The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Fordító: Robert Vasas Lektor: Csaba Lóki

So why do we learn mathematics?

Nos, miért tanulunk matematikát?

Essentially, for three reasons:

Alapvetően három oka van:

calculation,

számolás,

application,

alkalmazás,

and last, and unfortunately least

és végül, és sajnos utolsó sorban

in terms of the time we give it,

az erre szentelt idő tekintetében,

inspiration.

inspiráció.

Mathematics is the science of patterns,

A matematika a minták tudománya,

and we study it to learn how to think logically,

és azért tanuljuk, hogy megtanuljunk logikusan,

critically and creatively,

kritikusan és kreatívan gondolkozni,

but too much of the mathematics that we learn in school

de túlnyomó része az iskolában tanult

is not effectively motivated,

matematikának nem eléggé motiváló,

and when our students ask,

és amikor a diák megkérdezi:

"Why are we learning this?"

"Miért tanuljuk ezt?"

then they often hear that they'll need it

akkor gyakran azt a választ kapja, hogy a következő

in an upcoming math class or on a future test.

matek órára tudni kell, vagy a vizsgán tudni kell.

But wouldn't it be great

De nem lenne nagyszerű,

if every once in a while we did mathematics

ha minden egyes pillanatban azért tanulnánk,

simply because it was fun or beautiful

mert egyszerűen élvezetes lenne, és szép,

or because it excited the mind?

vagy mert izgalmas?

Now, I know many people have not

Tudom, sok embernek nem adatott meg

had the opportunity to see how this can happen,

a lehetőség, hogy lássák, ez működhet,

so let me give you a quick example

szóval engedjék meg, hogy megmutassam egy példával,

with my favorite collection of numbers,

kedvenc számsorozatommal,

the Fibonacci numbers. (Applause)

a Fibonacci számokkal. (Taps)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Igeen. Máris vannak itt Fibonacci rajongók.

That's great.

Nagyszerű.

Now these numbers can be appreciated

Ezek a számok többféle szempontból is

in many different ways.

figyelemre méltóak.

From the standpoint of calculation,

Számolási szempontból

they're as easy to understand

olyan könnyen megérthetők,

as one plus one, which is two.

mint hogy egy meg egy az kettő.

Then one plus two is three,

Aztán egy meg kettő az három,

two plus three is five, three plus five is eight,

kettő meg három az öt, három meg öt az nyolc,

and so on.

és így tovább.

Indeed, the person we call Fibonacci

Egyébként, akit Fibonacci-ként ismerünk,

was actually named Leonardo of Pisa,

valójában Pisai Leonardónak hívták,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

és ezek a számok a "Liber Abaci" című könyvében tűntek fel,

which taught the Western world

mely megtanította a nyugati társadalmakat arra

the methods of arithmetic that we use today.

a számtantudományra, amit mai napig alkalmazunk.

In terms of applications,

Az alkalmazás tekintetében a Fibonacci

Fibonacci numbers appear in nature

számok meglepően sokszor előfordulnak

surprisingly often.

a természetben.

The number of petals on a flower

Egy virág szirmainak száma

is typically a Fibonacci number,

tipikus Fibonacci szám,

or the number of spirals on a sunflower

vagy a spirálok száma a napraforgón

or a pineapple

vagy az ananászon

tends to be a Fibonacci number as well.

ugyancsak hajlamos Fibonacci szám lenni.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Valójában rengeteg megjelenési formája van a Fibonacci számoknak,

but what I find most inspirational about them

de számomra a legelgondoltatóbbak

are the beautiful number patterns they display.

a gyönyörű, szabályos minták, amiket ezek a számok kiadnak.

Let me show you one of my favorites.

Had mutassam meg az egyik kedvencemet.

Suppose you like to square numbers,

Felteszem szeretnek négyzetre emelni,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

most őszintén, ki nem szeret? (Nevetés)

Let's look at the squares

Nézzük az első pár Fibonacci szám

of the first few Fibonacci numbers.

négyzetét.

So one squared is one,

Egy négyzete az egy,

two squared is four, three squared is nine,

Kettő négyzete az négy, három négyzete kilenc,

five squared is 25, and so on.

öt négyzete 25, és így tovább.

Now, it's no surprise

Abban nincs semmi meglepő, hogy ha összeadjuk

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

az egymás melletti Fibonacci számokat,

you get the next Fibonacci number. Right?

akkor a következő Fibonacci számot kapjuk, igaz?

That's how they're created.

Hisz így kell képezni a sort.

But you wouldn't expect anything special

De nem számítanának semmi érdekesre,

to happen when you add the squares together.

ha az egymás melletti négyzeteiket adjuk össze.

But check this out.

De nézzék csak.

One plus one gives us two,

Egy meg egy kettöt ad,

and one plus four gives us five.

és egy meg négy ötöt.

And four plus nine is 13,

Négy meg kilenc az 13,

nine plus 25 is 34,

kilenc meg 25 az 34,

and yes, the pattern continues.

és igen, a szabály folytatódik.

In fact, here's another one.

Valójában, itt egy másik.

Suppose you wanted to look at

Gondolom most meg akarják nézni az első pár

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

Fibonacci szám négyzetösszegeit.

Let's see what we get there.

Lássuk, mit kapunk.

So one plus one plus four is six.

Egy meg egy meg négy az hat.

Add nine to that, we get 15.

Adjuk hozzá a kilencet, az 15.

Add 25, we get 40.

Adjuk hozzá a 25-öt, az 40.

Add 64, we get 104.

Adjuk hozzá a 64-et, 104-et kapunk.

Now look at those numbers.

Most nézzük ezeket a számokat.

Those are not Fibonacci numbers,

Ezek nem Fibonacci számok,

but if you look at them closely,

de ha közelebbről megnézzük öket,

you'll see the Fibonacci numbers

akkor felfedezhetjük bennük

buried inside of them.

a Fibonacci számokat elrejtve.

Do you see it? I'll show it to you.

Látják? Megmutatom.

Six is two times three, 15 is three times five,

Hat az kétszer három, 15 az háromszor öt.

40 is five times eight,

40 az ötször nyolc,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

kettő, három, öt, nyolc, na most kire gondolsz?

(Laughter)

(Nevetès)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! Hát persze.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Amennyire jó móka felfedezni ezeket az ismétlődő mintákat,

it's even more satisfying to understand

még annál is jobb megérteni,

why they are true.

hogy ezek miért igazak.

Let's look at that last equation.

Nézzük az utolsó egyenletet.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Miért szükségszerű, hogy az egy, egy, kettő, három, öt és kilenc négyzetösszege

add up to eight times 13?

pontosan 8x13 ?

I'll show you by drawing a simple picture.

Megmutatom egy egyszerű rajzocskával.

We'll start with a one-by-one square

Kezdjük egy 1x1-es négyzettel

and next to that put another one-by-one square.

majd tegyünk mégegy 1x1-es négyzetet mellé.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Együtt egy 1x2-es téglalapot alkotnak.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Teszek alájuk egy 2x2-es négyzetet,

and next to that, a three-by-three square,

majd melléjük egy 3x3-as négyzetet,

beneath that, a five-by-five square,

majd mindezek alá egy 5x5-ös négyzetet,

and then an eight-by-eight square,

majd ezután egy 8x8-as négyzet jön,

creating one giant rectangle, right?

létrehozva egy nagy téglalapot, igaz?

Now let me ask you a simple question:

Had tegyek fel egy egyszerű kérdést:

what is the area of the rectangle?

Mekkora a területe ennek a nagy téglalapnak?

Well, on the one hand,

Nos, egyfelől

it's the sum of the areas

az összege a kis részterületeknek,

of the squares inside it, right?

azaz a négyzetek összege, igaz?

Just as we created it.

Ezekből raktuk össze.

It's one squared plus one squared

Egy a négyzeten plusz egy a négyzeten

plus two squared plus three squared

plusz kettő a négyzeten plusz három a négyzeten

plus five squared plus eight squared. Right?

plusz öt a négyzeten plusz nyolc a négyzeten, igaz?

That's the area.

Ez a területe.

On the other hand, because it's a rectangle,

Másfelől, mivel ez egy téglalap,

the area is equal to its height times its base,

a területe egyenlő a két oldal szorzatával,

and the height is clearly eight,

és az egyik oldal nyilván 8,

and the base is five plus eight,

a másik oldal pedig 5 plusz 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

ami 13, azaz a következő Fibonacci szám. Igaz?

So the area is also eight times 13.

Tehát a területet felírhatjuk úgy is, hogy 8x13.

Since we've correctly calculated the area

Mivel kétféle módon felírtuk

two different ways,

ugyanazt a területet,

they have to be the same number,

így ezek szükségképpen egyenlőek,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

ezért van az, hogy az 1, 1, 2, 3, 5 és 8

add up to eight times 13.

négyzetösszege egyenő 8x13-mal.

Now, if we continue this process,

Most ha folytatjuk az eljárást,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

kapunk egy 13x21-es nagy téglalapot,

21 by 34, and so on.

majd egy 21x34-es téglalapot, és így tovább.

Now check this out.

Most ezt nézzék csak!

If you divide 13 by eight,

Ha elosztjuk 8-cal a 13-at,

you get 1.625.

1.625-öt kapunk.

And if you divide the larger number by the smaller number,

És ha elosztjuk a nagyobb számot a kisebbel,

then these ratios get closer and closer

a hányados egyre közelít

to about 1.618,

az 1.618-hoz,

known to many people as the Golden Ratio,

ami nem más, mint az aranymetszés,

a number which has fascinated mathematicians,

a szám, mely elbűvölte a matematikusokat,

scientists and artists for centuries.

tudósokat, művészeket századokon át.

Now, I show all this to you because,

Most, ezt az egészet azért mutatom meg önöknek,

like so much of mathematics,

mert mint annyi másnak a matematikában,

there's a beautiful side to it

ennek is rengeteg szépsége van,

that I fear does not get enough attention

és félek nem kap elég figyelmet

in our schools.

az iskolai oktatásban.

We spend lots of time learning about calculation,

Rengeteg időt töltünk számolással,

but let's not forget about application,

de ne feledkezzünk meg az alkalmazásáról se,

including, perhaps, the most important application of all,

ideértve talán a legfontosabb alkalmazását,

learning how to think.

a gondolkodni tanítást.

If I could summarize this in one sentence,

Egy mondatban úgy tudnám

it would be this:

összefoglalni mindezt:

Mathematics is not just solving for x,

A matematika nem csak az, hogy mennyi az x,

it's also figuring out why.

hanem azt is megmondja, miért annyi.

Thank you very much.

Köszönöm szépen.

(Applause)

(Taps)