The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

آرتور بنجامین: جادوی اعداد فیبوناچی

Translator: Leila Ataei Reviewer: Shahram Eatezadi

So why do we learn mathematics?

خب چرا رياضى ياد مى‌‌گيريم؟

Essentially, for three reasons:

اساسا، بخاطر سه دليل:

calculation,

محاسبه،

application,

كاربرد،

and last, and unfortunately least

و آخرى، و متاسفانه كمترين

in terms of the time we give it,

از لحاظ زمانى كه به اون اختصاص مى‌‌ديم،

inspiration.

الهام بخش بودن ست.

Mathematics is the science of patterns,

رياضى علم الگوهاست،

and we study it to learn how to think logically,

و اون را مطالعه مى‌‌كنيم تا ياد بگيريم چطور منطقى، منتقدانه

critically and creatively,

و خلاقانه فكر كنيم،

but too much of the mathematics that we learn in school

اما بخش خيلى زيادى از رياضى كه تو مدرسه ياد مى‌‌گيريم

is not effectively motivated,

بطور موثرى برانگيزاننده نيست،

and when our students ask,

و وقتى شاگردهامون مى‌‌پرسند،

"Why are we learning this?"

"چرا اين را ياد مى‌‌گيريم؟"

then they often hear that they'll need it

چيزى كه اغلب مى‌‌شنوند اين كه در كلاس رياضى

in an upcoming math class or on a future test.

در‌اینده‌‌ پيش رو يا درآزمون آتى لازم ميشه.

But wouldn't it be great

اما بهترنیست

if every once in a while we did mathematics

اگر هر از گاهى رياضى را فقط صرف اين انجام بدیم

simply because it was fun or beautiful

كه جالب يا زيباست

or because it excited the mind?

يا به اين خاطر كه ذهن را به هيجان مياره؟

Now, I know many people have not

الان، آدمهاى زيادى را مى‌‌شناسم

had the opportunity to see how this can happen,

كه این فرصت را نداشتن ببین چطور مى‌‌تونه همچین اتفاقی بيفته،

so let me give you a quick example

خب بگذارید براتون مثالی بزنم

with my favorite collection of numbers,

از سری اعداد دلخواهم،

the Fibonacci numbers. (Applause)

اعداد فيبوناچى. (تشويق)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

آهان! طرفدارهاى فيبوناچى هم كه اينجا هستند.

That's great.

فوق العاده‌ست.

Now these numbers can be appreciated

الان این اعداد به طرق مختلف

in many different ways.

مورد قدرانی قرار می گیرند.

From the standpoint of calculation,

از نقطه نظر محاسبه،

they're as easy to understand

فهمیدنشون آسان است

as one plus one, which is two.

مثلا یک بعلاوه یک که می‌شود دو.

Then one plus two is three,

بعد یک بعلاوه دو که می‌شود سه،

two plus three is five, three plus five is eight,

دو بعلاوه سه پنج میشود، سه بعلاوه پنج هم هشت،

and so on.

و الی آخر.

Indeed, the person we call Fibonacci

در واقع، شخصی که فیبوناچی می‌نامیم

was actually named Leonardo of Pisa,

درواقع لئوناردولئوناردوی پیزا نام داشت،

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

و این ارقامی که در کتابش تحت عنوان « محاسبات (Liber abaci) » اومدند

which taught the Western world

به جهان غرب متدهایی از علم حساب را

the methods of arithmetic that we use today.

آموزش میداد که امروزه استفاده می‌کنیم.

In terms of applications,

از لحاظ کاربردی،

Fibonacci numbers appear in nature

اعداد فیبوناچی اغلب در طبیعت بطرزی

surprisingly often.

شگفت آور ظاهر می‌شوند.

The number of petals on a flower

تعداد گلبرگهای یک گل

is typically a Fibonacci number,

عموما عددی فیبوناچی است،

or the number of spirals on a sunflower

یا تعداد مارپیچ‌های روی یک گل آفتاب‌گردان

or a pineapple

یا يك آناناس

tends to be a Fibonacci number as well.

همینطور از قاعده سری فیبوناچی پیروی می‌کنند.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

در حقیقت، کابردهای خیلی بیشتری دربرگیرنده ارقام فیبوناچی می‌شه،

but what I find most inspirational about them

اما چیزی که بیش ازهمه دربارشون میابم

are the beautiful number patterns they display.

الگوهای عددی زیبایی هستند که نمایش می‌دهند.

Let me show you one of my favorites.

بگذارید براتون یکی از موارد محبوبم را نشان بدم.

Suppose you like to square numbers,

فرض کنیم شما از محاسبه مربع کامل اعداد خوشتون میاد،

and frankly, who doesn't? (Laughter)

و بدون تعارف، کی خوشش نمیاد؟ (خنده)

Let's look at the squares

به این مربع‌های کامل

of the first few Fibonacci numbers.

از چند تا عدد اول فيبوناچى نگاه كنيم.

So one squared is one,

خب مربع كامل يك، يك است،

two squared is four, three squared is nine,

مربع كامل دو، چهار ميشه، مربع كامل سه، نه ميشه،

five squared is 25, and so on.

پنج هم ميشه ٢٥ و غيره.

Now, it's no surprise

خب اين شگفت انگيز نيست

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

كه وقتى اعداد متوالى فيبوناچى را جمع كنيد

you get the next Fibonacci number. Right?

عدد فيبوناچى بعدى را به دست مياريد. اينطور نيست؟

That's how they're created.

اين طريقى كه اونها خلق ميشوند.

But you wouldn't expect anything special

اما شما وقتى مربع‌‌هاى كامل را با هم جمع مى‌‌كنيد

to happen when you add the squares together.

انتظار نداريد چيز خاصى اتفاق بيفته.

But check this out.

اما اين را ببينيد.

One plus one gives us two,

يك بعلاوه يك، دو را به ما مى‌‌ده،

and one plus four gives us five.

و يك بعلاوه چهار به ما پنج ميده.

And four plus nine is 13,

و چهار بعلاوه نه ميشود ١٣،

nine plus 25 is 34,

نه بعلاوه ٢٥ ميشود ٣٤،

and yes, the pattern continues.

و بله، این الگو ادامه داره.

In fact, here's another one.

در واقع، يكى ديگه هم هست.

Suppose you wanted to look at

فرض كنيد كه ميخواستيد

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

مربع‌‌هاى كامل چند تا عدد فيبوناچى اول را جمع كنيد.

Let's see what we get there.

بگذارييد ببينيم به كجا ميرسيم.

So one plus one plus four is six.

خب يك بعلاوه يك بعلاوه چهار، ميشه شش

Add nine to that, we get 15.

و با اضافه كردن نه به اون، ١٥ حاصل ميشه.

Add 25, we get 40.

٢٥ اضافه كنيم، ٤٠ حاصل ميشه.

Add 64, we get 104.

با افزودن ٦٤، ١٠٤ بدست مياد.

Now look at those numbers.

حال به اون اعداد نگاه كنيد.

Those are not Fibonacci numbers,

اونها اعداد فيبوناچى نيستند،

but if you look at them closely,

اگه با دقت بهشون نگاه كنيد،

you'll see the Fibonacci numbers

خواهيد ديد كه اعداد فيبوناچى

buried inside of them.

درون اونها مخفى است.

Do you see it? I'll show it to you.

آيا اون را ديديد؟ بهتون نشونش ميدم.

Six is two times three, 15 is three times five,

شش مساوى دو ضربدر سه است، ١٥ مساوى سه ضربدر پنج،

40 is five times eight,

٤٠ پنج برابر هشت است،

two, three, five, eight, who do we appreciate?

دو، سه، پنج، هشت، از كى بايد قدردانى كرد؟

(Laughter)

(خنده)

Fibonacci! Of course.

فيبوناچى! البته.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

خب، همونقدر كه الان كشف كردن اين الگوها جالبه،

it's even more satisfying to understand

فهميدن اين كه چرا اونها حقيقى هستند

why they are true.

رضايت بخش‌‌تره.

Let's look at that last equation.

خب به اون معادله آخر نگاه كنيد.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

چرا بايد مربع كامل يك، يك، دو، سه، پنج و هشت

add up to eight times 13?

به هشت ضربدر ١٣ بيفزايد؟

I'll show you by drawing a simple picture.

با کشیدن یک تصویر ساده نشونتون خواهم داد.

We'll start with a one-by-one square

با یک مربع یک در یک شروع می‌کنم

and next to that put another one-by-one square.

و بعدش یک مربع یک در یک دیگر می‌گذارم.

Together, they form a one-by-two rectangle.

با هم دیگه، اونها مستطیل یک در دویی را تشکیل می‌دهند.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

زیر اون، مربع دو در دویی را قرار می‌دم،

and next to that, a three-by-three square,

و بغل اون، یک مربع سه در سه،

beneath that, a five-by-five square,

زیر اون، یک مربع پنج در پنج.

and then an eight-by-eight square,

و بعديك مربع هشت در هشت

creating one giant rectangle, right?

يك مستطيل گنده را خلق مى‌‌كند، اينطور نيست؟

Now let me ask you a simple question:

خب حالا بگذارييد سوالى ساده ازتون بپرسم:

what is the area of the rectangle?

مساحت مستطيل چيه؟

Well, on the one hand,

خب، از يك طرف،

it's the sum of the areas

جمع مساحتهاى

of the squares inside it, right?

مربعهاى داخل اون است، اينطور نيست؟

Just as we created it.

درست همانطور كه اون را خلق كرديم.

It's one squared plus one squared

یک مربع كامل بعلاوه یک مربع كامل

plus two squared plus three squared

بعلاوه مربع كامل دو بعلاوه مربع كامل سه

plus five squared plus eight squared. Right?

بعلاوه مربع كامل پنج بعلاوه مربع كامل هشت. اینطور نیست؟

That's the area.

اون مساحت است.

On the other hand, because it's a rectangle,

از سوى ديگه، چون مستطيل است.

the area is equal to its height times its base,

مساحت اون برابر حاصلضرب ارتفاع در پايه است،

and the height is clearly eight,

و ارتفاع هم كه هشت است،

and the base is five plus eight,

و مبنا پنج بعلاوه هشت است،

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

كه عدد فيبوناچى بعدى است، يعنى ١٣. نه؟

So the area is also eight times 13.

بنابراين مساحت همچنين هشت در ١٣ است.

Since we've correctly calculated the area

چون مساحت را به دو روش مختلف

two different ways,

به درستى محاسبه كرديم،

they have to be the same number,

بايدعددمون یکسان باشه،

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

و بهمين خاطر كه مربع‌‌هاى كامل يك، يك، دو، سه، پنج و هشت

add up to eight times 13.

تا هشت در ١٣ افزایش پیدا می‌کنند.

Now, if we continue this process,

خب الان اگر به اين فرايند ادامه بديم،

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

مستطيل‌‌هاىی با اعداد ٢١ در ١٣، ۲۱ در ۳۴

21 by 34, and so on.

توليد خواهيم كرد و الى آخر.

Now check this out.

خب الان اين را امتحان كنيد.

If you divide 13 by eight,

اگر ١٣ را تقسيم بر ٨ كنيد،

you get 1.625.

به ١/٦٢٥ مى‌‌رسيد.

And if you divide the larger number by the smaller number,

و اگر عدد بزرگتر را به عدد كوچكتر تقسيم كنيم،

then these ratios get closer and closer

اين ضريب‌‌ها به رقمى در حدود

to about 1.618,

١/٦١٨ نزديك و نزديك‌‌تر مى‌‌شود،

known to many people as the Golden Ratio,

كه از سوى خيلى‌‌ها بعنوان ضريب طلايى شناخته مى‌‌شود،

a number which has fascinated mathematicians,

رقمى كه رياضيدانها، دانشمندان و هنرمندان

scientists and artists for centuries.

را قرنهاست كه مجذوب كرده است.

Now, I show all this to you because,

الان، همه اينها را به شما نشون مى‌‌دم،

like so much of mathematics,

چون مثل بيشتر رياضى

there's a beautiful side to it

جنبه زيبايى هم داره

that I fear does not get enough attention

كه مى‌‌ترسم توجه كافى را در مدارسمون

in our schools.

بخودش جلب نكنه.

We spend lots of time learning about calculation,

ما زمان زيادى را صرف يادگيرى درباره محاسبه كردن مى‌‌كنيم،

but let's not forget about application,

اما بياييد كاربرد را فراموش نكنيم،

including, perhaps, the most important application of all,

از جمله، شايد، مهمترين كاربرد از همه آنها،

learning how to think.

ياد بگيريم چطور فكر كنيم.

If I could summarize this in one sentence,

اگر بتوانم این را در یک جمله خلاصه کنم،

it would be this:

این می شود:

Mathematics is not just solving for x,

ریاضیات تنها حل کردن پارامتر مجهول نیست،

it's also figuring out why.

بلکه پی بردن به دليل اون هم هست.

Thank you very much.

خیلی خیلی از شما سپاسگذارم.

(Applause)

(تشویق)