The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Translator: Alba Mas Reviewer: Judit Piñol (Amara Staff)

So why do we learn mathematics?

Per què aprenem matemàtiques?

Essentially, for three reasons:

Essencialment, per tres raons:

calculation,

pel càlcul,

application,

per l'aplicació,

and last, and unfortunately least

i per últim, i, per desgràcia, menys important,

in terms of the time we give it,

des del punt de vista del temps que hi dediquem,

inspiration.

per la inspiració.

Mathematics is the science of patterns,

Les matemàtiques són la ciència dels patrons,

and we study it to learn how to think logically,

i l'estudiem per aprendre a pensar amb lògica,

critically and creatively,

crítica i creativament,

but too much of the mathematics that we learn in school

però gran part de les matemàtiques que aprenem a l'escola

is not effectively motivated,

no ens motiven eficaçment,

and when our students ask,

i quan els alumnes pregunten

"Why are we learning this?"

"Per què fem això?"

then they often hear that they'll need it

solem explicar-los que ho necessitaran

in an upcoming math class or on a future test.

per les properes classes, o per algun examen.

But wouldn't it be great

Però no seria genial

if every once in a while we did mathematics

si alguna vegada féssim matemàtiques

simply because it was fun or beautiful

tan sols perquè són divertides, o boniques,

or because it excited the mind?

o perquè ens estimulen la ment?

Now, I know many people have not

Ja sé que molta gent no ha tingut

had the opportunity to see how this can happen,

la oportunitat de veure com això és possible,

so let me give you a quick example

així que us en donaré un exemple ràpid

with my favorite collection of numbers,

amb la meva col·lecció de nombres preferida:

the Fibonacci numbers. (Applause)

la Successió de Fibonacci. (Aplaudiment)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Bé! Ja hi ha fans de Fibonacci, aquí!

That's great.

Fantàstic!

Now these numbers can be appreciated

Podem apreciar aquests nombres

in many different ways.

de moltes maneres diferents.

From the standpoint of calculation,

Des del punt de vista del càlcul,

they're as easy to understand

són tan fàcils d'entendre

as one plus one, which is two.

com un més un, que fan dos,

Then one plus two is three,

un més dos fan tres,

two plus three is five, three plus five is eight,

dos més tren fan cinc, tres més cinc fan vuit,

and so on.

etcètera.

Indeed, the person we call Fibonacci

La persona a qui anomenem Fibonacci

was actually named Leonardo of Pisa,

es deia Leonardo da Pisa,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

i aquests nombres apareixen al seu llibre "Liber Abaci",

which taught the Western world

que va descobrir al món occidental

the methods of arithmetic that we use today.

els mètodes aritmètics que s'usen avui en dia.

In terms of applications,

Pel que fa a les aplicacions,

Fibonacci numbers appear in nature

els nombres de Fibonacci es troben a la natura

surprisingly often.

sorprenentment sovint.

The number of petals on a flower

El nombre de pètals d'una flor

is typically a Fibonacci number,

sol ser un nombre de Fibonacci,

or the number of spirals on a sunflower

i també el nombre d'espirals d'un girasol,

or a pineapple

o d'una pinya

tends to be a Fibonacci number as well.

acostumen a ser nombres de Fibonacci.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

De fet, hi ha moltes més aplicacions dels nombres de Fibonacci,

but what I find most inspirational about them

però el que em sembla més interessant d'aquests nombres

are the beautiful number patterns they display.

són els preciosos patrons que descriuen.

Let me show you one of my favorites.

Us n'ensenyaré un dels meus preferits.

Suppose you like to square numbers,

Suposo que gaudiu elevant nombres al quadrat,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

de fet, a qui no li agrada? (Riure)

Let's look at the squares

Què passa si elevem al quadrat

of the first few Fibonacci numbers.

els primers nombres de Fibonacci?

So one squared is one,

U elevat al quadrat és u,

two squared is four, three squared is nine,

dos elevat al quadrat és quatre, tres és nou

five squared is 25, and so on.

cinc és vint-i-cinc, etcètera.

Now, it's no surprise

No ens ve pas de nou

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

que si sumem dos nombres consecutius de la successió

you get the next Fibonacci number. Right?

el resultat és el nombre següent. Oi?

That's how they're created.

Així és com es creen.

But you wouldn't expect anything special

Però no ens esperem que passi res especial

to happen when you add the squares together.

quan sumem els nombres elevats al quadrat.

But check this out.

Però pareu atenció:

One plus one gives us two,

Un i un fan dos,

and one plus four gives us five.

i un més quatre fan cinc.

And four plus nine is 13,

Quatre més nou fan tretze,

nine plus 25 is 34,

nou més 25 fan 34

and yes, the pattern continues.

i sí, el patró segueix.

In fact, here's another one.

Aquí en teniu un altre:

Suppose you wanted to look at

Diguem que volem sumar

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

els primers nombres de Fibonacci elevats al quadrat.

Let's see what we get there.

A veure què passa.

So one plus one plus four is six.

Un i un i quatre fan sis.

Add nine to that, we get 15.

Si hi sumem nou, fan quinze.

Add 25, we get 40.

Més 25, 40.

Add 64, we get 104.

Més 64, 104.

Now look at those numbers.

Ara mireu bé aquests nombres.

Those are not Fibonacci numbers,

No són pas nombres de Fibonacci,

but if you look at them closely,

però si us hi fixeu bé,

you'll see the Fibonacci numbers

hi veureu els nombres de Fibonacci

buried inside of them.

enterrats dins seu.

Do you see it? I'll show it to you.

Ho veieu? Us ho ensenyo:

Six is two times three, 15 is three times five,

Sis és dues vegades tres; 15 és tres cops cinc,

40 is five times eight,

40 és cinc vegades vuit,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

dos, tres, cinc, vuit; recordeu el que us he dit?

(Laughter)

(Riure)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! És clar.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Per molt divertit que sigui descobrir aquests patrons,

it's even more satisfying to understand

és encara més satisfactori entendre

why they are true.

per què són veritat.

Let's look at that last equation.

Mirem l'última equació:

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Per què els quadrats d'un, un, dos, tres, cinc i vuit

add up to eight times 13?

sumen vuit vegades tretze?

I'll show you by drawing a simple picture.

Us ho ensenyaré amb un dibuix senzill:

We'll start with a one-by-one square

Començarem amb un quadrat d'un per un,

and next to that put another one-by-one square.

i n'hi posarem un altre al costat.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Junts, formen un rectangle d'un per dos.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

A sota, hi posem un quadrat de dos per dos,

and next to that, a three-by-three square,

i, al costat, un de tres per tres,

beneath that, a five-by-five square,

sota, un de cinc per cinc,

and then an eight-by-eight square,

i després un de vuit per vuit,

creating one giant rectangle, right?

i creem un rectacle enorme, veieu?

Now let me ask you a simple question:

Ara us preguntaré una cosa ben simple:

what is the area of the rectangle?

quina és l'àrea d'aquest rectangle?

Well, on the one hand,

Bé, d'una banda,

it's the sum of the areas

és la suma de les àrees

of the squares inside it, right?

dels quadrats que hi ha dins, oi?

Just as we created it.

Exactament com l'hem fet.

It's one squared plus one squared

És u al quadrat més u al quadrat

plus two squared plus three squared

més dos al quadrat més tres al quadrat

plus five squared plus eight squared. Right?

més cinc al quadrat més vuit al quadrat. Oi?

That's the area.

Aquesta és l'àrea.

On the other hand, because it's a rectangle,

D'altra banda, com que és un rectangle,

the area is equal to its height times its base,

l'àrea és igual a l'alçada multiplicada per la base,

and the height is clearly eight,

i l'alçada és clarament vuit,

and the base is five plus eight,

i la base és cinc més vuit,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

que és el següent nombre de Fibonacci, 13, oi?

So the area is also eight times 13.

Per tant, l'àrea també és vuit vegades tretze.

Since we've correctly calculated the area

Com que hem calculat l'àrea correctament

two different ways,

de dues maneres diferents,

they have to be the same number,

el resultat ha de ser el mateix,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

i és per això que u, u, dos, tres, cinc i vuit al quadrat

add up to eight times 13.

sumen vuit vegades tretze.

Now, if we continue this process,

Si continuem el procés,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

generarem rectangles de 13x21,

21 by 34, and so on.

21x24, etcètera.

Now check this out.

Ara escoleu bé això:

If you divide 13 by eight,

Si dividim tretze entre vuit,

you get 1.625.

fan 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

I si divideixes el nombre més gran pel nombre més petit,

then these ratios get closer and closer

les proporcions s'acosten cada cop més

to about 1.618,

a 1,618,

known to many people as the Golden Ratio,

un nombre conegut també com a Secció Àuria,

a number which has fascinated mathematicians,

un nombre que ha fascinat matemàtics,

scientists and artists for centuries.

científics i artistes durant segles.

Now, I show all this to you because,

Tot això, us ho ensenyo perquè,

like so much of mathematics,

com passa molt en matemàtiques,

there's a beautiful side to it

això té un cantó molt bonic

that I fear does not get enough attention

però em temo que no s'hi dóna prou importància,

in our schools.

a les escoles.

We spend lots of time learning about calculation,

Passem molt temps aprenent càlcul,

but let's not forget about application,

però no ens oblidem de l'aplicació,

including, perhaps, the most important application of all,

incloent-hi, potser, l'aplicació més important de totes:

learning how to think.

aprendre a pensar.

If I could summarize this in one sentence,

Si ho pogués resumir en una sola frase,

it would be this:

seria aquesta:

Mathematics is not just solving for x,

Les matemàtiques no són només buscar la X,

it's also figuring out why.

sinó també pensar per què.

Thank you very much.

Moltes gràcies.

(Applause)

(Aplaudiment)