The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Артур Бенджамин: Магия чисел Фибоначчи

Переводчик: Irina Strelnikova Редактор: Olga Dmitrochenkova

So why do we learn mathematics?

Почему мы изучаем математику?

Essentially, for three reasons:

По сути, есть три причины:

calculation,

расчёт,

application,

применение

and last, and unfortunately least

и последняя (к сожалению, наименее важная

in terms of the time we give it,

с точки зрения времени, которое мы ей уделяем) —

inspiration.

это вдохновение.

Mathematics is the science of patterns,

Математика — это наука о моделях,

and we study it to learn how to think logically,

и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логично,

critically and creatively,

критично и творчески,

but too much of the mathematics that we learn in school

но та математика, которую мы изучаем в школе

is not effectively motivated,

чаще всего неэффективно мотивирована,

and when our students ask,

и когда наши студенты спрашивают:

"Why are we learning this?"

«Почему мы это изучаем?» —

then they often hear that they'll need it

то им часто приходится слышать, что это необходимо

in an upcoming math class or on a future test.

в предстоящем математическом классе или для будущих тестов.

But wouldn't it be great

Но было бы здорово,

if every once in a while we did mathematics

если бы мы хоть иногда занимались математикой

simply because it was fun or beautiful

просто потому, что это весело или красиво

or because it excited the mind?

или потому, что она волнует ум.

Now, I know many people have not

Я знаю, что многие люди не имеют

had the opportunity to see how this can happen,

возможности увидеть, как это происходит,

so let me give you a quick example

поэтому позвольте мне показать вам небольшой пример

with my favorite collection of numbers,

из моей любимой коллекции чисел,

the Fibonacci numbers. (Applause)

чисел Фибоначчи. (Аплодисменты)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Да! Тут уже есть фанаты Фибоначчи.

That's great.

Это здорово.

Now these numbers can be appreciated

Эти цифры могут быть истолкованы

in many different ways.

различными способами.

From the standpoint of calculation,

С точки зрения вычислений,

they're as easy to understand

их так же легко понять,

as one plus one, which is two.

как 1 + 1 = 2.

Then one plus two is three,

Тогда 1 + 2 = 3,

two plus three is five, three plus five is eight,

2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8,

and so on.

и так далее.

Indeed, the person we call Fibonacci

На самом деле человек, которого мы называем Фибоначчи,

was actually named Leonardo of Pisa,

носил имя Леонардо из Пизы,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

и эти цифры появляются в его книге Liber Abaci,

which taught the Western world

которая научила западный мир

the methods of arithmetic that we use today.

методам арифметических операций, используемых сегодня.

In terms of applications,

С точки зрения применений,

Fibonacci numbers appear in nature

числа Фибоначчи появляются в природе

surprisingly often.

удивительно часто.

The number of petals on a flower

Количество лепестков на цветке —

is typically a Fibonacci number,

это типичное число Фибоначчи.

or the number of spirals on a sunflower

Количество спиралей на подсолнухе

or a pineapple

или ананасе

tends to be a Fibonacci number as well.

также тяготеет к числу Фибоначчи.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

В самом деле, есть много больше применений чисел Фибоначчи,

but what I find most inspirational about them

но наиболее вдохновляющими, по моему мнению,

are the beautiful number patterns they display.

являются прекрасные цифровые образцы, которые они демонстрируют.

Let me show you one of my favorites.

Позвольте мне показать вам один из моих любимых.

Suppose you like to square numbers,

Предположим, что вы хотите возвести число в квадрат,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех)

Let's look at the squares

Давайте посмотрим на квадраты

of the first few Fibonacci numbers.

первых нескольких чисел Фибоначчи.

So one squared is one,

1 в квадрате равно 1,

two squared is four, three squared is nine,

2 в квадрате — 4, 3 в квадрате — это 9,

five squared is 25, and so on.

5 в квадрате — 25 и так далее.

Now, it's no surprise

Теперь известно,

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

что при сложении последовательных чисел Фибоначчи

you get the next Fibonacci number. Right?

вы получите следующее число Фибоначчи. Верно?

That's how they're created.

Вот как они созданы.

But you wouldn't expect anything special

Но вы не ожидаете ничего особенного

to happen when you add the squares together.

от сложения их квадратов.

But check this out.

Но давайте проверим это.

One plus one gives us two,

1 + 1 = 2,

and one plus four gives us five.

и 1 + 4 = 5.

And four plus nine is 13,

И 4 + 9 = 13,

nine plus 25 is 34,

9 + 25 = 34,

and yes, the pattern continues.

и да, шаблон повторяется.

In fact, here's another one.

Фактически тут есть ещё один шаблон.

Suppose you wanted to look at

Предположим, вы хотите проанализировать

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

сложение квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи.

Let's see what we get there.

Давайте посмотрим, что мы получим.

So one plus one plus four is six.

Так что 1 + 1 + 4 = 6.

Add nine to that, we get 15.

Добавляем к этому 9 и получаем 15.

Add 25, we get 40.

Добавив 25, мы получаем 40.

Add 64, we get 104.

Добавив 64, мы получаем 104.

Now look at those numbers.

Теперь посмотрите на эти цифры.

Those are not Fibonacci numbers,

Они не являются числами Фибоначчи,

but if you look at them closely,

но если вы посмотрите на них внимательно,

you'll see the Fibonacci numbers

вы увидите, что числа Фибоначчи

buried inside of them.

скрыты внутри них.

Do you see it? I'll show it to you.

Вы это видите? Я покажу вам это.

Six is two times three, 15 is three times five,

6 — это 2 × 3, 15 — это 3 × 5,

40 is five times eight,

40 — это 5 × 8,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

2, 3, 5, 8 — кому мы должны быть признательны?

(Laughter)

(Смех)

Fibonacci! Of course.

Фибоначчи! Конечно.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Обнаружить эти шаблоны было забавно,

it's even more satisfying to understand

но ещё большее удовлетворение — понять,

why they are true.

почему они являются подлинными.

Let's look at that last equation.

Давайте посмотрим на последнее уравнение.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8

add up to eight times 13?

составляют 8 × 13?

I'll show you by drawing a simple picture.

Я покажу вам это, нарисовав простую картину.

We'll start with a one-by-one square

Мы начнем с квадрата единицы,

and next to that put another one-by-one square.

и рядом с этим ещё один квадрат единицы.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Вместе они образуют прямоугольник один на два.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Ниже я поставлю квадрат 2 на 2,

and next to that, a three-by-three square,

потом квадрат 3 на 3,

beneath that, a five-by-five square,

под ним квадрат 5 на 5,

and then an eight-by-eight square,

и затем квадрат 8 на 8,

creating one giant rectangle, right?

получается один гигантский прямоугольник, правильно?

Now let me ask you a simple question:

Теперь позвольте мне задать вам простой вопрос:

what is the area of the rectangle?

какова площадь прямоугольника?

Well, on the one hand,

С одной стороны,

it's the sum of the areas

это сумма площадей

of the squares inside it, right?

квадратов внутри него, правильно?

Just as we created it.

Так же, как мы создали его.

It's one squared plus one squared

Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате

plus two squared plus three squared

плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате

plus five squared plus eight squared. Right?

плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Верно?

That's the area.

Это площадь.

On the other hand, because it's a rectangle,

С другой стороны, поскольку это прямоугольник,

the area is equal to its height times its base,

площадь равна его высоте, умноженной на ширину.

and the height is clearly eight,

Высота равна 8,

and the base is five plus eight,

а ширина — 5 + 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

чем и является следующее число Фибоначчи 13. Верно?

So the area is also eight times 13.

Таким образом, площадь равна 8 × 13.

Since we've correctly calculated the area

Так как мы правильно рассчитали площадь

two different ways,

двумя разными способами,

they have to be the same number,

числа должны быть одинаковыми,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8

add up to eight times 13.

складываются в 8 × 13.

Now, if we continue this process,

Если мы продолжим этот процесс,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

мы создадим прямоугольники размером 13 на 21,

21 by 34, and so on.

21 на 34 и так далее.

Now check this out.

Теперь проверьте это.

If you divide 13 by eight,

Если вы разделите 13 на 8,

you get 1.625.

вы получите 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

И если вы разделите большее число на меньшее число,

then these ratios get closer and closer

то эти коэффициенты становятся всё ближе и ближе

to about 1.618,

к числу 1.618,

known to many people as the Golden Ratio,

известному многим людям как Золотое сечение,

a number which has fascinated mathematicians,

числу, которое очаровывало математиков,

scientists and artists for centuries.

учёных и художников на протяжении многих веков.

Now, I show all this to you because,

Я показываю всё это вам потому,

like so much of mathematics,

что много что в математике

there's a beautiful side to it

имеет красивые стороны,

that I fear does not get enough attention

которые, боюсь, не получают достаточного внимания

in our schools.

в наших школах.

We spend lots of time learning about calculation,

Мы тратим много времени на изучение вычислений,

but let's not forget about application,

но давайте не забывать и о применении,

including, perhaps, the most important application of all,

которое включает, возможно, наиболее важное применение —

learning how to think.

научиться думать.

If I could summarize this in one sentence,

Если я мог бы обобщить это в одном предложении,

it would be this:

это звучало бы так:

Mathematics is not just solving for x,

математика — это не только поиск решений для Х,

it's also figuring out why.

но также и поиск причин таких решений.

Thank you very much.

Большое спасибо.

(Applause)

(Аплодисменты)