Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

ブノワ・マンデルブロ：　フラクタルと荒さの科学

翻訳: Chihiro M 校正: Lily Yichen Shi

Thank you very much.

どうもありがとう

Please excuse me for sitting; I'm very old.

座らせてください 高齢なのでね

(Laughter)

（笑）

Well, the topic I'm going to discuss

これから話す話題は

is one which is, in a certain sense, very peculiar

ある意味でちょっと珍しいことです

because it's very old.

とても古いのでね

Roughness is part of human life

荒さは 人間の活動の一部です

forever and forever,

これからもずっと

and ancient authors have written about it.

古代の学者がそのことについて書いています

It was very much uncontrollable,

荒さはまったく制御できないものだと

and in a certain sense,

ある意味では

it seemed to be the extreme of complexity,

荒さは非常に複雑なように見えます

just a mess, a mess and a mess.

単にぐちゃぐちゃで きたなくて散らかっているように

There are many different kinds of mess.

いろいろな種類の乱雑な状態があります

Now, in fact,

実は

by a complete fluke,

完全な偶然によって

I got involved many years ago

何年も前に私は

in a study of this form of complexity,

この複雑さの世界に飛び込みました

and to my utter amazement,

とても驚いたことに

I found traces --

私は手がかりを見つけたのです

very strong traces, I must say --

とても確かな手がかり

of order in that roughness.

荒さの秩序と言うほかにありません

And so today, I would like to present to you

今日は お見せしたいと思います

a few examples

このことが何を示しているか

of what this represents.

いくつかの例を

I prefer the word roughness

私は荒さという言葉が好きです

to the word irregularity

不規則さという言葉よりも

because irregularity --

なぜなら不規則さは

to someone who had Latin

若かったころの私のように

in my long-past youth --

ラテン語を勉強したことのある人にとって

means the contrary of regularity.

規則正しいことの反対の意味を持っています

But it is not so.

でもそうではありません

Regularity is the contrary of roughness

規則正しさは荒さの反対語です

because the basic aspect of the world

なぜなら世界の基本となっていることは

is very rough.

とても荒いからです

So let me show you a few objects.

では いくつか絵をお見せしましょう

Some of them are artificial.

これらのうち いくつかは人工的に作られています

Others of them are very real, in a certain sense.

他のものはある意味で とても現実的です

Now this is the real. It's a cauliflower.

これは本物です 野菜のカリフラワー

Now why do I show a cauliflower,

では なぜ一般的で古くからある野菜

a very ordinary and ancient vegetable?

このカリフラワーを見せたのか

Because old and ancient as it may be,

その理由は 古いかもしれませんが

it's very complicated and it's very simple,

この野菜はとても複雑で とても単純だからです

both at the same time.

両方とも

If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,

カリフラワーの重さを計るとき もちろんとても簡単に計れます

and when you eat it, the weight matters --

また食べるときには 重さは重要ですね

but suppose you try to

では このようなことを考えてみてください

measure its surface.

その表面を測ろうとしましょう

Well, it's very interesting.

とてもおもしろいですよ

If you cut, with a sharp knife,

よく研いだナイフで

one of the florets of a cauliflower

カリフラワーのつぼみを

and look at it separately,

切り落としてみると

you think of a whole cauliflower, but smaller.

それは 小さいカリフラワーに見えますね

And then you cut again,

さらに切っていきます

again, again, again, again, again, again, again, again,

また切って 切って 切って どんどん切りましょう

and you still get small cauliflowers.

でもそこには また小さいカリフラワーがあります

So the experience of humanity

人間の経験では

has always been that there are some shapes

こういう珍しい特徴を持つ形は

which have this peculiar property,

いつも存在しています

that each part is like the whole,

それぞれの部分は 全体の形と似ていますが

but smaller.

もっと小さいもの

Now, what did humanity do with that?

では 人間はこの特徴に関して何をしたでしょうか

Very, very little.

本当に少しのことだけです

(Laughter)

（笑）

So what I did actually is to

私が実際にやったことは

study this problem,

この問題を研究すること

and I found something quite surprising.

そして大変驚くべきいくつかの発見をしました

That one can measure roughness

私たちは 荒さを測ることができます

by a number, a number,

数によって

2.3, 1.2 and sometimes much more.

2.3 1.2 時々もっと大きい数字になります

One day, a friend of mine,

あるとき 私の友人のひとりが

to bug me,

私を困らせるために

brought a picture and said,

ある絵を持ってきて このように言いました

"What is the roughness of this curve?"

『この曲線の荒さはいくつだい』

I said, "Well, just short of 1.5."

『そうだね 1.5よりちょっと小さいくらいかな』と答えました

It was 1.48.

それは1.48でした

Now, it didn't take me any time.

いくらも時間はかかりません

I've been looking at these things for so long.

このようなことを研究してきましたのでね

So these numbers are the numbers

これらの数字は

which denote the roughness of these surfaces.

このような表面の荒さを示す数値です

I hasten to say that these surfaces

これらの表面は 完全に

are completely artificial.

人工的だということを言わねばなりません

They were done on a computer,

これらはコンピューターによってつくられました

and the only input is a number,

入力したものは 数字だけです

and that number is roughness.

そしてこの数字こそが荒さなのです

So on the left,

左の写真には

I took the roughness copied from many landscapes.

たくさんの風景写真から得た荒さを使いました

To the right, I took a higher roughness.

右の写真には もっと高い荒さを使いました

So the eye, after a while,

しばらくすると 目は

can distinguish these two very well.

この2つをとてもよく見分けることが できるようになります

Humanity had to learn about measuring roughness.

人は荒さを測ることを学ばなければならなかったのです

This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.

これはとても荒い これはなめらか これは完全になめらか というように

Very few things are very smooth.

わずかなものだけが 本当になめらかです

So then if you try to ask questions:

それでは 質問をしてみましょう

"What's the surface of a cauliflower?"

カリフラワーの表面積は何ですか

Well, you measure and measure and measure.

何度も何度も何度も 計測するでしょう

Each time you're closer, it gets bigger,

より精密に行うと 答えは毎回より大きくなります

down to very, very small distances.

とっても小さい間隔で測ったらね

What's the length of the coastline

では この湖の海岸線の長さは

of these lakes?

いくつですか

The closer you measure, the longer it is.

より精密に計測すると それは長くなってしまいます

The concept of length of coastline,

海岸線の長さの定義は

which seems to be so natural

それがとても自然なように見えるのは

because it's given in many cases,

たくさんの事例があるからであって

is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.

実は 完全に間違った考えなのです そのようなものは無いのです

You must do it differently.

違う方法で計測しなければならないのです

What good is that, to know these things?

このようなことを知って どうしますか

Well, surprisingly enough,

とても驚くことに

it's good in many ways.

たくさんのことができるのです

To begin with, artificial landscapes,

まず初めに 人工的な風景は

which I invented sort of,

いくらか私が生み出したものですが

are used in cinema all the time.

映画の中でずっと使われています

We see mountains in the distance.

遠くに山が見えますね

They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.

山かもしれませんが たくさんの方程式かもしれません

Now it's very easy to do.

簡単にできます

It used to be very time-consuming, but now it's nothing.

以前は時間を食ったものですが いまはどうってことありません

Now look at that. That's a real lung.

それではこれを見てみましょう 本物の肺です

Now a lung is something very strange.

肺はとても奇妙な器官です

If you take this thing,

肺はとても軽いと

you know very well it weighs very little.

私たちがよく分かっています

The volume of a lung is very small,

肺の体積はとても小さいのです

but what about the area of the lung?

では 肺の表面積はどうでしょうか

Anatomists were arguing very much about that.

解剖学者はこのことをいつも議論しています

Some say that a normal male's lung

通常の男性の肺は バスケットボールのコートと

has an area of the inside

同程度の面積を持っている

of a basketball [court].

と言う人はいますが

And the others say, no, five basketball [courts].

『いや バスケットボールコート5つ分』だと言う人もいます

Enormous disagreements.

たいへんな違いですね

Why so? Because, in fact, the area of the lung

どうしてそうなるのでしょう　なぜなら 肺の表面積は

is something very ill-defined.

はっきりと定義されていないからなのです

The bronchi branch, branch, branch

枝状に分かれた気管支が さらに分かれ また分かれています

and they stop branching,

分岐が終わるということは

not because of any matter of principle,

何かの法則によるのではなく

but because of physical considerations:

物理的な理由 つまり

the mucus, which is in the lung.

肺の中にある粘液がそれを決めるのです

So what happens is that in a way

何が起こっているかというと

you have a much bigger lung,

人間は十分に大きい肺を持っているということです

but it branches and branches

もしも肺が細かく枝分かれしていたら

down to distances about the same for a whale, for a man

クジラの肺も人間の肺も 加えて小さいネズミも

and for a little rodent.

同じ長さをを持つことになります

Now, what good is it to have that?

そのような肺を持つことで 何が優れているのでしょう

Well, surprisingly enough, amazingly enough,

驚くことに 非常に驚いたことに

the anatomists had a very poor idea

解剖学者はほんの最近まで 肺の構造について

of the structure of the lung until very recently.

つたない考えしか 持っていなかったのです

And I think that my mathematics,

私の数学的な方法は

surprisingly enough,

驚いたことに

has been of great help

とても大きな役割を果たしました

to the surgeons

外科医は

studying lung illnesses

肺の疾患や

and also kidney illnesses,

腎臓疾患を研究していますが

all these branching systems,

このような枝分かれの形状をしているために

for which there was no geometry.

構造的に理解できないからです

So I found myself, in other words,

言い換えると

constructing a geometry,

幾何学を作り出した つまり

a geometry of things which had no geometry.

幾何構造を持たない対象のための 幾何学を発明したのです

And a surprising aspect of it

その驚くべき一面は

is that very often, the rules of this geometry

この幾何学の法則は

are extremely short.

とても短いことです

You have formulas that long.

あなたがたは長い式があるとき

And you crank it several times.

何度も展開してみるでしょう

Sometimes repeatedly: again, again, again,

ときには何度も何度も繰り返して

the same repetition.

同じ繰り返しをね

And at the end, you get things like that.

最終的にこのようなものを得るでしょう

This cloud is completely,

この雲は完全に

100 percent artificial.

100%人工的に作られました

Well, 99.9.

99.9%かな

And the only part which is natural

この中でたった一つ自然なことは

is a number, the roughness of the cloud,

雲の荒さを表す数字です

which is taken from nature.

自然界からもらった数字です

Something so complicated like a cloud,

雲のような複雑なものは

so unstable, so varying,

安定していなくて 変わりやすいですが

should have a simple rule behind it.

その裏側には単純な規則を持っているのです

Now this simple rule

この単純な規則は

is not an explanation of clouds.

雲を説明するためではありません

The seer of clouds had to

天気予報士は

take account of it.

その規則に注意しなければなりません

I don't know how much advanced

これらの絵がどれだけ進歩したのかわかりませんが

these pictures are. They're old.

古いものなのです

I was very much involved in it,

私はこのことにとても深く携わっていましたが

but then turned my attention to other phenomena.

他の現象にも注目するようになりました

Now, here is another thing

さて これは

which is rather interesting.

さらに面白いことです

One of the shattering events

数学を破壊したある事件は

in the history of mathematics,

数学の歴史の中で

which is not appreciated by many people,

多くの人には歓迎されませんでしたが

occurred about 130 years ago,

およそ130年前か

145 years ago.

145年前に起こりました

Mathematicians began to create

数学者たちが

shapes that didn't exist.

自然に存在し得ない形を 創造し始めたのです

Mathematicians got into self-praise

数学者は自画自賛しはじめました

to an extent which was absolutely amazing,

ある程度はすごいことだったのです

that man can invent things

人間が生み出すことができるということが

that nature did not know.

自然さえ知らないことをね

In particular, it could invent

とくに このようなものをつくり出しました

things like a curve which fills the plane.

平面を埋め尽くす曲線です

A curve's a curve, a plane's a plane,

曲線は曲線 平面は平面

and the two won't mix.

この2つは決して混じり合いません

Well, they do mix.

彼らはそれを組み合わせたのです

A man named Peano

ジュゼッペ・ペアノという人物が

did define such curves,

このような曲線を定義しました

and it became an object of extraordinary interest.

そして非常に興味深い図形となったのです

It was very important, but mostly interesting

それはとても重要で 面白いのは

because a kind of break,

数学の境界だったからです

a separation between

それは

the mathematics coming from reality, on the one hand,

現実から生み出したきた今までの数学と

and new mathematics coming from pure man's mind.

純粋に人間の思考が生み出した 新しい数学との

Well, I was very sorry to point out

このことを指摘することが残念なのですが

that the pure man's mind

純粋な人間の思考は

has, in fact,

実は

seen at long last

結局のところ

what had been seen for a long time.

長い間 見たことのあるものに基づいているのです

And so here I introduce something,

そしてこれは私が導入したもので

the set of rivers of a plane-filling curve.

平面充填曲線（ペアノ曲線）の流れの集合です

And well,

これも

it's a story unto itself.

それ自体に同じ説明が成り立ちます

So it was in 1875 to 1925,

1875年から1925年は

an extraordinary period

とても驚くべき時代でした

in which mathematics prepared itself to break out from the world.

世界中から突然に 数学が数学自体を作り始めたのです

And the objects which were used

そして 例えば

as examples, when I was

私がまだ

a child and a student, as examples

子どもで学生だったとき

of the break between mathematics

数学と 現実世界との間には

and visible reality --

このような研究対象が

those objects,

ありました

I turned them completely around.

私はこれらの周りを徹底的に研究したのです

I used them for describing

私はこれを説明するために

some of the aspects of the complexity of nature.

まったくもって複雑な自然の原理を用いました

Well, a man named Hausdorff in 1919

1919年にフェリックス・ハウスドルフという人物が

introduced a number which was just a mathematical joke,

単なる数学的な冗談としてある数字を 導入しました

and I found that this number

そして私はこの数字が

was a good measurement of roughness.

荒さを良く表すものだと発見したのです

When I first told it to my friends in mathematics

数学者の友人らにそのことを話したとき

they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."

『ばかなことを言うな。ただの数字だろう』と言われました

Well actually, I was not silly.

実際 私はばかげてなどいませんでした

The great painter Hokusai knew it very well.

画家の北斎はそのことをとても良く知っていました

The things on the ground are algae.

地面にあるのは藻です

He did not know the mathematics; it didn't yet exist.

彼は数学は知らなかったでしょう　存在さえしていませんでした

And he was Japanese who had no contact with the West.

それに彼は日本人で 西洋とのつながりは持っていませんでした

But painting for a long time had a fractal side.

しかし 浮世絵は長いことフラクタルと 同じ性質を持っていました

I could speak of that for a long time.

私はそのことをいくらでも話すことができます

The Eiffel Tower has a fractal aspect.

エッフェル塔もフラクタルの性質を持っています

I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,

エッフェル塔についての ギュスターブ・エッフェルの本を読んだことがありますが

and indeed it was astonishing how much he understood.

彼がとても良く理解していたことに 本当に驚きました

This is a mess, mess, mess, Brownian loop.

これはとてもぐちゃぐちゃな ブラウン運動がつくる軌跡です

One day I decided --

あるとき

halfway through my career,

私の学者としての半ばで

I was held by so many things in my work --

たくさんの仕事を持ちすぎていたので

I decided to test myself.

私自身を試してみることにしました

Could I just look at something

私はただ見ることができるだろうか

which everybody had been looking at for a long time

だれもが長いあいだ見ているものを

and find something dramatically new?

そして飛躍的に 新しいことを見つけることができるだろうかと

Well, so I looked at these

そして私はこれらを見ていたのです

things called Brownian motion -- just goes around.

ブラウン運動と呼ばれる軌跡　単にさまよっているようです

I played with it for a while,

しばらくの間 それにいたずらをしてみて

and I made it return to the origin.

元に戻したのです

Then I was telling my assistant,

そして助手に言いました

"I don't see anything. Can you paint it?"

『私は何も見えない　君 描けるかい』

So he painted it, which means

彼はそれを描きました　つまり

he put inside everything. He said:

すべて塗りつぶしたのです　彼はこう言いました

"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!

『ええと こういう結果になりました』　そのとき私はこう言いました『ちょっと待った

I see; it's an island."

私には島が見える』

And amazing.

驚きました

So Brownian motion, which happens to have

ブラウン運動は

a roughness number of two, goes around.

荒さ2の数値を持って動き回っていたのです

I measured it, 1.33.

私が測ると1.33でした

Again, again, again.

さらに何度も測りました

Long measurements, big Brownian motions,

長い計測の結果 大きなブラウン運動は

1.33.

1.33でした

Mathematical problem: how to prove it?

数学の問題が発生します　どうやって証明するか

It took my friends 20 years.

私の友人らが20年かけて 成し遂げました

Three of them were having incomplete proofs.

そのうち3人は不完全な証明でしたが

They got together, and together they had the proof.

それを寄せ集めて 証明を得たのです

So they got the big [Fields] medal in mathematics,

彼らは数学の権威ある賞（フィールズ賞）を勝ち取り

one of the three medals that people have received

その中の1人は

for proving things which I've seen

ある証明をして賞を受け取りました

without being able to prove them.

私が証明できなかったことを

Now everybody asks me at one point or another,

いまではみんなが私にこう尋ねます

"How did it all start?

『どうやってそれを始めたんですか

What got you in that strange business?"

どうしてそんなおかしな問題に取り組んだのですか』

What got you to be,

何が私をそうさせたのかというと

at the same time, a mechanical engineer,

同時に 機械のエンジニアであり

a geographer

地理学者であり

and a mathematician and so on, a physicist?

数学者であり それから物理学者でもあるかな

Well actually I started, oddly enough,

実は 不思議なことに

studying stock market prices.

株式相場を研究し始めたからなのです

And so here

そしてここに

I had this theory,

学説を立てました

and I wrote books about it --

また それについて本を書きました

financial prices increments.

金融価格の増加について

To the left you see data over a long period.

左上には長期間のデータがあります

To the right, on top,

右手の一番上には

you see a theory which is very, very fashionable.

とっても流行りの理論が見えるでしょう

It was very easy, and you can write many books very fast about it.

とても簡単なので とても早くたくさんの本を書けますよ

(Laughter)

（笑）

There are thousands of books on that.

これに関する本はたくさんあります

Now compare that with real price increments.

では 実価格上昇と比べてみましょう

Where are real price increments?

どれが実価格上昇でしょうか

Well, these other lines

これら他のグラフ線は

include some real price increments

いくつかの実価格上昇のデータと

and some forgery which I did.

私がねつ造したデータを含んでいます

So the idea there was

そこにある考えを

that one must be able to -- how do you say? --

そのグラフは どう言うでしょう

model price variation.

価格変動をモデル化できるということです

And it went really well 50 years ago.

それは50年前にうまくできました

For 50 years, people were sort of pooh-poohing me

50年間 人々は私をばかにしていました

because they could do it much, much easier.

なぜなら 彼らはより簡単にやってのけたからです

But I tell you, at this point, people listened to me.

しかし話をしている現時点では みなさんは私の話を聞いています

(Laughter)

（笑）

These two curves are averages:

この2つの線は平均を表しています

Standard & Poor, the blue one;

青線はスタンダード&プアーズ

and the red one is Standard & Poor's

赤線はスタンダード&プアーズから

from which the five biggest discontinuities

寄与しない5つの不連続データを

are taken out.

取り除いたものです

Now discontinuities are a nuisance,

不連続はやっかいものです

so in many studies of prices,

多くの価格研究では

one puts them aside.

それは取り除かれます

"Well, acts of God.

『神の仕業だ

And you have the little nonsense which is left.

それを取り除いたとき 少ししか意味をなさないものになる

Acts of God." In this picture,

神の仕業』 このグラフでは

five acts of God are as important as everything else.

5つの神の仕業がほかのすべてと同じくらい重要なのです

In other words,

言い換えると

it is not acts of God that we should put aside.

取り除いた行為は 神の仕業ではないのです

That is the meat, the problem.

それこそが要点であり 問題なのです

If you master these, you master price,

これらに精通すれば 価格を支配できるでしょう

and if you don't master these, you can master

もし精通できないのならば

the little noise as well as you can,

不要な情報だけを自由に操ることができます

but it's not important.

しかしそれは重要でないのです

Well, here are the curves for it.

これはそのためのグラフです

Now, I get to the final thing, which is the set

では最後の問題に取りかかりましょう

of which my name is attached.

私の名前が付けられた集合です

In a way, it's the story of my life.

ある意味では 私の人生そのものです

My adolescence was spent

私の青年期は

during the German occupation of France.

フランスに占領されたドイツで過ごしました

Since I thought that I might

1日か1週間のうちに 私が消えて

vanish within a day or a week,

いなくなってしまうのではないかと考えていたので

I had very big dreams.

とても大きな夢を持っていました

And after the war,

戦争の後

I saw an uncle again.

叔父に再び会いました

My uncle was a very prominent mathematician, and he told me,

叔父はとても著名な数学者で 私にこう言いました

"Look, there's a problem

『ほら ここに問題がある

which I could not solve 25 years ago,

私が25年前に解けなかった問題だ

and which nobody can solve.

そして誰も解けない

This is a construction of a man named [Gaston] Julia

これはガストン・ジュリアと

and [Pierre] Fatou.

ピエール・ファトウの作図問題だ

If you could

もし君が

find something new, anything,

何か新しいことを発見できれば

you will get your career made."

君自身の仕事をつくることができるだろう』

Very simple.

とても単純な問題でした

So I looked,

その問題を見ましたが

and like the thousands of people that had tried before,

何人もの人が今までに挑戦してきたように

I found nothing.

何も見つけられませんでした

But then the computer came,

しばらくしてコンピュータが登場しました

and I decided to apply the computer,

私はコンピュータに応用することにしました

not to new problems in mathematics --

数学にとっては新しい問題ではありませんが

like this wiggle wiggle, that's a new problem --

これを揺り動かすと新しい問題になります

but to old problems.

古い問題に適用したのです

And I went from what's called

そして

real numbers, which are points on a line,

実線上の点の実数から

to imaginary, complex numbers,

虚数へと拡張しました

which are points on a plane,

それは平面上の点であり

which is what one should do there,

そこにあるべきものです

and this shape came out.

そしてこの形が現れました

This shape is of an extraordinary complication.

これはとても異常に複雑な形をしています

The equation is hidden there,

方程式はここに隠されています

z goes into z squared, plus c.

zから2乗足すcへの写像

It's so simple, so dry.

とても単純で飾り気のないものです

It's so uninteresting.

それほどおもしろくもありません

Now you turn the crank once, twice:

クランクを1回 2回

twice,

2回まわしてみましょう

marvels come out.

不思議な形が現れます

I mean this comes out.

これが現れたのです

I don't want to explain these things.

これらの図形のことはあまり説明したくありません

This comes out. This comes out.

この図形が現れ これも現れました

Shapes which are of such complication,

このように複雑で

such harmony and such beauty.

調和がとれていて美しい図形です

This comes out

これは

repeatedly, again, again, again.

何度も繰り返して現れます

And that was one of my major discoveries,

私の主要な発見のひとつは

to find that these islands were the same

これらの島は

as the whole big thing, more or less.

ひとかたまりの大きい図形と ほぼ同じことを見つけたことです

And then you get these

そしてこれらの

extraordinary baroque decorations all over the place.

とても風変わりな装飾が あらゆるところにあります

All that from this little formula,

これらのすべては この短い式から得られます

which has whatever, five symbols in it.

その式は5つの記号しかありません

And then this one.

これを見てください

The color was added for two reasons.

色付けは2つの理由で加えられました

First of all, because these shapes

一つ目は これらの形が

are so complicated

とても複雑なので

that one couldn't make any sense of the numbers.

数字の意味を理解できないからです

And if you plot them, you must choose some system.

図面を作ろうとするとき 形式を選ばなければなりません

And so my principle has been

私の方針は

to always present the shapes

図形を表すことにしています

with different colorings

常に異なる色で

because some colorings emphasize that,

色づけは形を強調させ

and others it is that or that.

印象付けられるからです

It's so complicated.

とても複雑ですね

(Laughter)

（笑）

In 1990, I was in Cambridge, U.K.

1990年 私はイギリス・ケンブリッジにいました

to receive a prize from the university,

大学からの賞を受け取るために

and three days later,

それから3年後

a pilot was flying over the landscape and found this thing.

パイロットがある地域の上空を飛んでいて これを見つけました

So where did this come from?

これはどこから来たのでしょう

Obviously, from extraterrestrials.

明らかに 地球外の生物からですね

(Laughter)

（笑）

Well, so the newspaper in Cambridge

ケンブリッジの新聞が

published an article about that "discovery"

その『発見』についての記事を書き

and received the next day

翌日

5,000 letters from people saying,

5千を超える手紙を受け取りました

"But that's simply a Mandelbrot set very big."

『あれは単に とても大きいマンデルブロ集合だ』

Well, let me finish.

それでは終わりにしましょう

This shape here just came

この図形は

out of an exercise in pure mathematics.

純粋数学の訓練から得ました

Bottomless wonders spring from simple rules,

無限の不思議は 単純な規則から生まれ

which are repeated without end.

終わりなく繰り返す

Thank you very much.

どうもありがとう

(Applause)

（拍手）