named Leonardo of Pisa,

레오나르도 데 피사였는데

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

이 숫자들은 그의 책, "리베로 아바치" 에 등장합니다.

which taught the Western world

이 책은 현대에 이르도록 쓰이는 숫자의 법칙을

the methods of arithmetic that we use today.

서양에 소개했습니다.

In terms of applications,

실생활의 측면에서 보면,

Fibonacci numbers appear in nature

피보나치 배열은 자연에서

surprisingly often.

놀라울 정도로 많이 발견되는데

The number of petals on a flower

예를 들어 꽃의 잎들의 수는

is typically a Fibonacci number,

전형적인 피보나치 배열입니다.

or the number of spirals on a sunflower

해바라기씨의 나선의 수나

or a pineapple

파인애플의 그것도

tends to be a Fibonacci number as well.

보통 피보나치 배열을 따릅니다.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

피보나치 배열을 따르는 경우는 훨씬 더 많습니다.

but what I find most inspirational about them

하지만 저의 흥미를 가장 많이 돋구는 것은

are the beautiful number patterns they display.

아름다운 수들의 배열에 있습니다.

Let me show you one of my favorites.

제가 가장 좋아하는 예를 살펴 보겠습니다.

Suppose you like to square numbers,

여러분이 수의 제곱을 좋아하신다고 해보죠.

and frankly, who doesn't? (Laughter)

솔직히 제곱수를 싫어하는 사람이 있나요? (웃음)

Let's look at the squares

피보나치 배열에서 가장 앞에 있는

of the first few Fibonacci numbers.

몇개의 수들을 살펴봅시다.

So one squared is one,

1의 제곱은 1,

two squared is four, three squared is nine,

2의 제곱은 4, 3의 제곱은 9,

five squared is 25, and so on.

5의 제곱은 25 와 같이 계속됩니다.

Now, it's no surprise

자, 피보나치 배열에서 연속되는 두 수를 더하면

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

다음 피보나치 수를 구할 수 있는 것은

you get the next Fibonacci number. Right?

당연하게 느껴지시죠?

That's how they're created.

피보나치 배열은 그렇게 만들어지니까요.

But you wouldn't expect anything special

하지만 그들의 제곱수를 더하면

to happen when you add the squares together.

기대할 게 없다고 생각하실 겁니다.

But check this out.

그런데 이걸 보세요.

One plus one gives us two,

1 + 1= 2,

and one plus four gives us five.

1 + 4 = 5,

And four plus nine is 13,

4 + 9 = 13,

nine plus 25 is 34,

9 + 25 = 34,

and yes, the pattern continues.

그리고 이 규칙은 이어집니다.

In fact, here's another one.

또 다른 예를 살펴봅시다.

Suppose you wanted to look at

피보나치 배열의 앞에 있는 몇 개의 수들을 더하면

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

Let's see what we get there.

어떻게 되는지 보겠습니다.

So one plus one plus four is six.

1 + 1 + 4 = 6,

Add nine to that, we get 15.

이것에 9를 더하면 15,

Add 25, we get 40.

또 25를 더하면 40,

Add 64, we get 104.

또 64를 더하면 104가 됩니다.

Now look at those numbers.

자, 이 숫자들을 잘 보세요.

Those are not Fibonacci numbers,

이들은 피보나치 수가 아닙니다만

but if you look at them closely,

자세히 보면 피보나치 수들이 숨어있는 것이 보이실 겁니다.

you'll see the Fibonacci numbers

buried inside of them.

Do you see it? I'll show it to you.

찾으셨나요? 보여드리겠습니다.

Six is two times three, 15 is three times five,

6은 2 X 3, 15는 3 X 5,

40 is five times eight,

그리고 40은 5 X 8입니다.

two, three, five, eight, who do we appreciate?

2, 3, 5, 8 - 뭔가 익숙해 보이지 않나요?

(Laughter)

(웃음)

Fibonacci! Of course.

당연히 피보나치 배열이죠!

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

자, 이 규칙들을 발견하는 것 보다

it's even more satisfying to understand

왜 이 규칙이 성립하는지 아는 것이 더 재미있습니다.

why they are true.

Let's look at that last equation.

방금 본 식을 봅시다.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

왜 제곱수들의 합, 그러니까 1, 1, 2, 3, 5와 8의 제곱을 더하면

add up to eight times 13?

왜 8과 13의 곱이 될까요?

I'll show you by drawing a simple picture.

간단한 도표로 설명하겠습니다.

We'll start with a one-by-one square

한 변의 길이가 1인 정사각형 옆에

and next to that put another one-by-one square.

똑같은 정사각형을 놓고 붙이면,

Together, they form a one-by-two rectangle.

1X2의 직사각형이 됩니다.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

그 밑에 한 변의 길이가 2인 정사각형을 넣고

and next to that, a three-by-three square,

그 옆에 한 변의 길이가 3인 정사각형,

beneath that, a five-by-five square,

아래에 한 변의 길이가 5인 정사각형,

and then an eight-by-eight square,

또 한 변의 길이가 8인 정사각형을 놓으면

creating one giant rectangle, right?

하나의 큰 직사각형이 만들어지죠?

Now let me ask you a simple question:

자, 질문 하나를 드리겠습니다.

what is the area of the rectangle?

직사각형의 넓이는 얼마일까요?

Well, on the one hand,

한편으로 생각하면 그 안에 있는 정사각형의 넓이의 합이겠죠?

it's the sum of the areas

of the squares inside it, right?

Just as we created it.

방금 만든 것 처럼요.

It's one squared plus one squared

1의 제곱 더하기 1의 제곱 더하기

plus two squared plus three squared

2의 제곱 더하기 3의 제곱 더하기

plus five squared plus eight squared. Right?

5의 제곱 더하기 8의 제곱이겠죠?

That's the area.

이것이 넓이입니다.

On the other hand, because it's a rectangle,

또 다르게 생각해 보면, 이것이 직사각형이기 때문에,

the area is equal to its height times its base,

넓이를 세로와 가로의 곱으로 구할 수 있는데,

and the height is clearly eight,

세로는 분명히 8이고,

and the base is five plus eight,

그리고 가로는 5 더하기 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

그러니까 피보나치 수열의 다음 수, 13이죠?

So the area is also eight times 13.

그러니 직사각형의 넓이는 8 곱하기 13입니다.

Since we've correctly calculated the area

우리는 넓이를 두가지 방법을 모두 정확히 계산했기 때문에

two different ways,

they have to be the same number,

답이 같을 텐데

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

그렇기 때문에 1, 1, 2, 3, 5와 8의 제곱수들을 더했을 때 나오는 값이

add up to eight times 13.

8과 13의 곱과 일치하는 것입니다.

Now, if we continue this process,

자, 이 방법을 계속하면

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

변의 길이가 13과 21로 이루어진 직사각형,

21 by 34, and so on.

변의 길이가 21과 34로 이루어진 직사각형 등이 나타나게 됩니다.

Now check this out.

이걸 보세요.

If you divide 13 by eight,

13을 8로 나누면 1.625를 얻게 됩니다.

you get 1.625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

그리고 피보나치 배열의 연속되는 숫자 두 개중 큰 숫자를 작은 숫자로 나눌 수록

then these ratios get closer and closer

이 비율은

1.618에 조금씩 더 가까워지는데

to about 1.618,

known to many people as the Golden Ratio,

이 비율은 황금비로 잘 알려져 있습니다.

a number which has fascinated mathematicians,

이 황금비는 수백년동안

scientists and artists for centuries.

수학자, 과학자, 그리고 예술가들을 매혹해 왔습니다.

Now, I show all this to you because,

자, 제가 이것을 보여드리는 이유는

like so much of mathematics,

나머지의 수학 법칙과 같이 아름다은 측면이 있는데

there's a beautiful side to it

that I fear does not get enough attention

이 측면들이 우리의 학교들이 충분히 고려하고 있지 않기 때문입니다.

in our schools.

We spend lots of time learning about calculation,

우리는 계산에 대해 많이 배우는데

but let's not forget about application,

응용을 잊지 않도록 하죠.

including, perhaps, the most important application of all,

어쩌면 가장 중요한 적용의 요소인

learning how to think.

생각하는 방법을 잊지 않도록 합시다.

If I could summarize this in one sentence,

지금까지 제가 말씀드린 것을 한 마디로 정리한다면

it would be this:

이것을 말씀드리고 싶습니다:

Mathematics is not just solving for x,

수학은 그저 x를 구하는 것이 아니고

it's also figuring out why.

왜 그럴까(why)를 구하는 것이라고요.

Thank you very much.

감사합니다.

(Applause)

(박수)