The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Arthur Benjamin: A magia dos números de Fibonacci

Tradutor: Gustavo Rocha Revisor: Jayme Santangelo

So why do we learn mathematics?

Então, por que aprendemos matemática?

Essentially, for three reasons:

Essencialmente por três razões:

calculation,

cálculos,

application,

aplicação,

and last, and unfortunately least

e por último e infelizmente menos importante,

in terms of the time we give it,

em termos do tempo que dedicamos,

inspiration.

inspiração.

Mathematics is the science of patterns,

Matemática é a ciência dos padrões,

and we study it to learn how to think logically,

e nós a estudamos para aprender a pensar logicamente,

critically and creatively,

criticamente e criativamente,

but too much of the mathematics that we learn in school

mas muito da matemática que aprendemos na escola

is not effectively motivated,

não é efetivamente motivado,

and when our students ask,

e quando nossos alunos perguntam:

"Why are we learning this?"

"Por que estamos aprendendo isto?",

then they often hear that they'll need it

eles normalmente ouvem que vão precisar

in an upcoming math class or on a future test.

numa próxima aula de matemática ou num teste.

But wouldn't it be great

Mas não seria ótimo

if every once in a while we did mathematics

se, de vez em quando, fizéssemos matemática

simply because it was fun or beautiful

simplesmente porque ela é divertida e bonita,

or because it excited the mind?

ou porque ela aguça a mente?

Now, I know many people have not

Sei que muitas pessoas

had the opportunity to see how this can happen,

não tiveram a oportunidade de ver como isso acontece,

so let me give you a quick example

então deixem-me lhes dar um rápido exemplo

with my favorite collection of numbers,

com meu conjunto de números favorito,

the Fibonacci numbers. (Applause)

os números de Fibonacci. (Aplausos)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Isso aí! Já vi que há alguns fãs de Fibonacci aqui.

That's great.

Isso é ótimo.

Now these numbers can be appreciated

Bem, esses números podem ser apreciados

in many different ways.

de vários jeitos diferentes.

From the standpoint of calculation,

Do ponto de vista do cálculo,

they're as easy to understand

eles são tão fáceis de entender

as one plus one, which is two.

como 1 + 1, que é 2.

Then one plus two is three,

E 1 + 2 que é 3,

two plus three is five, three plus five is eight,

2 + 3 é 5, 3 + 5 é 8,

and so on.

e assim por diante.

Indeed, the person we call Fibonacci

De fato, a pessoa que chamamos de Fibonacci

was actually named Leonardo of Pisa,

se chamava, na verdade, Leonardo de Pisa,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

e esses números aparecem em seu livro "Liber Abaci",

which taught the Western world

que ensinou ao mundo ocidental

the methods of arithmetic that we use today.

os métodos de aritmética que usamos hoje.

In terms of applications,

Em termos de aplicações,

Fibonacci numbers appear in nature

os números de Fibonacci aparecem na natureza

surprisingly often.

com uma frequência surpreendente.

The number of petals on a flower

O número de pétalas numa flor

is typically a Fibonacci number,

é tipicamente um número de Fibonacci,

or the number of spirals on a sunflower

ou o número de espirais em um girassol

or a pineapple

ou num abacaxi

tends to be a Fibonacci number as well.

tende a ser um número de Fibonacci também.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

De fato, há muito mais aplicações dos números de Fibonacci,

but what I find most inspirational about them

mas o que eu acho o mais inspirador deles

are the beautiful number patterns they display.

são os belos padrões numéricos que eles representam.

Let me show you one of my favorites.

Vou lhes mostrar um dos meus favoritos.

Suppose you like to square numbers,

Vamos supor que vocês gostem de elevar números ao quadrado,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

e, francamente, quem não gosta? (Risos)

Let's look at the squares

Vejamos os quadrados

of the first few Fibonacci numbers.

dos primeiros números de Fibonacci.

So one squared is one,

Então, 1² é 1,

two squared is four, three squared is nine,

2² é 4, 3² é 9,

five squared is 25, and so on.

5² é 25 e assim por diante.

Now, it's no surprise

Agora, não é nenhuma surpresa

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

que quando somamos números de Fibonacci consecutivos,

you get the next Fibonacci number. Right?

encontramos o próximo número de Fibonacci. Certo?

That's how they're created.

É assim que eles são definidos.

But you wouldn't expect anything special

Mas não se esperaria que nada especial

to happen when you add the squares together.

acontecesse quando somamos os quadrados.

But check this out.

Mas vejam só isso.

One plus one gives us two,

1 + 1 dá 2,

and one plus four gives us five.

e 1 + 4 dá 5.

And four plus nine is 13,

e 4 + 9 é 13,

nine plus 25 is 34,

4 + 25 é 34,

and yes, the pattern continues.

e sim, o padrão continua.

In fact, here's another one.

Na verdade, aqui há outro.

Suppose you wanted to look at

Vamos supor que vocês queiram ver

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

a soma dos quadrados dos primeiros números de Fibonacci.

Let's see what we get there.

Vamos ver o que conseguimos aqui.

So one plus one plus four is six.

Então 1 + 1 + 4 é 6.

Add nine to that, we get 15.

Somando com 9, dá 15.

Add 25, we get 40.

Somando com 25, dá 40.

Add 64, we get 104.

Somando com 64, dá 104.

Now look at those numbers.

Agora olhem para estes números.

Those are not Fibonacci numbers,

Eles não são números de Fibonacci,

but if you look at them closely,

mas se olharem para eles atentamente,

you'll see the Fibonacci numbers

Vocês verão os números de Fibonacci

buried inside of them.

enterrados dentro deles.

Do you see it? I'll show it to you.

Vocês veem? Vou mostrar a vocês.

Six is two times three, 15 is three times five,

6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,

40 is five times eight,

40 é 5 x 80,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

2, 3, 5, 8, quem nós apreciamos?

(Laughter)

(Risos)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! Claro.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões,

it's even more satisfying to understand

é ainda mais satisfatório entender

why they are true.

por que eles acontecem.

Let's look at that last equation.

Vejamos a última equação.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Por que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

add up to eight times 13?

somados dão 8 x 13?

I'll show you by drawing a simple picture.

Vou lhes mostrar desenhando uma simples figura.

We'll start with a one-by-one square

Vamos começar com um quadrado 1 por 1

and next to that put another one-by-one square.

e ao lado colocamos outro quadrado 1 por 1.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Juntos, eles formam um retângulo 1 por 2.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Sob eles, vou colocar um quadrado 2 por 2,

and next to that, a three-by-three square,

e ao lado de tudo, um quadrado 3 por 3,

beneath that, a five-by-five square,

sob tudo, um quadrado, 5 por 5,

and then an eight-by-eight square,

e então um quadrado 8 por 8,

creating one giant rectangle, right?

criando um retângulo gigante, certo?

Now let me ask you a simple question:

Agora vou fazer uma pergunta bem simples:

what is the area of the rectangle?

Qual é a área do retângulo?

Well, on the one hand,

Bem, por um lado,

it's the sum of the areas

é a soma das áreas

of the squares inside it, right?

dos quadrados internos, certos?

Just as we created it.

Exatamente como o criamos.

It's one squared plus one squared

É 1² + 1²

plus two squared plus three squared

+ 2² + 3²

plus five squared plus eight squared. Right?

+ 5² + 8². Certo?

That's the area.

Essa é a área.

On the other hand, because it's a rectangle,

Por outro lado, por ser um retângulo,

the area is equal to its height times its base,

a área é igual a base vezes altura,

and the height is clearly eight,

e a altura é claramente 8,

and the base is five plus eight,

e a base é 5 + 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

que é o próximo número de Fibonacci, 13. Certo?

So the area is also eight times 13.

Então a área também é 8 x 13.

Since we've correctly calculated the area

Já que calculamos a área corretamente

two different ways,

de dois jeitos diferentes,

they have to be the same number,

eles têm que ser o mesmo número,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

e é por isso que o quadrado de 1, 1, 2, 3, 5 e 8

add up to eight times 13.

somados dão 8 x 13.

Now, if we continue this process,

Agora, se continuarmos esse processo,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

vamos gerar retângulos no formato 13 por 21,

21 by 34, and so on.

21 por 34, e assim por diante.

Now check this out.

Agora, vejam só isso.

If you divide 13 by eight,

Se dividirmos 13 por 8,

you get 1.625.

temos 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

E se dividirmos o número maior pelo menor,

then these ratios get closer and closer

então essas razões se aproximam cada vez mais

to about 1.618,

de cerca de 1,618,

known to many people as the Golden Ratio,

conhecido por muitas pessoas como a Razão Áurea,

a number which has fascinated mathematicians,

um número que tem fascinado os matemáticos,

scientists and artists for centuries.

cientistas e artistas por séculos.

Now, I show all this to you because,

Agora, eu mostro isso tudo a vocês porque,

like so much of mathematics,

assim como em muito da matemática,

there's a beautiful side to it

há um lado belo disso

that I fear does not get enough attention

que eu receio não receba atenção suficiente

in our schools.

em nossas escolas.

We spend lots of time learning about calculation,

Passamos muito tempo aprendendo sobre cálculos,

but let's not forget about application,

mas não podemos esquecer da aplicação,

including, perhaps, the most important application of all,

incluindo, talvez, a aplicação mais importante de todas:

learning how to think.

aprender a pensar.

If I could summarize this in one sentence,

Se eu pudesse resumir isso em uma sentença,

it would be this:

seria essa:

Mathematics is not just solving for x,

Matemática não é só encontrar o x,

it's also figuring out why.

também é entender o por quê.

Thank you very much.

Muito obrigado.

(Applause)

(Aplausos)