The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Tradutor: Antonio Fonseca Revisora: Marta Jorge

So why do we learn mathematics?

Por que é que aprendemos matemática?

Essentially, for three reasons:

Essencialmente, por três razões:

calculation,

cálculo,

application,

aplicação,

and last, and unfortunately least

e por último, e infelizmente a menor

in terms of the time we give it,

em termos de quanto tempo nos dedicamos a ela,

inspiration.

inspiração.

Mathematics is the science of patterns,

A matemática é a ciência dos padrões

and we study it to learn how to think logically,

e nós estudamo-la para aprendermos a pensar

critically and creatively,

lógica, crítica e criativamente,

but too much of the mathematics that we learn in school

mas muito da matemática que aprendemos na escola

is not effectively motivated,

não é efetivamente motivante,

and when our students ask,

e quando nossos estudantes perguntam:

"Why are we learning this?"

"Por que é que aprendemos isto?"

then they often hear that they'll need it

frequentemente eles ouvem que precisarão disto

in an upcoming math class or on a future test.

na próxima aula de matemática ou num teste futuro.

But wouldn't it be great

Mas não seria ótimo

if every once in a while we did mathematics

que, de vez enquanto, praticássemos a matemática

simply because it was fun or beautiful

simplesmente por ser divertida ou bela

or because it excited the mind?

ou por excitar a nossa mente?

Now, I know many people have not

Agora, eu sei que muitas pessoas não

had the opportunity to see how this can happen,

tiveram a oportunidade de ver como é que isso pode acontecer

so let me give you a quick example

então deixem-me dar-vos um exemplo rápido

with my favorite collection of numbers,

usando a minha coleção preferida de números,

the Fibonacci numbers. (Applause)

a sequência Fibonacci. (Aplausos)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Sim! Eu já aqui tenho fãs de Fibonacci.

That's great.

Isso é ótimo.

Now these numbers can be appreciated

Estes números podem ser apreciados

in many different ways.

de várias maneiras.

From the standpoint of calculation,

Pela ótica do cálculo,

they're as easy to understand

eles são tão fáceis de entender

as one plus one, which is two.

como 1 + 1, que é igual a 2.

Then one plus two is three,

Logo, 1 + 2 é igual a 3,

two plus three is five, three plus five is eight,

2 + 3 é igual a 5, 3 + 5 são 8,

and so on.

e por aí adiante.

Indeed, the person we call Fibonacci

De facto, a pessoa a quem chamamos de Fibonacci

was actually named Leonardo of Pisa,

chamava-se, na verdade, Leonardo de Pisa

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

e estes números aparecem no seu livro "Liber Abaci"

which taught the Western world

que ensinou ao mundo ocidental

the methods of arithmetic that we use today.

os métodos aritméticos que usamos hoje em dia.

In terms of applications,

Em termos de aplicações,

Fibonacci numbers appear in nature

a sequência Fibonacci aparece na Natureza

surprisingly often.

com uma surpreendente frequência.

The number of petals on a flower

O número de pétalas de uma rosa

is typically a Fibonacci number,

é uma típica sequência Fibonacci,

or the number of spirals on a sunflower

ou o número de espirais num girassol

or a pineapple

ou num ananás

tends to be a Fibonacci number as well.

tendem também a ser uma sequência Fibonacci.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Na verdade, existem muitas outras aplicações para a sequência Fibonacci,

but what I find most inspirational about them

mas o que eu acho mais inspirador nelas

are the beautiful number patterns they display.

é o belo padrão numérico que ela apresentam.

Let me show you one of my favorites.

Vou mostrar-vos um dos meus preferidos.

Suppose you like to square numbers,

Suponhamos que gostam de elevar números ao quadrado,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

e francamente, quem não gosta? (Risos)

Let's look at the squares

Vamos olhar para os quadrados

of the first few Fibonacci numbers.

dos primeiros números da sequência Fibonacci.

So one squared is one,

Logo, 1&sup2 é 1,

two squared is four, three squared is nine,

2&sup2 são 4, 3&sup2 são 9

five squared is 25, and so on.

5&sup2 são 25, e por aí adiante.

Now, it's no surprise

Bem, não é surpresa

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

que quando somamos números consecutivos da sequência Fibonacci

you get the next Fibonacci number. Right?

obtemos o número seguinte da sequência. Certo?

That's how they're created.

Foi assim que eles foram criados.

But you wouldn't expect anything special

Mas vocês não esperam que aconteça

to happen when you add the squares together.

nada de especial quando somam os seus quadrados.

But check this out.

Mas vejam isto.

One plus one gives us two,

1 + 1 é igual a 2,

and one plus four gives us five.

e 1 + 4 dá-nos 5.

And four plus nine is 13,

E 4 + 9 são 13,

nine plus 25 is 34,

9 + 25 são 34,

and yes, the pattern continues.

e sim, o padrão continua.

In fact, here's another one.

Na verdade, aqui está outro.

Suppose you wanted to look at

Suponham que queriam olhar para

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

a adição dos quadrados dos primeiros números da sequência Fibonacci.

Let's see what we get there.

Vejamos o que acontece.

So one plus one plus four is six.

Logo, 1 + 1 + 4 são 6.

Add nine to that, we get 15.

Somem 9 a esse resultado e teremos 15.

Add 25, we get 40.

Somem 25 e teremos 40.

Add 64, we get 104.

Somem 64 e teremos 104.

Now look at those numbers.

Agora olhem para estes números.

Those are not Fibonacci numbers,

Estes não são números de Fibonacci,

but if you look at them closely,

mas se vocês olharem para eles mais atentamente,

you'll see the Fibonacci numbers

verão a sequência Fibonacci

buried inside of them.

enterrada dentro deles

Do you see it? I'll show it to you.

Conseguem ver? Vou mostrar-vos.

Six is two times three, 15 is three times five,

6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,

40 is five times eight,

40 é 5 x 8,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

2, 3, 5, 8, de que é que estamos a falar?

(Laughter)

(Risos)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! É claro.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões,

it's even more satisfying to understand

é ainda mais gratificante entender

why they are true.

por que é que eles são verdadeiros.

Let's look at that last equation.

Vamos olhar para a última equação.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Por que é que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

add up to eight times 13?

somados, resultam em 8 x 13?

I'll show you by drawing a simple picture.

Vou mostrar-vos através de um simples desenho.

We'll start with a one-by-one square

Começamos com um quadrado de 1 x 1

and next to that put another one-by-one square.

em seguida colocamos outro quadrado de 1 x 1.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Juntos, eles formam um retângulo de 1 x 2.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Por baixo, vou colocar um quadrado de 2 x 2,

and next to that, a three-by-three square,

e ao lado dele, um quadrado de 3 x 3,

beneath that, a five-by-five square,

por baixo, um quadrado de 5 x 5,

and then an eight-by-eight square,

e então um quadrado de 8 x 8,

creating one giant rectangle, right?

criando um retângulo gigante, certo?

Now let me ask you a simple question:

Agora, deixem-me fazer-vos uma pergunta simples:

what is the area of the rectangle?

qual é a área do retângulo?

Well, on the one hand,

Bem, por um lado,

it's the sum of the areas

é a soma das áreas

of the squares inside it, right?

dos quadrados dentro dele, certo?

Just as we created it.

Exatamente como o construímos.

It's one squared plus one squared

É o quadrado de 1, mais o quadrado de 1,

plus two squared plus three squared

mais o quadrado de 2, mais o quadrado de 3,

plus five squared plus eight squared. Right?

mais o quadrado de 5 , mais o quadrado de 8. Certo?

That's the area.

Esta é a área.

On the other hand, because it's a rectangle,

Por outro lado, por ser um retângulo,

the area is equal to its height times its base,

a área é igual à altura vezes a base,

and the height is clearly eight,

e a altura é claramente 8,

and the base is five plus eight,

e a base é 5 + 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

que é o próximo número da sequência Fibonacci, 13. Certo?

So the area is also eight times 13.

Logo a área é também, 8 x 13.

Since we've correctly calculated the area

Já que calculámos corretamente a área

two different ways,

de duas formas diferentes,

they have to be the same number,

elas têm de ser o mesmo número,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

é o por isso que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

add up to eight times 13.

somados, resultam em 8 x 13.

Now, if we continue this process,

Então, se continuarmos este processo,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

criaremos retângulos de 13 x 21,

21 by 34, and so on.

21 x 34, e por aí adiante.

Now check this out.

Agora, vejam só.

If you divide 13 by eight,

Se vocês dividirem 13 por 8,

you get 1.625.

obterão 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

E se vocês dividirem o número maior pelo número menor,

then these ratios get closer and closer

então essas proporções vão ficando cada vez mais próximas

to about 1.618,

de cerca de 1,618.

known to many people as the Golden Ratio,

conhecidas por muitos como a Proporção Áurea,

a number which has fascinated mathematicians,

um número que tem fascinado matemáticos,

scientists and artists for centuries.

cientistas e artistas durante séculos.

Now, I show all this to you because,

Agora, eu mostrei-vos tudo isto porque,

like so much of mathematics,

como muitas coisas na matemática,

there's a beautiful side to it

há um lado belo nisso

that I fear does not get enough attention

que eu receio que não desperte muita atenção

in our schools.

nas escolas.

We spend lots of time learning about calculation,

Gastamos muito tempo a aprender sobre o cálculo,

but let's not forget about application,

mas não nos esqueçamos da aplicação,

including, perhaps, the most important application of all,

incluindo, talvez, a mais importante aplicação de todas,

learning how to think.

aprender a pensar.

If I could summarize this in one sentence,

Se eu pudesse resumir tudo isto numa frase apenas,

it would be this:

seria esta:

Mathematics is not just solving for x,

A matemática não é apenas a solução para x,

it's also figuring out why.

é também descobrir o porquê.

Thank you very much.

Muito obrigado.

(Applause)

(Aplausos)