Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

Translator: MaYoMo com Reviewer: Kaloyana Milinova

Thank you very much.

Много благодаря.

Please excuse me for sitting; I'm very old.

Моля, извинете, че седя; много съм стар.

(Laughter)

(Смях)

Well, the topic I'm going to discuss

Е, темата, която ще обсъждам,

is one which is, in a certain sense, very peculiar

е в известен смисъл много чудата,

because it's very old.

защото е много стара.

Roughness is part of human life

Неравността е част от човешкия живот

forever and forever,

за вечни времена.

and ancient authors have written about it.

И древни автори са писали за нея.

It was very much uncontrollable,

Била до голяма степен неконтролируема.

and in a certain sense,

И в известен смисъл

it seemed to be the extreme of complexity,

изглеждала крайността на сложността,

just a mess, a mess and a mess.

просто бъркотия, бъркотия и бъркотия.

There are many different kinds of mess.

Има много различни видове бъркотия.

Now, in fact,

А всъщност,

by a complete fluke,

поради чист късмет,

I got involved many years ago

преди много години се захванах

in a study of this form of complexity,

с проучване на тази форма на сложност.

and to my utter amazement,

И за свое дълбоко изумление

I found traces --

открих следи...

very strong traces, I must say --

много сериозни следи, трябва да кажа...

of order in that roughness.

от ред в тази неравност.

And so today, I would like to present to you

И така, днес бих искал да ви представя

a few examples

няколко примера

of what this represents.

какво представлява това.

I prefer the word roughness

Предпочитам думата неравност

to the word irregularity

пред думата неправилност,

because irregularity --

защото неправилност...

to someone who had Latin

за човек, който е учил латински

in my long-past youth --

в отдавна отминалата си младост...

means the contrary of regularity.

означава обратното на правилност.

But it is not so.

Но не е така.

Regularity is the contrary of roughness

Правилността е обратното на грапавината,

because the basic aspect of the world

защото основният аспект на света

is very rough.

е много неравен.

So let me show you a few objects.

Да ви покажа няколко обекта.

Some of them are artificial.

Някои от тях са изкуствени.

Others of them are very real, in a certain sense.

Други от тях са много реални, в известен смисъл.

Now this is the real. It's a cauliflower.

Това е реалното. Карфиол.

Now why do I show a cauliflower,

А защо показвам карфиол,

a very ordinary and ancient vegetable?

много обикновен и древен зеленчук?

Because old and ancient as it may be,

Защото, колкото и да е стар и древен,

it's very complicated and it's very simple,

е много сложен и много прост

both at the same time.

едновременно.

If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,

Ако се опиташ да го претеглиш, разбира се, много е лесно да се претегли.

and when you eat it, the weight matters --

А когато го ядеш, теглото е от значение.

but suppose you try to

Но да предположим, че се опиташ

measure its surface.

да измериш повърхността му.

Well, it's very interesting.

Е, много е интересно.

If you cut, with a sharp knife,

Ако срежеш, с остър нож,

one of the florets of a cauliflower

една от розичките на карфиол

and look at it separately,

и я разгледаш отделно,

you think of a whole cauliflower, but smaller.

се сещаш за цял карфиол, но по-малък.

And then you cut again,

А после режеш пак,

again, again, again, again, again, again, again, again,

и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак, и пак,

and you still get small cauliflowers.

и продължаваш да получаваш малки карфиоли.

So the experience of humanity

Преживяването на човечеството

has always been that there are some shapes

винаги е било, че има някои форми,

which have this peculiar property,

които имат това чудато свойство,

that each part is like the whole,

че всяка част е като цялото,

but smaller.

но по-малко.

Now, what did humanity do with that?

А какво е правило човечеството с това?

Very, very little.

Много, много малко.

(Laughter)

(Смях)

So what I did actually is to

Онова, което всъщност направих,

study this problem,

е да проуча този проблем,

and I found something quite surprising.

и открих нещо доста изненадващо.

That one can measure roughness

Че неравността може да се измери

by a number, a number,

чрез число, число,

2.3, 1.2 and sometimes much more.

2,3,1,2 и понякога много повече.

One day, a friend of mine,

Един ден мой приятел,

to bug me,

за да ме дразни,

brought a picture and said,

донесе една картина и попита:

"What is the roughness of this curve?"

"Каква е неравността на тази крива?"

I said, "Well, just short of 1.5."

Отвърнах:" Ами, малко под 1,5."

It was 1.48.

Беще 1,48.

Now, it didn't take me any time.

Изобщо не се забавих.

I've been looking at these things for so long.

Толкова отдавна разглеждам тези неща.

So these numbers are the numbers

Тези числа са числата,

which denote the roughness of these surfaces.

които обозначават неравността на тези повърхности.

I hasten to say that these surfaces

Бързам да кажа, че тези повърхности

are completely artificial.

са напълно изкуствени.

They were done on a computer,

Направени са на компютър.

and the only input is a number,

И е въведено единствено число.

and that number is roughness.

Това число е неравност.

So on the left,

И така, вляво

I took the roughness copied from many landscapes.

взех неравността, копирана от много пейзажи.

To the right, I took a higher roughness.

Вдясно взех по-висока неравност.

So the eye, after a while,

Окото, след известно време,

can distinguish these two very well.

може да различава двете много добре.

Humanity had to learn about measuring roughness.

Човечеството е трябвало да се научи да измерва неравността.

This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.

Това е много неравно, това е някак гладко, а това - идеално гладко.

Very few things are very smooth.

Много малко неща са много гладки.

So then if you try to ask questions:

Тогава, ако се опиташ да задаваш въпроси:

"What's the surface of a cauliflower?"

каква е повърхността на един карфиол?

Well, you measure and measure and measure.

Е, мериш, мериш и мериш.

Each time you're closer, it gets bigger,

Всеки път, щом се приближиш, става по-голяма,

down to very, very small distances.

до много, много малки разстояния.

What's the length of the coastline

Каква е дължината на бреговата линия

of these lakes?

на тези езера?

The closer you measure, the longer it is.

Колкото по-отблизо измерваш, толкова е по-голяма.

The concept of length of coastline,

Понятието за дължина на бреговата линия,

which seems to be so natural

което изглежда толкова естествено,

because it's given in many cases,

защото се дава в много случаи,

is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.

всъщност е пълна заблуда; няма такова нещо.

You must do it differently.

Трябва да се прави различно.

What good is that, to know these things?

Какъв смисъл има, да се знаят тези неща?

Well, surprisingly enough,

Е, доста изненадващо,

it's good in many ways.

е добре в много отношения.

To begin with, artificial landscapes,

За начало, изкуствени пейзажи,

which I invented sort of,

които някак изобретих,

are used in cinema all the time.

се използват постоянно в киното.

We see mountains in the distance.

Виждаме планини в далечината.

They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.

Може да са планини, но може да са само формули, просто лъкатушещи.

Now it's very easy to do.

Много е лесно да се прави.

It used to be very time-consuming, but now it's nothing.

Някога беше много времеемко, но сега е нищо работа.

Now look at that. That's a real lung.

А сега, погледнете това. Истински бял дроб.

Now a lung is something very strange.

Белият дроб е нещо много странно.

If you take this thing,

Ако вземеш това нещо,

you know very well it weighs very little.

много добре знаете, че тежи много малко.

The volume of a lung is very small,

Обемът на белия дроб е много малък.

but what about the area of the lung?

А повърхнината на белия дроб?

Anatomists were arguing very much about that.

Анатомите много спорят за това.

Some say that a normal male's lung

Някои казват, че един нормален мъжки бял дроб

has an area of the inside

има вътрешна повърхнина, колкото вътрешната част

of a basketball [court].

на баскетболна топка.

And the others say, no, five basketball [courts].

А други казват - не, пет баскетболни топки.

Enormous disagreements.

Огромни несъгласия.

Why so? Because, in fact, the area of the lung

Защо така? Защото всъщност повърхнината на белия дроб

is something very ill-defined.

е нещо много зле дефинирано.

The bronchi branch, branch, branch

Бронхите се разклоняват, разклоняват, разклоняват

and they stop branching,

и спират да се разклоняват

not because of any matter of principle,

не заради някакъв принцип,

but because of physical considerations:

а по физически съображения,

the mucus, which is in the lung.

слузта, която е в белия дроб.

So what happens is that in a way

Онова, което се случва, е, че по този начин

you have a much bigger lung,

имаш много по-голям бял дроб,

but it branches and branches

но ако той се разклонява и разклонява,

down to distances about the same for a whale, for a man

до разстояния, приблизително едни и същи за кита, за човека

and for a little rodent.

и за един малък гризач.

Now, what good is it to have that?

А какъв смисъл има да се знае това?

Well, surprisingly enough, amazingly enough,

Ами, доста изненадващо, доста изумително

the anatomists had a very poor idea

анатомите имаха много лоша представа

of the structure of the lung until very recently.

за структурата на белия дроб съвсем доскоро.

And I think that my mathematics,

А мисля, че моята математика,

surprisingly enough,

доста изненадващо,

has been of great help

е била в огромна помощ

to the surgeons

на хирурзите,

studying lung illnesses

проучващи белодробните заболявания,

and also kidney illnesses,

както и бъбречните заболявания,

all these branching systems,

всички тези разклоняващи се системи,

for which there was no geometry.

за които нямаше геометрия.

So I found myself, in other words,

Така че, с други думи, се оказа,

constructing a geometry,

че конструирам геометрия,

a geometry of things which had no geometry.

геометрия на неща, които нямаха геометрия.

And a surprising aspect of it

Един изненадващ аспект от това

is that very often, the rules of this geometry

е, че много често правилата на тази геометрия

are extremely short.

са изключително кратки.

You have formulas that long.

Има формули, толкова дълги.

And you crank it several times.

И го огъваш няколко пъти.

Sometimes repeatedly: again, again, again,

Понякога многократно - отново, отново и отново.

the same repetition.

Същото повторение.

And at the end, you get things like that.

И накрая се получават такива неща.

This cloud is completely,

Този облак е напълно,

100 percent artificial.

100 процента изкуствен.

Well, 99.9.

Е, 99,9.

And the only part which is natural

А единствената част, която е естествена,

is a number, the roughness of the cloud,

е число, неравността на облака,

which is taken from nature.

която е взета от природата.

Something so complicated like a cloud,

Нещо толкова сложно като облак,

so unstable, so varying,

толкова нестабилно, толкова вариращо,

should have a simple rule behind it.

трябва да има просто правило зад себе си.

Now this simple rule

Това просто правило

is not an explanation of clouds.

не е обяснение за облаците.

The seer of clouds had to

Пророкът по облаците

take account of it.

трябва да отговаря за това.

I don't know how much advanced

Не знам доколко са напреднали

these pictures are. They're old.

тези снимки, стари са.

I was very much involved in it,

Занимавах се много с това,

but then turned my attention to other phenomena.

но после обърнах вниманието си към други феномени.

Now, here is another thing

Ето нещо друго,

which is rather interesting.

което е доста интересно.

One of the shattering events

Едно от разтърсващите събития

in the history of mathematics,

в историята на математиката,

which is not appreciated by many people,

което не се оценява от много хора,

occurred about 130 years ago,

се случва преди около 130 години,

145 years ago.

преди 145 години.

Mathematicians began to create

Математици започват да създават

shapes that didn't exist.

форми, които не съществували.

Mathematicians got into self-praise

Математиците се заели със самовъзхвали

to an extent which was absolutely amazing,

до степен, която била напълно изумителна,

that man can invent things

че човекът може да изобретява неща,

that nature did not know.

непознати в природата.

In particular, it could invent

Особено, че може да изобретява

things like a curve which fills the plane.

неща като крива, която изпълва равнината.

A curve's a curve, a plane's a plane,

Кривата си е крива, равнината си е равнина

and the two won't mix.

и двете нямат нищо общо.

Well, they do mix.

Ами, смесват се.

A man named Peano

Един човек, казвал се Пеано,

did define such curves,

дефинирал такива криви

and it became an object of extraordinary interest.

и това станало обект на изключителен интерес.

It was very important, but mostly interesting

Било много важно, но най-вече интересно

because a kind of break,

поради един вид пробив,

a separation between

разделение между

the mathematics coming from reality, on the one hand,

математици, идващи от реалността, от една страна,

and new mathematics coming from pure man's mind.

и нови математици, идващи от чистия човешки ум.

Well, I was very sorry to point out

Е, с голямо съжаление изтъкнах,

that the pure man's mind

че чистият човешки ум,

has, in fact,

всъщност,

seen at long last

най-сетне е видял

what had been seen for a long time.

онова, което се е виждало отдавна.

And so here I introduce something,

И така, тук представям нещо,

the set of rivers of a plane-filling curve.

набор от реки на равнинно изпълваща крива.

And well,

Е, добре,

it's a story unto itself.

това е история сама по себе си.

So it was in 1875 to 1925,

От 1875-а до 1925-а,

an extraordinary period

изключителен период,

in which mathematics prepared itself to break out from the world.

през който математиката се подготвяла да се отцепи от света.

And the objects which were used

И обектите, които бяха използвани

as examples, when I was

като примери, когато бях

a child and a student, as examples

дете и студент

of the break between mathematics

за разцепление между математика

and visible reality --

и видима реалност...

those objects,

тези обекти,

I turned them completely around.

напълно ги преобърнах.

I used them for describing

Използвах ги за описание

some of the aspects of the complexity of nature.

на някои от аспектите на сложността на природата.

Well, a man named Hausdorff in 1919

Един човек на име Хаусдорф през 1919 г.

introduced a number which was just a mathematical joke,

въвел едно число, което било само математическа шега.

and I found that this number

Открих, че това число

was a good measurement of roughness.

е добра мярка за неравност.

When I first told it to my friends in mathematics

Когато за пръв път го казах на приятелите си математици,

they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."

те казаха: "Не ставай глупав. То е просто нещо [глупаво]."

Well actually, I was not silly.

Е, всъщност не бях глупав.

The great painter Hokusai knew it very well.

Художникът Хокусай го знаел много добре.

The things on the ground are algae.

Нещата на земята са водорасли.

He did not know the mathematics; it didn't yet exist.

Не е разбирал от математика; тя още не е съществувала.

And he was Japanese who had no contact with the West.

И е бил японец, без никакви контакти със Запада.

But painting for a long time had a fractal side.

Но дългогодишното рисуване имало фрактална страна.

I could speak of that for a long time.

Бих могъл дълго да говоря за това.

The Eiffel Tower has a fractal aspect.

Айфеловата кула има фрактален аспект.

I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,

Прочетох книгата, която г-н Айфел е написал за кулата си.

and indeed it was astonishing how much he understood.

И наистина беше изумително колко много е разбирал.

This is a mess, mess, mess, Brownian loop.

Това е бъркотия, бъркотия, бъркотия, браунова примка.

One day I decided --

Един ден реших, че

halfway through my career,

по средата на кариерата си

I was held by so many things in my work --

ме задържат толкова много неща в работата ми

I decided to test myself.

и реших да се изпитам.

Could I just look at something

Можех ли просто да разгледам нещо,

which everybody had been looking at for a long time

което всички са гледали дълго време,

and find something dramatically new?

и да открия нещо напълно различно?

Well, so I looked at these

И така, разгледах тези неща,

things called Brownian motion -- just goes around.

наречени брауново движение... просто се движи наколо.

I played with it for a while,

Играх си с него известно време

and I made it return to the origin.

и го накарах да се върне към произхода.

Then I was telling my assistant,

После казах на асистента си:

"I don't see anything. Can you paint it?"

"Не виждам нищо. Може ли да го нарисуваш?"

So he painted it, which means

И така, той го нарисува, тоест

he put inside everything. He said:

сам постави всичко вътре. Каза:

"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!

"Ами, ей това излезе ..." А аз казах: "Спри! Спри! Спри!

I see; it's an island."

Виждам, остров е."

And amazing.

Изумително.

So Brownian motion, which happens to have

Значи, Брауново движение, което случайно има

a roughness number of two, goes around.

неравност с число две, върти се наоколо.

I measured it, 1.33.

Изберих го, 1,33.

Again, again, again.

Пак, и пак, и пак.

Long measurements, big Brownian motions,

Дълги мерки, големи Браунови движения,

1.33.

1,33.

Mathematical problem: how to prove it?

Математическа задача: как да се докаже?

It took my friends 20 years.

На приятелите ми им трябваха 20 години.

Three of them were having incomplete proofs.

Трима от тях имаха непълни доказателства.

They got together, and together they had the proof.

Събраха се, и заедно намериха доказателството.

So they got the big [Fields] medal in mathematics,

Затова получиха големия медал по математика [Филдс],

one of the three medals that people have received

един от трите медала, които хората са получавали

for proving things which I've seen

за доказване на неща, които съм виждал,

without being able to prove them.

без да съм в състояние да ги докажа.

Now everybody asks me at one point or another,

Сега всеки ме пита в един или друг момент:

"How did it all start?

"Как започна всичко?

What got you in that strange business?"

Какво ви накара да се захванете с този странен бизнес?"

What got you to be,

Какво ме накара да бъда

at the same time, a mechanical engineer,

едновременно механичен инженер,

a geographer

географ,

and a mathematician and so on, a physicist?

математик и така нататък, физик?

Well actually I started, oddly enough,

Е, странното е, че всъщност започнах,

studying stock market prices.

като изучавах цените на стоковата борса.

And so here

И така, имах

I had this theory,

една теория

and I wrote books about it --

и пишех книги за нея,

financial prices increments.

Прираст на финансовите цени.

To the left you see data over a long period.

Отляво виждате данни за дълъг период.

To the right, on top,

Вдясно горе

you see a theory which is very, very fashionable.

виждате една теория, която е много, много модна.

It was very easy, and you can write many books very fast about it.

Беше много проста, и за нея може да се пишат много книги много бързо.

(Laughter)

(Смях)

There are thousands of books on that.

Има хиляди книги за това.

Now compare that with real price increments.

Сравнете сега това с реалните ценови прирасти.

Where are real price increments?

А къде са реалните ценови прирасти?

Well, these other lines

Е, онези други редове

include some real price increments

включват някои реални ценови прирасти

and some forgery which I did.

и малко фалшификация, която направих.

So the idea there was

Идеята там беше,

that one must be able to -- how do you say? --

че човек трябва да може... как се казва?...

model price variation.

да моделира ценова вариация.

And it went really well 50 years ago.

Мина много добре преди 50 години.

For 50 years, people were sort of pooh-poohing me

50 години хората някак ме потупваха по рамото,

because they could do it much, much easier.

защото можеха да го правят много, много по-лесно.

But I tell you, at this point, people listened to me.

Но ви казвам, на този етап хората ме слушаха.

(Laughter)

(Смях)

These two curves are averages:

Тези две криви са средни.

Standard & Poor, the blue one;

Стандартно и Лошо, синята.

and the red one is Standard & Poor's

А червената е Стандартно и Лошо,

from which the five biggest discontinuities

за което са извадени

are taken out.

петте най-големи непоследователности.

Now discontinuities are a nuisance,

Непоследователностите са неудобство.

so in many studies of prices,

Затова в много проучвания на цените

one puts them aside.

човек ги оставя настрана.

"Well, acts of God.

"Е, божа работа."

And you have the little nonsense which is left.

И остават малко глупости.

Acts of God." In this picture,

Божа работа на тази картина...

five acts of God are as important as everything else.

Пет божи работи са толкова важни, колкото и всичко друго.

In other words,

С други думи,

it is not acts of God that we should put aside.

не божите работи трябва да оставяме настрана.

That is the meat, the problem.

Това е същността, проблемът.

If you master these, you master price,

Ако ги усвоиш, усвояваш цената.

and if you don't master these, you can master

А ако не ги усвоиш, можеш да усвояваш

the little noise as well as you can,

дребния шум колкото можеш по-добре,

but it's not important.

но той не е важен.

Well, here are the curves for it.

Е, ето кривите за това.

Now, I get to the final thing, which is the set

Сега стигам до последното, което е наборът,

of which my name is attached.

към който е прикачено името ми.

In a way, it's the story of my life.

В известен смисъл това е историята на живота ми.

My adolescence was spent

Израстнах по време

during the German occupation of France.

на германската окупация на Франция.

Since I thought that I might

И тъй като смятах, че може

vanish within a day or a week,

да изчезна до ден или седмица,

I had very big dreams.

имах много големи мечти.

And after the war,

След войната

I saw an uncle again.

отново видях един свой чичо.

My uncle was a very prominent mathematician, and he told me,

Чичо ми беше много изтъкнат математик и ми каза:

"Look, there's a problem

"Виж, ето една задача,

which I could not solve 25 years ago,

която не можах да реша преди 25 години

and which nobody can solve.

и която никой не може да реши.

This is a construction of a man named [Gaston] Julia

Това е конструкция на един човек на име [Гастон] Джулия

and [Pierre] Fatou.

и [Пиер] Фату.

If you could

Ако можеш да откриеш

find something new, anything,

нещо ново, каквото и да било,

you will get your career made."

ще направиш кариера."

Very simple.

Много просто.

So I looked,

И така, погледнах,

and like the thousands of people that had tried before,

и като хилядите хора, опитвали преди,

I found nothing.

не открих нищо.

But then the computer came,

Но после дойде компютърът.

and I decided to apply the computer,

И реших да приложа компютъра,

not to new problems in mathematics --

не към нови задачи в математиката...

like this wiggle wiggle, that's a new problem --

като това мърдане, това е нов проблем...

but to old problems.

а към стари задачи.

And I went from what's called

И преминах от това, което се наричат

real numbers, which are points on a line,

реални числа, които са точки в една линия,

to imaginary, complex numbers,

към въображаеми, сложни числа,

which are points on a plane,

които са точки в равнина,

which is what one should do there,

това трябва да се прави там.

and this shape came out.

И произлезе тази форма.

This shape is of an extraordinary complication.

Тази форма е с изключителна сложност.

The equation is hidden there,

Уравнението е скрито там,

z goes into z squared, plus c.

z минава в z на квадрат, плюс с.

It's so simple, so dry.

Толкова рпосто, толкова сухо.

It's so uninteresting.

Толкова безинтересно.

Now you turn the crank once, twice:

Сега завърташ манивелата веднъж, два пъти,

twice,

два пъти,

marvels come out.

и стават чудеса.

I mean this comes out.

Искам да кажа, излиза това.

I don't want to explain these things.

Не искам да обяснявам тези неща.

This comes out. This comes out.

Това излиза. Това излиза.

Shapes which are of such complication,

Форми, които са с такава сложност,

such harmony and such beauty.

такава хармония и такава красота.

This comes out

Това произлиза

repeatedly, again, again, again.

повторяемо, отново и отново, и отново.

And that was one of my major discoveries,

Това беше едно от основните ми открития -

to find that these islands were the same

че тези острови бяха същите

as the whole big thing, more or less.

като голямото цяло, повече или по-малко.

And then you get these

А после се получават изключителни

extraordinary baroque decorations all over the place.

барокови декорации навсякъде.

All that from this little formula,

И всичко това - от тази малка формула,

which has whatever, five symbols in it.

в която има - колко, пет символа.

And then this one.

А после - това.

The color was added for two reasons.

Цветът е добавен по две причини.

First of all, because these shapes

Първо, защото тези форми

are so complicated

са толкова сложни,

that one couldn't make any sense of the numbers.

че човек изобщо не би могъл да проумее числата.

And if you plot them, you must choose some system.

А ако ги включиш, трябва да се избере някаква система.

And so my principle has been

Затова моят принцип е

to always present the shapes

винаги да представям формите

with different colorings

с различни оцветявания,

because some colorings emphasize that,

защото някои оцветявания подчертават това,

and others it is that or that.

а други са това или онова.

It's so complicated.

Толкова е сложно.

(Laughter)

(Смях)

In 1990, I was in Cambridge, U.K.

През 1990-та бях в Кеймбридж, Великобритания,

to receive a prize from the university,

за да получа една награда от университета.

and three days later,

След три дни

a pilot was flying over the landscape and found this thing.

един пилот летял над околността и намерил това нещо.

So where did this come from?

А откъде е дошло?

Obviously, from extraterrestrials.

Очевидно, от извънземни.

(Laughter)

(Смях)

Well, so the newspaper in Cambridge

Затова вестникът в Кеймбридж

published an article about that "discovery"

публикувал статия за това "откритие"

and received the next day

и на следващия ден получили

5,000 letters from people saying,

5000 писма от хора, които пишели:

"But that's simply a Mandelbrot set very big."

"Но това е просто Манделброт, в много голям размер."

Well, let me finish.

Да довърша.

This shape here just came

Тази форма тук току-що произлезе

out of an exercise in pure mathematics.

от едно упражнение по чиста математика.

Bottomless wonders spring from simple rules,

Бездънни чудеса извират от прости правила,

which are repeated without end.

които се повтарят безкрайно.

Thank you very much.

Много благодаря.

(Applause)

(Аплодисменти)