The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Μετάφραση: Chryssa Takahashi Επιμέλεια: Nikolaos Benias

So why do we learn mathematics?

Γιατί λοιπόν μαθαίνουμε μαθηματικά;

Essentially, for three reasons:

Ουσιαστικά, για τρεις λόγους:

calculation,

υπολογισμό,

application,

εφαρμογή

and last, and unfortunately least

και τέλος, και δυστυχώς λιγότερο

in terms of the time we give it,

συγκριτικά με το χρόνο που του δίνουμε,

inspiration.

έμπνευση.

Mathematics is the science of patterns,

Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των μοτίβων

and we study it to learn how to think logically,

και τα μελετάμε για να μάθουμε πώς να σκεφτόμαστε λογικά,

critically and creatively,

κριτικά και δημιουργικά,

but too much of the mathematics that we learn in school

αλλά πολλά από τα μαθηματικά που μάθαμε στο σχολείο

is not effectively motivated,

δεν έχουν αποτελεσματικά κίνητρα

and when our students ask,

και όταν οι μαθητές μας ρωτούν,

"Why are we learning this?"

«Γιατί το μαθαίνουμε αυτό;»

then they often hear that they'll need it

στη συνέχεια ακούνε συχνά ότι θα τα χρειαστούν

in an upcoming math class or on a future test.

σε κάποιο επόμενο μάθημα μαθηματικών ή σ' ένα μελλοντικό διαγώνισμα.

But wouldn't it be great

Αλλά δεν θα ήταν υπέροχο

if every once in a while we did mathematics

αν πού και πού κάναμε μαθηματικά

simply because it was fun or beautiful

απλά και μόνο επειδή ήταν διασκεδαστικό ή όμορφο

or because it excited the mind?

ή επειδή διέγειρε το μυαλό;

Now, I know many people have not

Τώρα, ξέρω ότι πολλοί άνθρωποι δεν είχαν

had the opportunity to see how this can happen,

την ευκαιρία να δουν πώς μπορεί να συμβεί αυτό,

so let me give you a quick example

οπότε επιτρέψτε μου να σας δώσω ένα γρήγορο παράδειγμα

with my favorite collection of numbers,

με την αγαπημένη μου συλλογή αριθμών,

the Fibonacci numbers. (Applause)

την ακολουθία Φιμπονάτσι. (Χειροκρότημα)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Ναι! Έχω ήδη θαυμαστές του Φιμπονάτσι εδώ.

That's great.

Αυτό είναι υπέροχο.

Now these numbers can be appreciated

Τώρα, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να ερμηνευτούν

in many different ways.

με πολλούς διαφορετικούς τρόπους.

From the standpoint of calculation,

Από τη σκοπιά του υπολογισμού,

they're as easy to understand

είναι τόσο εύκολοι στην κατανόηση

as one plus one, which is two.

όσο το ένα συν ένα, που κάνουν δύο.

Then one plus two is three,

Μετά ένα συν δύο κάνουν τρία,

two plus three is five, three plus five is eight,

δύο συν τρία κάνουν πέντε, τρία συν πέντε κάνουν οκτώ,

and so on.

και ούτω καθεξής.

Indeed, the person we call Fibonacci

Μάλιστα, το πρόσωπο που λέμε Φιμπονάτσι

was actually named Leonardo of Pisa,

στην πραγματικότητα ονομαζόταν Λεονάρντο της Πίζας

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

και αυτοί οι αριθμοί εμφανίζονται στο βιβλίο του «Το βιβλίο του Άβακος»,

which taught the Western world

που δίδαξε στον Δυτικό κόσμο

the methods of arithmetic that we use today.

τις μεθόδους της αριθμητικής που χρησιμοποιούμε σήμερα.

In terms of applications,

Όσον αφορά τις εφαρμογές,

Fibonacci numbers appear in nature

η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στη φύση

surprisingly often.

εκπληκτικά συχνά.

The number of petals on a flower

Ο αριθμός των πετάλων σε ένα λουλούδι

is typically a Fibonacci number,

συνήθως είναι μία ακολουθία Φιμπονάτσι

or the number of spirals on a sunflower

ή ο αριθμός των σπειρών σε ένα ηλιοτρόπιο

or a pineapple

ή έναν ανανά

tends to be a Fibonacci number as well.

τείνει να είναι και αυτός μία ακολουθία Φιμπονάτσι.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Πράγματι, υπάρχουν πολλές περισσότερες εφαρμογές των ακολουθιών Φιμπονάτσι,

but what I find most inspirational about them

αλλά αυτό που με εμπνέει περισσότερο σε αυτήν

are the beautiful number patterns they display.

είναι τα υπέροχα αριθμητικά μοτίβα που εμφανίζονται.

Let me show you one of my favorites.

Επιτρέψτε μου να σας δείξω ένα από τα αγαπημένα μου.

Suppose you like to square numbers,

Ας υποθέσουμε ότι σας αρέσει να υψώνετε αριθμούς στο τετράγωνο,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

και ειλικρινά, σε ποιον δεν αρέσει; (Γέλια)

Let's look at the squares

Ας δούμε τα τετράγωνα

of the first few Fibonacci numbers.

των πρώτων αριθμών της ακολουθίας Φιμπονάτσι.

So one squared is one,

Έτσι, ένα στο τετράγωνο κάνει ένα,

two squared is four, three squared is nine,

δύο στο τετράγωνο κάνει τέσσερα, τρία στο τετράγωνο κάνει εννέα,

five squared is 25, and so on.

πέντε στο τετράγωνο κάνει 25, και ούτω καθεξής.

Now, it's no surprise

Τώρα, δεν αποτελεί έκπληξη

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

ότι όταν προσθέσετε συνεχόμενους αριθμούς Φιμπονάτσι,

you get the next Fibonacci number. Right?

θα έχετε τον επόμενο αριθμό Φιμπονάτσι. Σωστά;

That's how they're created.

Έτσι δημιουργήθηκαν.

But you wouldn't expect anything special

Αλλά δεν θα περιμένατε κάτι ιδιαίτερο

to happen when you add the squares together.

να συμβεί όταν προσθέσετε τα τετράγωνα μαζί.

But check this out.

Αλλά για κοιτάξτε αυτό.

One plus one gives us two,

Ένα συν ένα μας δίνει δύο

and one plus four gives us five.

και ένα συν τέσσερα μας δίνει πέντε.

And four plus nine is 13,

Και τέσσερα συν εννέα κάνει 13,

nine plus 25 is 34,

εννέα συν 25 κάνει 34

and yes, the pattern continues.

και ναι, το μοτίβο συνεχίζεται.

In fact, here's another one.

Στην πραγματικότητα, δείτε άλλο ένα.

Suppose you wanted to look at

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εξετάσετε

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

την πρόσθεση των τετραγώνων των πρώτων αριθμών Φιμπονάτσι.

Let's see what we get there.

Ας δούμε τι έχουμε εκεί.

So one plus one plus four is six.

Έτσι, ένα συν ένα συν τέσσερα κάνει έξι.

Add nine to that, we get 15.

Προσθέσετε εννέα σε αυτό και έχουμε 15.

Add 25, we get 40.

Προσθέστε 25, έχουμε 40.

Add 64, we get 104.

Προσθέστε 64, έχουμε 104.

Now look at those numbers.

Τώρα κοιτάξτε αυτούς τους αριθμούς.

Those are not Fibonacci numbers,

Αυτοί δεν είναι αριθμοί Φιμπονάτσι,

but if you look at them closely,

αλλά αν τους κοιτάξετε προσεκτικά,

you'll see the Fibonacci numbers

θα δείτε τους αριθμούς Φιμπονάτσι

buried inside of them.

που κρύβονται μέσα τους.

Do you see it? I'll show it to you.

Το βλέπετε; Θα σας το δείξω.

Six is two times three, 15 is three times five,

Το έξι είναι δύο φορές το τρία, το 15 είναι τρεις φορές το πέντε,

40 is five times eight,

το 40 είναι πέντε φορές το οκτώ,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

δύο, τρία, πέντε, οκτώ, ποιον εκτιμούμε;

(Laughter)

(Γέλια)

Fibonacci! Of course.

Τον Φιμπονάτσι! Φυσικά.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Τώρα, όσο διασκεδαστική κι αν είναι η ανακάλυψη αυτών των μοτίβων,

it's even more satisfying to understand

είναι ακόμη πιο ικανοποιητική η κατανόηση

why they are true.

του γιατί είναι αληθή.

Let's look at that last equation.

Ας δούμε αυτή την τελευταία εξίσωση.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Γιατί πρέπει τα τετράγωνα του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ

add up to eight times 13?

είναι συνολικά οκτώ επί 13;

I'll show you by drawing a simple picture.

Θα σας δείξω σχεδιάζοντας μια απλή εικόνα.

We'll start with a one-by-one square

Θα αρχίσουμε με ένα τετράγωνο ένα επί ένα

and next to that put another one-by-one square.

και δίπλα σε αυτό βάζουμε ακόμη ένα τετράγωνο ένα επί ένα.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Μαζί, σχηματίζουν ένα ορθογώνιο ένα επί δύο.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Κάτω από αυτό, θα βάλω ένα τετράγωνο δύο επί δύο

and next to that, a three-by-three square,

και δίπλα του ένα τετράγωνο τρία επί τρία,

beneath that, a five-by-five square,

κάτω από αυτό, ένα τετράγωνο πέντε επί πέντε

and then an eight-by-eight square,

και στη συνέχεια ένα τετράγωνο οχτώ επί οχτώ,

creating one giant rectangle, right?

δημιουργώντας ένα γιγαντιαίο ορθογώνιο, σωστά;

Now let me ask you a simple question:

Τώρα, επιτρέψτε μου να σας θέσω ένα απλό ερώτημα:

what is the area of the rectangle?

Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου;

Well, on the one hand,

Λοιπόν, από τη μία πλευρά,

it's the sum of the areas

είναι το άθροισμα από τα εμβαδά

of the squares inside it, right?

των τετραγώνων μέσα σ' αυτό, σωστά;

Just as we created it.

Ακριβώς όπως το δημιουργήσαμε.

It's one squared plus one squared

Είναι ένα στο τετράγωνο συν ένα στο τετράγωνο

plus two squared plus three squared

συν δύο στο τετράγωνο συν τρία στο τετράγωνο

plus five squared plus eight squared. Right?

συν πέντε στο τετράγωνο συν οκτώ στο τετράγωνο. Σωστά;

That's the area.

Αυτό είναι το εμβαδόν.

On the other hand, because it's a rectangle,

Από την άλλη πλευρά, επειδή είναι ένα ορθογώνιο,

the area is equal to its height times its base,

το εμβαδόν είναι ίσο με το ύψος επί τη βάση

and the height is clearly eight,

και το ύψος είναι σαφώς οκτώ

and the base is five plus eight,

και η βάση είναι πέντε συν οκτώ,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

ο οποίος είναι ο επόμενος αριθμός Φιμπονάτσι, το 13. Σωστά;

So the area is also eight times 13.

Έτσι, το εμβαδόν είναι επίσης οκτώ φορές το 13.

Since we've correctly calculated the area

Αφού έχουμε υπολογίσει σωστά το εμβαδόν

two different ways,

με δύο διαφορετικούς τρόπους,

they have to be the same number,

πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

και γι' αυτό το λόγο τα τετράγωνα του ένα, ένα, δύο, τρία, πέντε και οκτώ

add up to eight times 13.

είναι συνολικά οκτώ επί 13.

Now, if we continue this process,

Τώρα, αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

θα παράγουμε ορθογώνια της μορφής 13 επί 21,

21 by 34, and so on.

21 επί 34 και ούτω καθεξής.

Now check this out.

Τώρα κοιτάξτε αυτό.

If you divide 13 by eight,

Εάν διαιρέσετε το 13 με το οκτώ,

you get 1.625.

θα έχετε το 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

Και εάν διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό με το μικρότερο αριθμό,

then these ratios get closer and closer

τότε αυτά τα ποσοστά πάνε όλο και πιο κοντά

to about 1.618,

περίπου στο 1,618,

known to many people as the Golden Ratio,

γνωστό σε πολλούς ως η Χρυσή Τομή,

a number which has fascinated mathematicians,

ένας αριθμός που έχει συναρπάσει τους μαθηματικούς,

scientists and artists for centuries.

τους επιστήμονες και τους καλλιτέχνες για αιώνες.

Now, I show all this to you because,

Τώρα, σας τα δείχνω όλα αυτά επειδή,

like so much of mathematics,

όπως και τόσα πολλά στα μαθηματικά,

there's a beautiful side to it

υπάρχει μια όμορφη πλευρά σε αυτό

that I fear does not get enough attention

που φοβάμαι ότι δεν της δίνουν επαρκή προσοχή

in our schools.

στα σχολεία μας.

We spend lots of time learning about calculation,

Ξοδεύουμε πολύ χρόνο μαθαίνοντας για τον υπολογισμό,

but let's not forget about application,

αλλά ας μην ξεχνάμε την εφαρμογή,

including, perhaps, the most important application of all,

συμπεριλαμβανομένων, ενδεχομένως, την πιο σημαντική εφαρμογή απ' όλες,

learning how to think.

να μαθαίνουμε πώς να σκεφτόμαστε.

If I could summarize this in one sentence,

Αν μπορούσα να το συνοψίσω σε μια φράση,

it would be this:

θα ήταν η εξής:

Mathematics is not just solving for x,

Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς η επίλυση ως προς το x,

it's also figuring out why.

είναι και η κατανόηση του γιατί. (Λογοπαίγνιο)

Thank you very much.

Σας ευχαριστώ πολύ.

(Applause)

(Χειροκρότημα)