The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Translator: Simon Hansen Reviewer: Anders Finn Jørgensen

So why do we learn mathematics?

Okay, hvorfor lærer vi matematik?

Essentially, for three reasons:

I bund og grund, af 3 årsager:

calculation,

beregning,

application,

anvendelse,

and last, and unfortunately least

og sidst, samt desværre også mindst

in terms of the time we give it,

i form af den tid vi giver den,

inspiration.

inspiration.

Mathematics is the science of patterns,

Matematik er videnskaben, der ligger bag mønstre

and we study it to learn how to think logically,

og vi studerer det, for at lære at tænke logisk,

critically and creatively,

kritisk og kreativt.

but too much of the mathematics that we learn in school

Men for meget af den matematik, vi lærer i skolen,

is not effectively motivated,

motiverer ikke effektivt nok

and when our students ask,

og når vores elever spørger;

"Why are we learning this?"

"Hvorfor bliver vi undervist i dette?",

then they often hear that they'll need it

får de tit af vide, at de skal bruge det til

in an upcoming math class or on a future test.

et kommende modul, eller en prøve ude i fremtiden.

But wouldn't it be great

Men ville det ikke være skønt,

if every once in a while we did mathematics

hvis vi til tider kastede os over matematikken,

simply because it was fun or beautiful

udelukkende fordi det var sjovt eller smukt,

or because it excited the mind?

eller fordi det stimulerede sindet?

Now, I know many people have not

Jeg ved, at mange folk ikke har haft muligheden

had the opportunity to see how this can happen,

for at se, hvordan dette kan udfolde sig -

so let me give you a quick example

så lad mig give jer et hurtigt eksempel,

with my favorite collection of numbers,

med de tal jeg holder allermest af,

the Fibonacci numbers. (Applause)

Fibonacci-tallene. (Klapsalve)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Sådan! Der er Fibonacci-fans iblandt os, allerede.

That's great.

Det er skønt.

Now these numbers can be appreciated

Disse numre kan værdsættes

in many different ways.

på mange forskellige måder.

From the standpoint of calculation,

Med udgangspunkt i beregning,

they're as easy to understand

er de lige så nemme at forstå

as one plus one, which is two.

som at 1 plus 1 giver 2.

Then one plus two is three,

Efterfølgende 1 plus 2 giver 3,

two plus three is five, three plus five is eight,

2 plus 3 giver 5, 3 plus 5 giver 8

and so on.

og så videre.

Indeed, the person we call Fibonacci

Faktisk, ham vi kalder Fibonacci,

was actually named Leonardo of Pisa,

hed reelt set, Leonardo af Pisa,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

og disse tal dukkede op i hans bog; "Liber Abaci",

which taught the Western world

som lærte den vestlige verden

the methods of arithmetic that we use today.

aritmetikkens metoder - læren om tal - som vi bruger i dag.

In terms of applications,

Hvad angår anvendelsesmuligheder,

Fibonacci numbers appear in nature

ser vi Fibonacci-tal dukke op i naturen

surprisingly often.

overraskende ofte.

The number of petals on a flower

Antallet af blade på en blomst,

is typically a Fibonacci number,

er typisk et Fibonacci-tal

or the number of spirals on a sunflower

eller antallet af spiraler på en solsikke,

or a pineapple

eller en ananas

tends to be a Fibonacci number as well.

har det med også at være et Fibonacci-tal.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Der er faktisk mange andre anvendelsesmuligheder, for Fibonacci-tal,

but what I find most inspirational about them

men det jeg finder mest inspirerende ved dem,

are the beautiful number patterns they display.

er, de smukke talmønstre, der følger med.

Let me show you one of my favorites.

Lad mig vise dig en af mine favoritter.

Suppose you like to square numbers,

Vi antager, at du nyder at kvadrere tal,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

og ærlig talt, hvem gør ikke det? (Latter)

Let's look at the squares

Lad os kigge på kvadraterne,

of the first few Fibonacci numbers.

af de første par Fibonacci-tal.

So one squared is one,

Så, kvadratet af 1 giver 1

two squared is four, three squared is nine,

kvadratet af 2 giver 4, 3 er lig med 9

five squared is 25, and so on.

5 er lig med 25 og så videre.

Now, it's no surprise

Det er ikke nogen overraskelse,

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

at når du ligger to på hinanden efterfølgende Fibonacci-tal sammen,

you get the next Fibonacci number. Right?

får du det næste Fibonacci-tal. Enig?

That's how they're created.

Det er grundreglen, for opbygningen.

But you wouldn't expect anything special

Men du ville ikke tro, at der ville ske noget specielt,

to happen when you add the squares together.

når du ligger kvadraterne sammen.

But check this out.

Men, kig her engang.

One plus one gives us two,

1 plus 1 giver 2

and one plus four gives us five.

og 1 plus 4 giver 5.

And four plus nine is 13,

4 plus 9 giver 13,

nine plus 25 is 34,

9 plus 25 giver 34

and yes, the pattern continues.

og ja, mønstret fortsætter.

In fact, here's another one.

Der er faktisk et mere her.

Suppose you wanted to look at

Antag at du gerne vil ligge et par,

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

af Fibonaccis første kvadrater sammen.

Let's see what we get there.

Lad os se hvad vi ville få ud af det.

So one plus one plus four is six.

1 + 1 + 4 = 6.

Add nine to that, we get 15.

Tilføj 9 til det og vi får 15.

Add 25, we get 40.

Tilføj 25 yderligere og vi får 40.

Add 64, we get 104.

64 oveni det og vi får 104.

Now look at those numbers.

Kig engang på de tal.

Those are not Fibonacci numbers,

Det er ikke Fibonacci-tal,

but if you look at them closely,

men hvis du ser godt efter,

you'll see the Fibonacci numbers

vil du se Fibonacci-tallene,

buried inside of them.

begravet dybt i dem.

Do you see it? I'll show it to you.

Ser du dem? Lad mig vise dem for dig.

Six is two times three, 15 is three times five,

6 er 2 gange 3, 15 er 3 gange 5,

40 is five times eight,

40 er 5 gange 8,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

1, 2, 3, 5, hvem er altid velkommen i vores hjem?

(Laughter)

(Latter)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! Selvfølgelig, da.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Hvor sjovt det end lyder, at støde på disse mønstre,

it's even more satisfying to understand

så er det faktisk endnu mere tilfredsstillende,

why they are true.

at forstå, hvorfor de går op.

Let's look at that last equation.

Lad os kigge på den sidste ligning.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Hvorfor skulle kvadratet af 1, 1, 2, 3, 5 og 8, tilsammen,

add up to eight times 13?

give 8 gange 13?

I'll show you by drawing a simple picture.

Jeg vil illustrere det, med denne simple tegning.

We'll start with a one-by-one square

Vi starter med en kvadrat på 1*1.

and next to that put another one-by-one square.

Ved siden af den, også en kvadrat på 1*1.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Sammen udgør de en 1*2 rektangel.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Under den, placerer jeg en 2*2 kvadrat,

and next to that, a three-by-three square,

ved siden af den en 3*3 kvadrat,

beneath that, a five-by-five square,

under den, en 5*5 kvadrat,

and then an eight-by-eight square,

efterfulgt af en 8*8 kvadrat,

creating one giant rectangle, right?

hvor vi derved, skaber én stor rektangel, ikke?

Now let me ask you a simple question:

Lad mig nu stille dig ét simpelt spørgsmål:

what is the area of the rectangle?

Hvad er områdestørrelsen, af denne rektangel?

Well, on the one hand,

Ja, på den ene side,

it's the sum of the areas

er det summen af alle firkanterne,

of the squares inside it, right?

de kvadrater inden for området, okay?

Just as we created it.

Nøjagtig, som vi lavede den.

It's one squared plus one squared

Det er kvadratet af 1, plus kvadratet af 1,

plus two squared plus three squared

plus kvadratet af 2, plus kvadratet af 3,

plus five squared plus eight squared. Right?

plus kvadratet af 5, plus kvadratet af 8. Du er med?

That's the area.

Det er områdestørrelsen.

On the other hand, because it's a rectangle,

På den anden side, grundet den rektangulære form,

the area is equal to its height times its base,

er områdestørrelsen lig med, højden gange bunden.

and the height is clearly eight,

Højden er tydeligvis 8

and the base is five plus eight,

og bunden er lig med 5 plus 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

som er det næste Fibonacci-tal, 13. I er med?

So the area is also eight times 13.

Områdestørrelsen er altså 8 gange 13.

Since we've correctly calculated the area

Nu vi har udregnet størrelsen korrekt,

two different ways,

på 2 forskellige måder,

they have to be the same number,

må tallene være ens.

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

Det er derfor kvadratet af 1, 1, 2, 3, 5 og 8

add up to eight times 13.

giver det samme som 8 gange 13?

Now, if we continue this process,

Hvis vi fortsætter med denne metode,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

vil vi danne en rektangel på 13 gange 21,

21 by 34, and so on.

herefter 21 gange 34 og så videre.

Now check this out.

Kig så her engang.

If you divide 13 by eight,

Hvis du dividerer 13 med 8,

you get 1.625.

får du 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

Hvis du fortsat dividerer det store tal med det lille,

then these ratios get closer and closer

vil forholdet mellem disse, komme tættere og tættere

to about 1.618,

på omkring 1,618.

known to many people as the Golden Ratio,

Kendt af mange som, Det Gyldne Snit,

a number which has fascinated mathematicians,

et tal, der har fascineret matematikere,

scientists and artists for centuries.

forskere og kunstnere, gennem århundreder.

Now, I show all this to you because,

Grunden til, at jeg viser alt dette til jer,

like so much of mathematics,

som så meget af matematikken,

there's a beautiful side to it

er der en smuk side af det hele,

that I fear does not get enough attention

som jeg frygter, IKKE får nok opmærksomhed,

in our schools.

i vores skoler.

We spend lots of time learning about calculation,

Vi bruger meget tid på at lære om beregning,

but let's not forget about application,

men lad os ikke glemme anvendelsesmulighederne,

including, perhaps, the most important application of all,

inklusiv den måske, vigtigste af dem alle,

learning how to think.

at lære hvordan man tænker.

If I could summarize this in one sentence,

Hvis jeg må opsummere dette i en sætning,

it would be this:

ville det være følgende:

Mathematics is not just solving for x,

Matematik handler ikke blot om, at beregne x,

it's also figuring out why.

det handler også om at finde ud af, hvorfor.

Thank you very much.

Mange tak.

(Applause)

(Klapsalver)