The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

アーサー・ベンジャミン: フィボナッチ数の魅力

翻訳: Kazunori Akashi 校正: Yuko Yoshida

So why do we learn mathematics?

なぜ数学を学ぶのでしょうか？

Essentially, for three reasons:

本質的には３つの理由があります

calculation,

計算するため

application,

応用するため

and last, and unfortunately least

そして 発想するためです

in terms of the time we give it,

発想に時間をかけないのは

inspiration.

残念なことですが・・・

Mathematics is the science of patterns,

数学とはパターンの科学です

and we study it to learn how to think logically,

ここから論理的 批判的 創造的な

critically and creatively,

考え方を学べるのです

but too much of the mathematics that we learn in school

一方 学校で習う数学は

is not effectively motivated,

効果的に意欲を 高めているとは言えません

and when our students ask,

数学を勉強する理由を 生徒がたずねても

"Why are we learning this?"

数学を勉強する理由を 生徒がたずねても

then they often hear that they'll need it

授業で いつか使うからとか

in an upcoming math class or on a future test.

テストに出るからと 言われることも多いのです

But wouldn't it be great

でも 時々でいいから

if every once in a while we did mathematics

面白くて美しくて ワクワクするから

simply because it was fun or beautiful

数学を学ぶという 機会がもてたら

or because it excited the mind?

素敵だと思いませんか

Now, I know many people have not

でも そんな機会の作り方が

had the opportunity to see how this can happen,

わからないという 声も聞きます

so let me give you a quick example

そこで私のお気に入りの数から

with my favorite collection of numbers,

ちょっとした例を挙げましょう

the Fibonacci numbers. (Applause)

フィボナッチ数です　（拍手）

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

ここにもフィボナッチ・ ファンがいますね

That's great.

素晴らしい

Now these numbers can be appreciated

この数列はいろいろな角度から

in many different ways.

楽しむことができます

From the standpoint of calculation,

計算の面では

they're as easy to understand

わかりやすい数列です

as one plus one, which is two.

1足す 1は 2で

Then one plus two is three,

1足す 2で 3 —

two plus three is five, three plus five is eight,

2足す 3で 5 3足す 5で 8と

and so on.

続きます

Indeed, the person we call Fibonacci

「フィボナッチ」の本名は

was actually named Leonardo of Pisa,

ピサのレオナルドです

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

彼の著書『算盤の書』で この数列が紹介されました

which taught the Western world

現在使われる計算方法は

the methods of arithmetic that we use today.

この本を通して 西洋世界に伝わりました

In terms of applications,

応用の点から言うと

Fibonacci numbers appear in nature

フィボナッチ数は

surprisingly often.

自然界にあふれています

The number of petals on a flower

花びらの数は普通 —

is typically a Fibonacci number,

フィボナッチ数です

or the number of spirals on a sunflower

ひまわりの花や パイナップルに見られる

or a pineapple

らせんの数も

tends to be a Fibonacci number as well.

フィボナッチ数が多いです

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

この数は さらに いろいろなものに見出せます

but what I find most inspirational about them

ただ最も想像力を かき立てられるのは

are the beautiful number patterns they display.

この数列の美しい規則性です

Let me show you one of my favorites.

お気に入りを一つ紹介します

Suppose you like to square numbers,

平方数は

and frankly, who doesn't? (Laughter)

皆さん お好きですよね（笑）

Let's look at the squares

フィボナッチ数の最初のいくつかを

of the first few Fibonacci numbers.

それぞれ 2乗してみましょう

So one squared is one,

1の 2乗は 1 —

two squared is four, three squared is nine,

2の 2乗は 4 3の 2乗は 9 —

five squared is 25, and so on.

5の 2乗は 25と続きます

Now, it's no surprise

さて 連続するフィボナッチ数を

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

加えると次の数を得ることが

you get the next Fibonacci number. Right?

できますよね

That's how they're created.

そういう作り方ですから

But you wouldn't expect anything special

でも 2乗した数 同士を

to happen when you add the squares together.

加えても何も 起こらないと思うでしょう

But check this out.

でも ご覧ください

One plus one gives us two,

1 + 1 = 2 —

and one plus four gives us five.

1 + 4 = 5 —

And four plus nine is 13,

4 + 9 = 13 —

nine plus 25 is 34,

9 + 25 = 34 になり

and yes, the pattern continues.

このパターンが続くのです

In fact, here's another one.

実は もう一つあります

Suppose you wanted to look at

フィボナッチ数を2乗したものを

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

最初から足していってみましょう

Let's see what we get there.

どうなるでしょうか

So one plus one plus four is six.

1 + 1 + 4 = 6 です

Add nine to that, we get 15.

これに 9を加えると 15になります

Add 25, we get 40.

25を加えると 40に

Add 64, we get 104.

64を加えると 104になります

Now look at those numbers.

出てきた数を調べましょう

Those are not Fibonacci numbers,

フィボナッチ数には なっていませんが

but if you look at them closely,

よく見ると

you'll see the Fibonacci numbers

フィボナッチ数が

buried inside of them.

隠れていますよ

Do you see it? I'll show it to you.

わかりますか？ ご覧に入れましょう

Six is two times three, 15 is three times five,

6 = 2 x 3 15 = 3 x 5 —

40 is five times eight,

40 = 5 x 8 です

two, three, five, eight, who do we appreciate?

2 3 5 8 ・・・ わかりますか？

(Laughter)

（笑）

Fibonacci! Of course.

フィボナッチ数ですよね

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

さて こんな規則性を 見つけるのは面白いですが

it's even more satisfying to understand

なぜそうなるかを理解すれば

why they are true.

さらに楽しくなります

Let's look at that last equation.

一番下の方程式を見てください

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと

add up to eight times 13?

8 x 13 になるのでしょうか

I'll show you by drawing a simple picture.

簡単な図で示します

We'll start with a one-by-one square

1 x 1 の正方形から始めて

and next to that put another one-by-one square.

隣に 1 x 1 の正方形を置きます

Together, they form a one-by-two rectangle.

合わせると 1 x 2 の 長方形ができます

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

その下に 2 x 2 の正方形 —

and next to that, a three-by-three square,

隣に 3 x 3 の正方形を置き

beneath that, a five-by-five square,

また下に 5 x 5 の正方形 —

and then an eight-by-eight square,

隣に 8 x 8 の正方形を置くと

creating one giant rectangle, right?

大きな長方形が出来ます

Now let me ask you a simple question:

さて 簡単な質問をしましょう

what is the area of the rectangle?

長方形の面積は？

Well, on the one hand,

一つのやり方は

it's the sum of the areas

面積は正方形の面積の

of the squares inside it, right?

合計ですね

Just as we created it.

そう作ったのですから

It's one squared plus one squared

1の2乗プラス 1の2乗プラス

plus two squared plus three squared

2の2乗プラス 3の2乗プラス —

plus five squared plus eight squared. Right?

5の2乗プラス 8の2乗ですよね

That's the area.

これが面積です

On the other hand, because it's a rectangle,

一方 これは長方形ですから

the area is equal to its height times its base,

面積は たて x よこ です

and the height is clearly eight,

たては 8ですね

and the base is five plus eight,

よこは 5 + 8 なので

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

次のフィナボッチ数である 13です

So the area is also eight times 13.

だから面積は 8 x 13 です

Since we've correctly calculated the area

面積を２種類の方法で

two different ways,

計算できました

they have to be the same number,

結果はお互いに同じなので

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと

add up to eight times 13.

8 x 13 になると言えるのです

Now, if we continue this process,

さて このプロセスを続けると

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

13 x 21や 21 x 34といった長方形を

21 by 34, and so on.

作り続けることができます

Now check this out.

では今度は

If you divide 13 by eight,

13を 8で割ってみると

you get 1.625.

1.625になります

And if you divide the larger number by the smaller number,

大きい方の数を 小さい方の数で割ると

then these ratios get closer and closer

その結果は次第に

to about 1.618,

およそ 1.618に近づいていきます

known to many people as the Golden Ratio,

この数こそ「黄金比」と 呼ばれる比率です

a number which has fascinated mathematicians,

多くの数学者 科学者 芸術家達を

scientists and artists for centuries.

何世紀もの間 魅了してきた数です

Now, I show all this to you because,

今回 この題材を取り上げた理由は

like so much of mathematics,

数学の大半がそうであるように

there's a beautiful side to it

美しい部分があるからです

that I fear does not get enough attention

ただ学校で このような美は

in our schools.

あまり注目されません

We spend lots of time learning about calculation,

計算の仕方は 長い期間をかけて学びますが

but let's not forget about application,

実際に応用することを 忘れてはいけません

including, perhaps, the most important application of all,

とりわけ重要なのは 考え方を学ぶ時に

learning how to think.

数学を応用することです

If I could summarize this in one sentence,

一言でまとめるとすれば

it would be this:

こうなるでしょう

Mathematics is not just solving for x,

「数学とは xの解を 求めるだけでなく

it's also figuring out why.

理由 “why” を 解明する学問である」

Thank you very much.

どうもありがとうございました

(Applause)

（拍手）