The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Translator: Erdenesuvd Dashjamts Reviewer: Doljmaa Dashjamts

So why do we learn mathematics?

За тэгэхээр бид яах гэж математикийн шинжлэх ухааныг судалдаг вэ?

Essentially, for three reasons:

Гол төлөв доорх 3 шалтгааны улмаас:

calculation,

тооцоолох,

application,

амьдралд хэрэгжүүлэх,

and last, and unfortunately least

харамсалтай нь хамгийн бага ач холбогдол өгч

in terms of the time we give it,

хамгийн их орхигдуулдаг шалтгаан нь

inspiration.

урам зориг авах юм.

Mathematics is the science of patterns,

Математик бол хэв загварын шинжлэх ухаан бөгөөд

and we study it to learn how to think logically,

бид үүнийг логиктой, шүүмжтэй, бүтээлчээр

critically and creatively,

сэтгэж сурах гэж судалдаг.

but too much of the mathematics that we learn in school

Гэвч сургууль дээр бидэнд заадаг математик

is not effectively motivated,

нэг л сонирхол төрүүлдэггүй

and when our students ask,

бөгөөд оюутнууд "Бид нар яагаад

"Why are we learning this?"

үүнийг сурч байгаа юм бэ?" гэсэн асуултандаа

then they often hear that they'll need it

ихэвчлэн л шалгалт өгөхөд эсвэл

in an upcoming math class or on a future test.

дараачийн хичээлд хэрэг болно гэсэн хариулт сонсдог.

But wouldn't it be great

Харин, хэрвээ бид нар математикийг

if every once in a while we did mathematics

зүгээр л зугаатэй юмуу гоё болохоор нь

simply because it was fun or beautiful

эсвэл зүгээр л их таалагдсан болохоор нь л

or because it excited the mind?

судалдаг байсан бол сайхан биш гэж үү?

Now, I know many people have not

Ингэж төсөөлж харах боломж тэр бүр

had the opportunity to see how this can happen,

хүн бүрт олддоггүй тул

so let me give you a quick example

нэгэн бяцхан жишээ болгож

with my favorite collection of numbers,

өөрийн дуртай тоо болох

the Fibonacci numbers. (Applause)

Фибоначийн тоог авч үзье.

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Өө, Фибоначийн фэнүүд сууж байгаа юм байна шүү дээ.

That's great.

Сайн байна.

Now these numbers can be appreciated

Тэгэхээр Фибоначийн тооны үнэ цэнийг

in many different ways.

олон янзаар илэрхийлж болно.

From the standpoint of calculation,

Тооцооллын үүднээс авч үзвэл,

they're as easy to understand

энэ тоог ойлгоход хялбар л даа.

as one plus one, which is two.

Нэг дээр нэгийг нэмээд хоёр

Then one plus two is three,

нэг дээр хоёрыг нэмээд гурав

two plus three is five, three plus five is eight,

хоёр дээр гурвыг нэмээд тав, гурав дээр тавыг нэмээд найм

and so on.

гэх мэтчилэн.

Indeed, the person we call Fibonacci

Үнэндээ, бидний Фибоначи гэж дууддаг

was actually named Leonardo of Pisa,

хүнийг Пизагийн Леонардо гэдэг байсан ба

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

түүний бичсэн, өнөөгийн бидний хэрэглэдэг арифметикийн

which taught the Western world

аргуудыг Барууны ертөнцөд таниулсан "Либер Абачи"

the methods of arithmetic that we use today.

номд эдгээр тоонууд гардаг.

In terms of applications,

Хэрэглээтэй холбож үзвэл,

Fibonacci numbers appear in nature

Фибоначийн тоо нь байгалд

surprisingly often.

гайхмаар олон таардаг.

The number of petals on a flower

Цэцгийн дэлбээний тоо нь

is typically a Fibonacci number,

ерөнхийдөө Фибоначийн тоо байдаг,

or the number of spirals on a sunflower

мөн наранцэцэг болон

or a pineapple

хан боргоцой дээрх эргүүлэгний тоо ч

tends to be a Fibonacci number as well.

гэсэн Фибоначийн тоо байдаг.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Үнэн хэрэгтээ, Фибоначийн тооны хэрэглээ үүнээс ч их бий.

but what I find most inspirational about them

Эдгээр тоонуудын дүрслэн харуулдаг гоёмсог

are the beautiful number patterns they display.

хэлбэр, хээнүүд нь тэдгээрийн хамгийн гайхалтай сонин шинж юм.

Let me show you one of my favorites.

Өөрийн дуртай жишээнүүдийн нэгийг үзүүлье л дээ.

Suppose you like to square numbers,

Таныг тоо квадратад дэвшүүлэх дуртай гэж үзье,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

хэн дургүй байхав дээ? (инээд)

Let's look at the squares

Эхний хэдэн Фибоначийн тоог квадратад

of the first few Fibonacci numbers.

дэвшүүлээд харъя.

So one squared is one,

Тэгэхээр, нэгийн квадрат нэг,

two squared is four, three squared is nine,

хоёрын квадрат дөрөв, гурвын квадрат ес,

five squared is 25, and so on.

тавын квадрат 25, гэх мэтчилэн.

Now, it's no surprise

Дараалсан Фибоначийн тоонуудыг нэмэхэд

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

дараачийн Фибоначийн тоо гардаг гэдэг нь

you get the next Fibonacci number. Right?

бүгдэд илэрхий. Тийм биз?

That's how they're created.

Угаасаа ингэж үүсгэдэг.

But you wouldn't expect anything special

Харин нөгөө гарсан квадратуудаа хооронд нь

to happen when you add the squares together.

нэмэхэд ямар нэгэн онцгой зүйл болно гэж та бодоогүй байж болох юм.

But check this out.

Харин одоо бүгдээрээ харъя.

One plus one gives us two,

Нэг дээр нэгийг нэмээд хоёр,

and one plus four gives us five.

нэг дээр дөрвийг нэмээд тав.

And four plus nine is 13,

Дөрөв дээр есийг нэмээд 13,

nine plus 25 is 34,

ес дээр 25-ийг нэмээд 34

and yes, the pattern continues.

гэх мэтчилэн энэ загвар цааш үргэлжилнэ.

In fact, here's another one.

Өөр нэг жишээ авъя.

Suppose you wanted to look at

Эхний хэдэн Фибоначийн тоонуудын

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

квадратуудын нийлбэрийг харахыг та хүсэж л дээ.

Let's see what we get there.

За тэгэхээр юу болохыг харцгаая.

So one plus one plus four is six.

Нэг дээр нэгийг нэмээд дөрвийг нэмэхэд зургаа.

Add nine to that, we get 15.

Түүн дээрээ есийг нэмье, 15 болно.

Add 25, we get 40.

25-ийг нэмэхэд 40 болно.

Add 64, we get 104.

64-ийг нэмье, 104 гарна.

Now look at those numbers.

Одоо энэ тоонуудаа харцгаая.

Those are not Fibonacci numbers,

Энэ тоонууд Фибоначийн тоонууд биш ч гэсэн

but if you look at them closely,

сайж ажиглах юм бол

you'll see the Fibonacci numbers

тэдний дотор Фибоначийн тоонууд нуугдаж байгааг

buried inside of them.

олж харах болно.

Do you see it? I'll show it to you.

Та харж чадаж байна уу? За би харуулъя.

Six is two times three, 15 is three times five,

Зургаа гэдэг нь 3 хоёр дахин, 15 нь тав 3 дахин

40 is five times eight,

40 маань наймын тоо тав дахин гэсэн үг,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

хоёр, гурав, тав, найм, тэгэхээр бид хэнд талархах ёстой билээ?

(Laughter)

(инээд)

Fibonacci! Of course.

Фибоначи! Мэдээж шүү дээ.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Тэгэхээр, эдгээр загваруудыг олж нээхэд зугаатай байсантай адил,

it's even more satisfying to understand

яагаад ингэж үнэн гарч байгааг ойлгох юм бол

why they are true.

бүүр ч илүү тааламжтай болно.

Let's look at that last equation.

Хамгийн сүүлийн тэгшитгэлийг аваад үзье.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

нэг, нэг, хоёр, гурав, тав, наймын квадратуудыг нэмэхэд

add up to eight times 13?

13-ыг найм дахин авсантай адил болдог юм бол?

I'll show you by drawing a simple picture.

За би нэг жирийн зураг зурж харуулъя.

We'll start with a one-by-one square

Нэг-нэгийн квадратаар эхэлцгээе,

and next to that put another one-by-one square.

хажууд нь дахиад нэг нэг-нэгийн квадрат зуръя.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Нийлээд, нэг-хоёрын харьцаатай тэгш өнцөгт үүсгэж байна.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Доор нь, би хоёр-хоёрын квадрат тавъя,

and next to that, a three-by-three square,

үүнийхээ хажууд гурав-гурвын квадрат,

beneath that, a five-by-five square,

дахиад доор нь, тав-тавын квадрат,

and then an eight-by-eight square,

тэгээд найм-наймынхыг тавихад

creating one giant rectangle, right?

нэг том тэгш өнцөгт үүсэж байнаа даа, тийм үү?

Now let me ask you a simple question:

Одоо би нэг энгийн асуулт асууя:

what is the area of the rectangle?

Тэгш өнцөгтийн талбай юу байдаг билээ?

Well, on the one hand,

Нэг талаас нь аваад үзвэл,

it's the sum of the areas

энэ нь өөрт нь агуулагдаж байгаа

of the squares inside it, right?

квадратуудын талбайнуудын нийлбэр болноо доо?

Just as we created it.

Яг бидний сая зурсан шиг.

It's one squared plus one squared

Энэ нь нэгийг квадратад дэвшүүлээд нэмэх нь нэгийн квадрат

plus two squared plus three squared

нэмэх нь хоёрын квадрат нэмэх нь гурвын квадрат

plus five squared plus eight squared. Right?

нэмэх нь тавын квадрат нэмэх нь наймын квадрат. Тийм биз?

That's the area.

Ингээд нөгөө талбай маань гараад ирж байна.

On the other hand, because it's a rectangle,

Нөгөө талаас нь аваад үзвэл, энэ нь тэгш өнцөгт тул,

the area is equal to its height times its base,

талбайг нь олохдоо өндрийг нь сууриар нь үржүүлдэг,

and the height is clearly eight,

өндөр нь харваас найм байна,

and the base is five plus eight,

суурь нь тав дээр нэмэх нь найм,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

гэдэг нь дараачийн Фибоначийн тоо болох 13 болж байна. Тийм үү?

So the area is also eight times 13.

Тэгэхээр талбай нь мөн наймыг үржих нь 13.

Since we've correctly calculated the area

Бид талбайг хоёр өөр аргаар

two different ways,

зөв тооцоолсон болохоор,

they have to be the same number,

хариу нь ижил гарах ёстой.

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

Иймээс ч нэг, нэг, хоёр, гурав, тав, наймын квадратыг

add up to eight times 13.

нэмэхэд наймыг 13 дахин авсантай адил болж байна.

Now, if we continue this process,

Одоо бид энэ үйлдэлээ үргэлжлүүлээд

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

13-ийг 21-ээр, 21-ийг 34-өөр гэх мэтчилэн авсан хэлбэртэй

21 by 34, and so on.

тэгш өнцөгтүүдийг үүсгэе.

Now check this out.

Одоо хар даа.

If you divide 13 by eight,

Хэрвээ 13-ийг наймд хуваах юм бол

you get 1.625.

1.625 гарна.

And if you divide the larger number by the smaller number,

Ингээд цааш арай том тоог нь арай багад нь

then these ratios get closer and closer

хуваагаад байх юм бол энэ харьцаа нь

to about 1.618,

улам бүр 1.618 буюу

known to many people as the Golden Ratio,

хүмүүсийн мэддэгээр Алтан Харьцаа гэгдэх олон зууны турш

a number which has fascinated mathematicians,

математикчид, эрдэмтэд, уран бүтээлчидийг

scientists and artists for centuries.

гайхашруулж ирсэн харьцаа уруу дөхөж очино.

Now, I show all this to you because,

Миний энэ бүгдийг та бүхэн үзүүлж байгаагийн учир нь

like so much of mathematics,

сургуулиудад тэр бүрий онцолж авч үздэггүй ч

there's a beautiful side to it

математикт гоё сайхан тал гэж

that I fear does not get enough attention

байдаг юм шүү гэдгийг

in our schools.

таниулах гэсэн юм.

We spend lots of time learning about calculation,

Бид маш их цагийг тооцоолж сурахад зарцуулдаг.

but let's not forget about application,

Харин хэрэглээний, ялангуяа

including, perhaps, the most important application of all,

хэрхэн сэтгэж сурах, тал дээрээ

learning how to think.

марталгүй анхаарцгаая.

If I could summarize this in one sentence,

Энэ бүгдийг нэг өгүүлбэрээр хураангуйлах юм бол,

it would be this:

иймэрхүү болох байх:

Mathematics is not just solving for x,

Математикийн шинжлэх ухаан нь зөвхөн "X"-ийг олох биш,

it's also figuring out why.

бас "Яагаад" гэдэг учирыг нь олж мэдэх юм.

Thank you very much.

Маш их баярлалаа.

(Applause)

(алга ташилт)