The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin | TED

מתרגם: Shlomo Adam מבקר: Ido Dekkers

So why do we learn mathematics?

מדוע אנו לומדים מתמטיקה?

Essentially, for three reasons:

עקרונית, משלוש סיבות:

calculation,

לחישובים,

application,

ליישומים,

and last, and unfortunately least

ואחרון, ולמרבה הצער, לא חביב,

in terms of the time we give it,

מבחינת הזמן שאנו מקדישים לו,

inspiration.

לשם השראה.

Mathematics is the science of patterns,

המתמטיקה היא מדע התבניות,

and we study it to learn how to think logically,

ואנו חוקרים אותה כדי ללמוד לחשוב באופן לוגי,

critically and creatively,

ביקורתי ויצירתי,

but too much of the mathematics that we learn in school

אבל יותר מדי מהמתמטיקה שאנו לומדים בביה"ס

is not effectively motivated,

אינה נלמדת מתוך תמריץ יעיל,

and when our students ask,

וכשתלמידינו שואלים,

"Why are we learning this?"

"מדוע אנו לומדים את זה?"

then they often hear that they'll need it

הם לעתים קרובות שומעים, שהם יזדקקו לזה

in an upcoming math class or on a future test.

בשיעורי המתמטיקה הבאים או באיזו בחינה בעתיד.

But wouldn't it be great

האם לא היה נפלא

if every once in a while we did mathematics

אילו מידי פעם בפעם הייו עוסקים במתמטיקה

simply because it was fun or beautiful

פשוט משום שהיא כייפית או יפה,

or because it excited the mind?

או משום שהיא מלהיבה את המוח?

Now, I know many people have not

אני יודע שאנשים רבים

had the opportunity to see how this can happen,

לא זכו להזדמנות לראות איך זה ייתכן,

so let me give you a quick example

אז הבה ואתן לכם דוגמה זריזה

with my favorite collection of numbers,

בעזרת אוסף המספרים האהוב עלי,

the Fibonacci numbers. (Applause)

מספרי פיבונאצ'י. [מחיאות כפיים]

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

כן! כבר יש לי כאן אוהדים של פיבונאצ'י.

That's great.

מעולה!

Now these numbers can be appreciated

את המספרים האלה אפשר להעריך

in many different ways.

בדרכים רבות.

From the standpoint of calculation,

מההיבט החישובי,

they're as easy to understand

הם קלים להבנה

as one plus one, which is two.

כמו 1 ועוד 1 שזה 2,

Then one plus two is three,

,1+2=3

two plus three is five, three plus five is eight,

,2+3=5 ,3+5=8

and so on.

וכן הלאה.

Indeed, the person we call Fibonacci

למען האמת, האדם שאנו מכנים פיבונאצ'י

was actually named Leonardo of Pisa,

שמו היה למעשה לאונרדו מפיזה,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

והמספרים האלה מופיעים בספרו "ליבר אבאצ'י",

which taught the Western world

שלימד את העולם המערבי

the methods of arithmetic that we use today.

את השיטות החשבוניות בהן אנו משתמשים כיום.

In terms of applications,

מבחינה יישומית,

Fibonacci numbers appear in nature

מספרי פיבונאצ'י מופיעים בטבע

surprisingly often.

לעתים תכופות עד להפתיע.

The number of petals on a flower

מספר עלי הכותרת בפרח

is typically a Fibonacci number,

הם מספר פיבונאצ'י אופייני,

or the number of spirals on a sunflower

או מספר הספירלות בחמניה

or a pineapple

או באננס

tends to be a Fibonacci number as well.

נוטים גם הם להיות מספרי פיבונאצ'י.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

למעשה, יש עוד יישומים רבים למספרי פיבונאצ'י,

but what I find most inspirational about them

אבל מה שבעיני הכי מעורר השראה בהם

are the beautiful number patterns they display.

הוא התבניות המספריות היפהפיות שהם מפגינים.

Let me show you one of my favorites.

הבה ואראה לכם אחת מהאהובות עלי.

Suppose you like to square numbers,

נניח שאתם אוהבים להכפיל מספרים בריבוע,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

ולמען האמת, מי לא? [צחוק]

Let's look at the squares

הבה נראה את החזקות השניות

of the first few Fibonacci numbers.

של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.

So one squared is one,

אחד בריבוע הוא אחד,

two squared is four, three squared is nine,

שתיים בריבוע שווה ארבע, שלוש בריבוע שווה תשע,

five squared is 25, and so on.

חמש בריבוע שווה 25, וכן הלאה.

Now, it's no surprise

אז לא מפתיע

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

שכאשר מחברים מספרי פיבונאצ'י רציפים,

you get the next Fibonacci number. Right?

מקבלים את מספרי פיבונאצ'י הבאים בסדרה, נכון?

That's how they're created.

כך הם נוצרים.

But you wouldn't expect anything special

אבל לא הייתם מצפים שיקרה משהו מיוחד

to happen when you add the squares together.

כשתחברו את הריבועים.

But check this out.

אבל תראו מה זה:

One plus one gives us two,

1+1=2

and one plus four gives us five.

1+4=5

And four plus nine is 13,

4+9=13

nine plus 25 is 34,

9+25=34

and yes, the pattern continues.

כן, הדפוס הזה נמשך.

In fact, here's another one.

בעצם, הנה עוד אחד.

Suppose you wanted to look at

נניח שרוצים לבדוק

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

את חיבור הריבועים של מספרי פיבונאצ'י הראשונים.

Let's see what we get there.

הבה ונראה מה נקבל.

So one plus one plus four is six.

1 + 1 + 4 = 6.

Add nine to that, we get 15.

תוסיפו לזה 9, ונקבל 15.

Add 25, we get 40.

תוסיפו 25, ונקבל 40.

Add 64, we get 104.

תוסיפו 64, ונקבל 104.

Now look at those numbers.

כעת הביטו במספרים האלה.

Those are not Fibonacci numbers,

אלה אינם מספרי פיבונאצ'י,

but if you look at them closely,

אך אם תבחנו אותם היטב,

you'll see the Fibonacci numbers

תגלו שמספרי פיבונאצ'י

buried inside of them.

טמונים בתוכם.

Do you see it? I'll show it to you.

רואים אותם? הבה ואראה לכם אותם.

Six is two times three, 15 is three times five,

6 שווה 2X3, 15 שווה 3X5,

40 is five times eight,

40 שווה 5X8,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

"שתיים, שלוש, חמש, שמונה מי אוהב את זה כמוני?"

(Laughter)

[צחוק]

Fibonacci! Of course.

פיבונאצ'י! כמובן.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

ככל שזה כיף לגלות את התבניות האלה,

it's even more satisfying to understand

הרי שעוד יותר מספק להבין

why they are true.

מדוע הן אמיתיות.

Let's look at that last equation.

נביט במשוואה האחרונה הזו.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

מדוע הריבועים של 1, 1, 2, 3, 5 ו-8

add up to eight times 13?

מסתכמים ב8X13?

I'll show you by drawing a simple picture.

אדגים לכם בעזרת ציור פשוט.

We'll start with a one-by-one square

נתחיל עם ריבוע של 1 על 1

and next to that put another one-by-one square.

ולידו נציב ריבוע נוסף של 1 על 1.

Together, they form a one-by-two rectangle.

ביחד הם מהווים מלבן של 1 על 2.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

מתחתיו אציב ריבוע של 2 על 2,

and next to that, a three-by-three square,

ולידו - ריבוע של 3 על 3,

beneath that, a five-by-five square,

מלמטה, ריבוע של 5 על 5,

and then an eight-by-eight square,

ועוד ריבוע של 8 על 8,

creating one giant rectangle, right?

וקיבלנו מלבן ענקי אחד, נכון?

Now let me ask you a simple question:

כעת אשאל אתכם שאלה פשוטה:

what is the area of the rectangle?

מהו שטח המלבן?

Well, on the one hand,

מצד אחד,

it's the sum of the areas

זהו סכום השטחים

of the squares inside it, right?

של הריבועים שבתוכו, נכון?

Just as we created it.

בדיוק כפי ששרטטנו אותם.

It's one squared plus one squared

1 בריבוע ועוד 1 בריבוע

plus two squared plus three squared

ועוד 2 בריבוע ועוד 3 בריבוע

plus five squared plus eight squared. Right?

ועוד 5 בריבוע ועוד 8 בריבוע, נכון?

That's the area.

זהו השטח.

On the other hand, because it's a rectangle,

מצד שני, היות שזה מלבן,

the area is equal to its height times its base,

השטח שווה לבסיס כפול הגובה,

and the height is clearly eight,

והגובה הוא בבירור 8,

and the base is five plus eight,

והבסיס הוא 5 + 8,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

וזהו מספר פיבונאצ'י הבא: 13, נכון?

So the area is also eight times 13.

אז השטח הוא גם 13X8.

Since we've correctly calculated the area

היות שחישבנו נכון את השטח

two different ways,

בשתי דרכים שונות,

they have to be the same number,

מן הסתם זה צריך להיות אותו המספר,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

וזו הסיבה שהריבועים של 1, 1, 2, 3, 5 ו-8,

add up to eight times 13.

מסתכמים ב-13X8.

Now, if we continue this process,

כעת, אם נמשיך בתהליך זה,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

נייצר מלבנים בצורת 13 על 21,

21 by 34, and so on.

21 על 34, וכו'.

Now check this out.

כעת הביטו בזה.

If you divide 13 by eight,

אם מחלקים 13 ב-8,

you get 1.625.

מקבלים 1.625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

ואם מחלקים את המספר הגדול במספר הקטן יותר,

then these ratios get closer and closer

היחסים האלה נעשים קרובים יותר ויותר

to about 1.618,

ל-1.618 בערך,

known to many people as the Golden Ratio,

המוכר לרבים כ"חיתוך הזהב",

a number which has fascinated mathematicians,

מספר שריתק את דמיון המתמטיקאים,

scientists and artists for centuries.

המדענים והאמנים במשך מאות בשנים.

Now, I show all this to you because,

והסיבה שאני מראה לכם את כל זה היא,

like so much of mathematics,

שכמו בתחומי מתמטיקה רבים,

there's a beautiful side to it

יש לכך צד יפה

that I fear does not get enough attention

שחוששני שאינו זוכה לתשומת-לב מספקת

in our schools.

בבתי הספר שלנו.

We spend lots of time learning about calculation,

אנו מקדישים המון זמן ללימוד החישוב,

but let's not forget about application,

אבל הבה לא נשכח את היישום,

including, perhaps, the most important application of all,

כולל, אולי, היישום החשוב מכל,

learning how to think.

ללמוד לחשוב.

If I could summarize this in one sentence,

אם אוכל לסכם זאת במשפט אחד,

it would be this:

הרי זה:

Mathematics is not just solving for x,

המתמטיקה היא לא רק לפתור כדי למצוא את "איקס"

it's also figuring out why.

אלא גם להבין את "וואי" (למה).

Thank you very much.

תודה רבה לכם.

(Applause)

[מחיאות כפיים]