The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Arthur Benjamin: La suite magique de Fibonacci

Traducteur: Leslie Louradour Relecteur: Mohand Habchi

So why do we learn mathematics?

Pourquoi étudions-nous les mathématiques ?

Essentially, for three reasons:

En gros, pour trois raisons :

calculation,

le calcul,

application,

la mise en pratique,

and last, and unfortunately least

et la dernière, et malheureusement non des moindres

in terms of the time we give it,

en termes de temps que nous lui consacrons,

inspiration.

l'inspiration.

Mathematics is the science of patterns,

Les mathématiques sont une science de schémas

and we study it to learn how to think logically,

et nous les étudions pour apprendre à penser de façon logique,

critically and creatively,

critique et créative.

but too much of the mathematics that we learn in school

Mais une trop grande partie des mathématiques que nous étudions à l'école

n'est pas motivée de manière efficace.

is not effectively motivated,

Et lorsque nos étudiants nous demandent :

and when our students ask,

« Pourquoi étudions-nous cela ? »,

"Why are we learning this?"

on leur répond qu'ils en auront besoin

then they often hear that they'll need it

dans un prochain cours de maths ou dans un futur examen.

in an upcoming math class or on a future test.

Mais ne serait-ce pas génial

But wouldn't it be great

si de temps en temps nous étudiions les mathématiques

if every once in a while we did mathematics

simplement parce que c'est amusant, beau

simply because it was fun or beautiful

ou que ça stimule l'esprit ?

or because it excited the mind?

Je connais beaucoup de gens

Now, I know many people have not

qui n'ont pas eu la chance de voir que cela est possible.

had the opportunity to see how this can happen,

Laissez-moi donc vous en donner un bref aperçu

so let me give you a quick example

avec ma suite de chiffres préférée,

with my favorite collection of numbers,

la suite de Fibonacci. (Applaudissements)

the Fibonacci numbers. (Applause)

Oui ! Il y a déjà des fans de Fibonacci.

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Super.

That's great.

Ces chiffres peuvent être vus

Now these numbers can be appreciated

de bien des manières.

in many different ways.

Du point de vue du calcul,

From the standpoint of calculation,

ils sont aussi simples à comprendre

they're as easy to understand

qu'un plus un font deux,

as one plus one, which is two.

un plus deux font trois.

Then one plus two is three,

deux plus trois font cinq, trois plus cinq font huit,

two plus three is five, three plus five is eight,

etc.

and so on.

En fait, la personne qu'on appelle Fibonacci

Indeed, the person we call Fibonacci

s’appelait en réalité Léonard de Pise,

was actually named Leonardo of Pisa,

et ces chiffres apparaissent dans son livre « Liber Abaci »,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

qui a appris au monde occidental

which taught the Western world

les méthodes arithmétiques utilisées aujourd'hui.

the methods of arithmetic that we use today.

En termes de mise en pratique,

In terms of applications,

la suite de Fibonacci apparaît régulièrement dans la nature

Fibonacci numbers appear in nature

assez souvent étonnamment.

surprisingly often.

Le nombre de pétales sur une fleur

The number of petals on a flower

est une suite typique de Fibonacci,

is typically a Fibonacci number,

ou le nombre de spirales d'un tournesol

or the number of spirals on a sunflower

ou d'un ananas

or a pineapple

a également tendance à être une suite de Fibonacci.

tends to be a Fibonacci number as well.

En fait, il y a de nombreuses applications de la suite de Fibonacci,

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

mais ce que je trouve de plus inspirant dans cette suite,

but what I find most inspirational about them

ce sont ces beaux schémas de chiffres qu'elle forme.

are the beautiful number patterns they display.

En voici un des mes préférés.

Let me show you one of my favorites.

Imaginons que vous aimez les carrés,

Suppose you like to square numbers,

et franchement, qui ne les aime pas ? (Rires)

and frankly, who doesn't? (Laughter)

Regardons les carrés

Let's look at the squares

des premiers chiffres de la suite de Fibonacci.

of the first few Fibonacci numbers.

Le carré de un est un,

So one squared is one,

le carré de deux est quatre, le carré de trois est neuf,

two squared is four, three squared is nine,

le carré de cinq est 25, etc.

five squared is 25, and so on.

On sait déjà

Now, it's no surprise

que si on additionne deux chiffres consécutifs de Fibonacci,

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

on obtient le prochain chiffre de la suite. Pas vrai ?

you get the next Fibonacci number. Right?

C'est comme ça qu'on les a créés.

That's how they're created.

Mais on ne s'attend à rien d'extraordinaire

But you wouldn't expect anything special

lorsqu'on additionne les carrés.

to happen when you add the squares together.

Voyez plutôt.

But check this out.

Un plus un font deux,

un plus quatre font cinq.

One plus one gives us two,

Quatre plus neuf font 13,

and one plus four gives us five.

And four plus nine is 13,

neuf plus 25 font 34,

nine plus 25 is 34,

et oui, ce schéma continue.

and yes, the pattern continues.

En voici un autre.

In fact, here's another one.

Imaginons qu'on souhaite

Suppose you wanted to look at

additionner les carrés des premiers chiffres de la suite.

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

Voyons ce qu'on obtient.

Let's see what we get there.

Un plus un plus quatre font six.

So one plus one plus four is six.

Ajoutons-y neuf, on obtient 15,

Add nine to that, we get 15.

plus 25 font 40,

Add 25, we get 40.

plus 64 font 104.

Add 64, we get 104.

Observons maintenant ces chiffres.

Now look at those numbers.

Ce ne sont pas des nombres de la suite de Fibonacci,

Those are not Fibonacci numbers,

mais si on les regarde plus attentivement,

but if you look at them closely,

on y verra la suite de Fibonacci

you'll see the Fibonacci numbers

cachée à l'intérieur.

buried inside of them.

Vous la voyez ? Je vais vous montrer.

Do you see it? I'll show it to you.

Six est le produit de deux par trois, 15 celui de trois par cinq,

Six is two times three, 15 is three times five,

40 celui de cinq par huit,

deux, trois, cinq, huit, à qui on dit merci ?

40 is five times eight,

(Rires)

two, three, five, eight, who do we appreciate?

A Fibonacci ! Bien sûr.

(Laughter)

Bien qu'il soit marrant de découvrir ces schémas,

Fibonacci! Of course.

il est encore plus plaisant de comprendre

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

pourquoi ils sont exacts.

it's even more satisfying to understand

Observons cette dernière équation.

why they are true.

Pourquoi est-ce que les carrés de un, un, deux, trois, cinq et huit,

Let's look at that last equation.

sont égal à huit fois 13 ?

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Je vais vous répondre par un simple dessin.

Commençons avec un carré de un sur un,

add up to eight times 13?

et à côté, mettons un autre carré de un sur un.

I'll show you by drawing a simple picture.

Ensemble, ils forment un rectangle d'un sur deux.

We'll start with a one-by-one square

En dessous, je vais mettre un carré de deux sur deux,

and next to that put another one-by-one square.

et à côté, un carré de trois sur trois,

en dessous, un carré de cinq sur cinq,

Together, they form a one-by-two rectangle.

puis un carré de huit sur huit,

ce qui donne un énorme rectangle, n'est-ce pas ?

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Je vais vous poser une simple question :

and next to that, a three-by-three square,

quel est le périmètre du rectangle ?

beneath that, a five-by-five square,

Eh bien, d'un côté,

and then an eight-by-eight square,

c'est la somme des périmètres

creating one giant rectangle, right?

des carrés qui se trouvent à l'intérieur, non ?

Now let me ask you a simple question:

Comme nous l'avons créé.

what is the area of the rectangle?

C'est un carré de un plus un carré de un,

Well, on the one hand,

plus un carré de deux plus un carré de trois,

it's the sum of the areas

plus un carré de cinq, plus un carré de huit. N'est-ce pas ?

of the squares inside it, right?

C'est le périmètre.

Just as we created it.

D'un autre côté, parce que c'est un rectangle,

It's one squared plus one squared

le périmètre est égal à sa largeur fois sa longueur.

plus two squared plus three squared

La largeur est à l'évidence de huit,

plus five squared plus eight squared. Right?

et la longueur de cinq plus huit,

qui est le chiffre suivant dans la suite de Fibonacci, 13. Oui ?

That's the area.

On the other hand, because it's a rectangle,

Donc le périmètre est aussi égal à huit fois 13.

the area is equal to its height times its base,

Puisque nous avons correctement calculé le périmètre

de deux manières,

and the height is clearly eight,

on doit obtenir le même nombre,

and the base is five plus eight,

et c'est pour ça que les carrés de un, un, deux, trois, cinq et huit

font huit fois 13.

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

Continuons donc sur ce même procédé.

So the area is also eight times 13.

Créons des rectangles de 13 sur 21,

Since we've correctly calculated the area

21 sur 34, etc.

two different ways,

Regardez ça maintenant.

they have to be the same number,

Si on divise 13 par huit,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

on obtient 1,625.

Et si on divise le plus grand nombre par le plus petit nombre,

add up to eight times 13.

ces rapports se rapprochent de plus en plus

Now, if we continue this process,

d'environ 1,618,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

connu par de nombreuses personnes comme étant le nombre d'or,

21 by 34, and so on.

un nombre qui fascine les mathématiciens,

Now check this out.

les scientifiques et les artistes depuis des siècles.

If you divide 13 by eight,

Je vous montre tout ceci parce que,

you get 1.625.

comme dans une grande partie des mathématiques,

And if you divide the larger number by the smaller number,

il existe une belle facette

then these ratios get closer and closer

à laquelle je crains qu'on ne fasse pas assez attention

to about 1.618,

dans nos écoles.

known to many people as the Golden Ratio,

On passe énormément de temps à apprendre le calcul,

mais n'en oublions pas l'application,

a number which has fascinated mathematicians,

comprenant, probablement, la plus importante application de toutes,

scientists and artists for centuries.

apprendre à réfléchir.

Now, I show all this to you because,

Si je pouvais résumer cela en une phrase,

like so much of mathematics,

je dirais ceci :

there's a beautiful side to it

Les maths ne consistent pas seulement à trouver la valeur de x,

mais aussi à comprendre pourquoi.

that I fear does not get enough attention

in our schools.

Merci beaucoup.

We spend lots of time learning about calculation,

(Applaudissements)

but let's not forget about application,

mais n'oublions pas la mise en pratique,

including, perhaps, the most important application of all,

y compris, peut-être, l'application la plus importante de toutes,

learning how to think.

apprendre à penser.

If I could summarize this in one sentence,

Si je devais le résumer en une phrase,

it would be this:

ce serait ceci :

Mathematics is not just solving for x,

Les mathématiques,

ce n'est pas simplement trouver l'inconnue d'une équation,

it's also figuring out why.

c'est aussi comprendre pourquoi.

Thank you very much.

Merci beaucoup.

(Applaudissements)

(Applause)