The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

Prevoditelj: Mladen Barešić Recezent: Senzos Osijek

So why do we learn mathematics?

Zašto mi, zapravo, učimo matematiku?

Essentially, for three reasons:

Tri su bitna razloga:

calculation,

računanje,

application,

primjena,

and last, and unfortunately least

i posljednje, a nažalost i najmanje važno

in terms of the time we give it,

u smislu vremena koje joj posvećujemo,

inspiration.

nadahnuće.

Mathematics is the science of patterns,

Matematika je znanost o obrascima,

and we study it to learn how to think logically,

i proučavamo je kako bismo naučili misliti logički,

critically and creatively,

kritički i stvaralački,

but too much of the mathematics that we learn in school

ali suviše matematike koju u školi učimo

is not effectively motivated,

nije pravilno motivirana,

and when our students ask,

i kad nas naši učenici pitaju,

"Why are we learning this?"

"Zašto ovo učimo?"

then they often hear that they'll need it

često čuju da će im to trebati

in an upcoming math class or on a future test.

na sljedećem satu matematike, ili u nekom testu sljedećeg mjeseca.

But wouldn't it be great

Ali, ne bi li bilo sjajno

if every once in a while we did mathematics

kad bismo se s vremena na vrijeme matematikom bavili

simply because it was fun or beautiful

jednostavno zato što je ona zabavna, prelijepa

or because it excited the mind?

ili intelektualno uzbudljiva?

Now, I know many people have not

Znam da mnogi ljudi nisu nikad imali

had the opportunity to see how this can happen,

prigodu vidjeti kako bi to izgledalo,

so let me give you a quick example

pa mi dopustite da vam dam jednostavan primjer,

with my favorite collection of numbers,

primjer mojeg omiljenog skupa brojeva,

the Fibonacci numbers. (Applause)

Fibonaccijevih brojeva. (Pljesak)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Odlično! I ovdje ima ljubitelja Fibonaccijeviih brojeva.

That's great.

To je odlično.

Now these numbers can be appreciated

Vrijednost tih brojeva moguće je cijeniti

in many different ways.

na mnogo različitih načina.

From the standpoint of calculation,

Promotrimo li ih iz kuta računanja,

they're as easy to understand

lako ih je razumjeti kao i

as one plus one, which is two.

kao jedan plus jedan, što je dva..

Then one plus two is three,

Potom, jedan plus dva je tri,

two plus three is five, three plus five is eight,

dva plus tri je pet, tri plus pet je osam,

and so on.

i tako dalje.

Indeed, the person we call Fibonacci

Doista, osoba koju nazivamo Fibonacci

was actually named Leonardo of Pisa,

zvao se, zapravo, Leonardo od Pise,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

a ovi se brojevi pojavljuju u njegovoj knjizi "Liber Abaci",

which taught the Western world

iz koje je Zapadni svijet naučio

the methods of arithmetic that we use today.

aritmetičke metode koje danas koristimo.

In terms of applications,

Što se primjene tiče,

Fibonacci numbers appear in nature

Fibonaccijevi brojevi se u prirodi pojavljuju

surprisingly often.

iznenađujuće često.

The number of petals on a flower

Broj latica na cvijetu

is typically a Fibonacci number,

obično je neki Fibonaccijev broj,

or the number of spirals on a sunflower

ili broj spirala na suncokretovom cvijetu,

or a pineapple

ili na ananasovom plodu

tends to be a Fibonacci number as well.

također teži jednom od Fibonaccijevih brojeva.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

Ustvari, u mnogo drugih slučajeva nalazimo Fibonaccijeve brojeve,

but what I find most inspirational about them

ali ono što ja u njima smatram najviše nadahnjujućim

are the beautiful number patterns they display.

jesu prelijepi brojevni obrasci koje prikazuju.

Let me show you one of my favorites.

Pokazat ću vam jedan od svojih omiljenih.

Suppose you like to square numbers,

Pretpostavimo da volite kvadrirati brojeve,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

i, iskreno, tko ne voli? (Smijeh)

Let's look at the squares

Pogledajmo kvadrate

of the first few Fibonacci numbers.

prvih nekoliko Fibonaccijevih brojeva.

So one squared is one,

Dakle, jedan na kvadrat je jedan,

two squared is four, three squared is nine,

dva na kvadrat je četiri, tri na kvadrat je devet,

five squared is 25, and so on.

pet na kvadrat je dvadeset i pet, i tako dalje.

Now, it's no surprise

Naravno, nije iznenađujuće

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

kad pribrajanjem uzastopnih Fibonaccijevih brojeva

you get the next Fibonacci number. Right?

dobijemo sljedeći Fibonaccijev broj. Zar ne?

That's how they're created.

Tako su i stvoreni.

But you wouldn't expect anything special

Međutim, ne biste očekivali ništa osobito

to happen when you add the squares together.

krenete li zbrajati kvadrate.

But check this out.

Ali, pogledajte ovo.

One plus one gives us two,

Jedan plus jedan daje dva,

and one plus four gives us five.

a jedan plus četiri daje pet.

And four plus nine is 13,

A četiri plus devet daju trinaest,

nine plus 25 is 34,

a devet plus 25 je 34,

and yes, the pattern continues.

i da, obrazac se nastavlja.

In fact, here's another one.

Zapravo, evo vam još jednog.

Suppose you wanted to look at

Pretpostavimo da ste poželjeli sagledati

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

zbrajanje kvadrata prvih nekoliko Fibonaccijevih brojeva.

Let's see what we get there.

Pogledajmo što ćemo dobiti.

So one plus one plus four is six.

Dakle jedan plus jedan plus četiri je šest.

Add nine to that, we get 15.

Dodamo li tome devet, dobit ćemo 15.

Add 25, we get 40.

Dodajmo 25 i dobivamo 40.

Add 64, we get 104.

Dodajmo 64 i dobivamo 104.

Now look at those numbers.

Razmotrimo te brojeve.

Those are not Fibonacci numbers,

To nisu Fiboonaccijevi brojevi,

but if you look at them closely,

ali promotrite li ih pažljivije,

you'll see the Fibonacci numbers

uočit ćete Fibonaccijeve brojeve

buried inside of them.

skrivene u njima.

Do you see it? I'll show it to you.

Vidite li ih? Pokazat ću vam.

Six is two times three, 15 is three times five,

Šest je dva puta tri, a 15 je tri puta pet,

40 is five times eight,

40 je pet puta osam,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

dva, tri, pet, osam, volite me takvog tko sam?

(Laughter)

(Smijeh)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! Naravno.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Koliko god bilo zabavno otkrivati ovakve obrasce,

it's even more satisfying to understand

još je više ispunjavajuće uvidjeti

why they are true.

zašto je tome tako.

Let's look at that last equation.

Pogledajmo posljednju jednadžbu.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Zašto bi kvadrati brojeva jedan, jedan, dva, tri, pet i osam

add up to eight times 13?

u zbroju bili jednaki umnošku osam i 13?

I'll show you by drawing a simple picture.

Objasnit ću vam ovim jednostavnim prikazom.

We'll start with a one-by-one square

Započnimo s kvadratom dimenzija jedan puta jedan

and next to that put another one-by-one square.

i do njega stavimo još jedan kvadrat dimenzija jedan puta jedan.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Zajedno, oni čine pravokutnik dimenzija jedan puta dva.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Ispod njih, nacrtat ću kvadrat dimenzija dva puta dva,

and next to that, a three-by-three square,

a do njih, kvadrat tri puta tri,.

beneath that, a five-by-five square,

Ispod njih, kvadrat pet puta pet,

and then an eight-by-eight square,

a potom kvadrat osam puta osam,

creating one giant rectangle, right?

kreirajući tako jedan ogroman pravokutnik, zar ne?

Now let me ask you a simple question:

Postavit ću vam jednostavno pitanje:

what is the area of the rectangle?

Kolika je površina pravokutnika?

Well, on the one hand,

S jedne strane,

it's the sum of the areas

ona je suma površina

of the squares inside it, right?

ucrtanih kvadrata, zar ne?

Just as we created it.

Tako je pravokutnik i nastao.

It's one squared plus one squared

Dakle, jedan na kvadrat plus jedan na kvadrat,

plus two squared plus three squared

plus dva na kvadrat, plus tri na kvadrat,

plus five squared plus eight squared. Right?

plus pet na kvadrat, plus osam na kvadrat.

That's the area.

To je površina.

On the other hand, because it's a rectangle,

S druge strane, budući da se radi o pravokutniku,

the area is equal to its height times its base,

površina je jednaka umnošku njegove visine i njegove baze,

and the height is clearly eight,

pri čemu je visina očito osam

and the base is five plus eight,

a baza je pet plus osam,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

što je sljedeći Fibonaccijev broj, 13.Zar ne?

So the area is also eight times 13.

Prema tome, površina je osam puta 13.

Since we've correctly calculated the area

Budući da smo ispravno izračunali površinu

two different ways,

na dva različita načina,

they have to be the same number,

to trebaju biti isti brojevi,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

i etto zašto kvadrati brojeva jedan, jedan, dva, tri, pet i osam

add up to eight times 13.

zbrojeni daju osam puta 13.

Now, if we continue this process,

Nastavimo li ovaj postupak,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

stvorit ćemo pravokutnike oblika 13 puta 21,

21 by 34, and so on.

21 puta 34, i tako dalje.

Now check this out.

A razmotrimo ovo.

If you divide 13 by eight,

Podijelimo li 13 sa osam,

you get 1.625.

dobit ćemo 1,625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

I dijelimo li veći broj s manjim brojem,

then these ratios get closer and closer

primijetit ćemo da se količnici sve više približavaju

to about 1.618,

broju 1,618,

known to many people as the Golden Ratio,

mnogim ljudima znanom kao Zlatni omjer,

a number which has fascinated mathematicians,

broj koji je stoljećima očaravao matematičare,

scientists and artists for centuries.

znanstvenike i umjetnike stoljećima.

Now, I show all this to you because,

Sve vam ovo pokazujem zato što,

like so much of mathematics,

kao toliko toga u matematici,

there's a beautiful side to it

ovo posjeduje osobitu ljepotu kojoj,

that I fear does not get enough attention

bojim se, ne poklanjamo dovoljno pozornosti

in our schools.

u našim školama.

We spend lots of time learning about calculation,

Mnogo vremena provodimo učeći o računanju,

but let's not forget about application,

ali ne zaboravimo na primjenu,

including, perhaps, the most important application of all,

uključujući, možda, i najvažniju od svih mogućih primjena,

learning how to think.

učiti kako misliti.

If I could summarize this in one sentence,

Kad bih ovo mogao sažeti u jednoj rečenici,

it would be this:

bila bi to ova:

Mathematics is not just solving for x,

Matematika ne služi samo za rješavanje x-a,

it's also figuring out why.

već i razotkrivanje onoga zašto.

Thank you very much.

Hvala vam puno.

(Applause)

(Pljesak)