Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

Tradutor: Robertt Valente Revisora: Sérgio Lopes

Thank you very much.

Muito obrigado.

Please excuse me for sitting; I'm very old.

Desculpem-me, por favor, por me sentar, eu sou muito velho.

(Laughter)

(Risos)

Well, the topic I'm going to discuss

Bem, o tema que vou analisar

is one which is, in a certain sense, very peculiar

é um que, em certa medida, é muito peculiar

because it's very old.

porque é muito antigo.

Roughness is part of human life

A rugosidade é parte da vida humana desde sempre.

forever and forever,

and ancient authors have written about it.

Autores antigos escreveram sobre ela.

It was very much uncontrollable,

Era incontrolável.

and in a certain sense,

E, de certa forma,

it seemed to be the extreme of complexity,

parecia ser de extrema complexidade,

just a mess, a mess and a mess.

uma confusão, confusão e mais confusão.

There are many different kinds of mess.

Há diferentes tipos de confusão.

Now, in fact,

Na verdade, por completo acaso,

by a complete fluke,

I got involved many years ago

vi-me envolvido há muitos anos

in a study of this form of complexity,

no estudo dessa forma de complexidade.

and to my utter amazement,

E para meu grande espanto,

I found traces --

encontrei vestígios, vestígios muito fortes, devo dizer,

very strong traces, I must say --

of order in that roughness.

de ordem nessa rugosidade.

And so today, I would like to present to you

Assim, hoje eu gostaria de vos apresentar

a few examples

alguns exemplos do que isso representa.

of what this represents.

I prefer the word roughness

Eu prefiro a palavra "rugosidade"

to the word irregularity

em contraponto com a palavra "irregularidade"

because irregularity --

porque irregularidade,

to someone who had Latin

para alguém que aprendeu latim, na minha distante juventude,

in my long-past youth --

means the contrary of regularity.

significa o contrário de regularidade.

But it is not so.

Mas não é bem assim.

Regularity is the contrary of roughness

Regularidade é o contrário de rugosidade

because the basic aspect of the world

porque o aspeto básico do mundo é muito rugoso.

is very rough.

So let me show you a few objects.

Portanto vou mostrar-vos alguns objetos.

Some of them are artificial.

Alguns deles são artificiais.

Others of them are very real, in a certain sense.

Outros são muito reais, de certo modo.

Now this is the real. It's a cauliflower.

Este por exemplo é real. É uma couve-flor.

Now why do I show a cauliflower,

Porque é que vos mostro uma couve-flor,

a very ordinary and ancient vegetable?

um legume normal e antigo?

Because old and ancient as it may be,

Porque, embora seja antigo,

it's very complicated and it's very simple,

é muito complicado e muito simples,

both at the same time.

as duas coisas ao mesmo tempo.

If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,

Se a tentarem pesar, com certeza que é muito fácil fazê-lo.

and when you eat it, the weight matters --

E quando a comemos, o peso importa.

but suppose you try to

Mas suponhamos que vocês tentam medir a sua superfície.

measure its surface.

Well, it's very interesting.

Bem, é muito interessante.

If you cut, with a sharp knife,

Se cortarem, com uma faca afiada,

one of the florets of a cauliflower

um dos pedaços da couve-flor

and look at it separately,

e olharem para ele separadamente,

you think of a whole cauliflower, but smaller.

ele parece-se com uma couve-flor inteira, mas mais pequena.

And then you cut again,

Depois cortem-na novamente,

again, again, again, again, again, again, again, again,

e novamente, e novamente, e novamente, e novamente...

and you still get small cauliflowers.

E continuam a obter pequenas couves-flor.

So the experience of humanity

Portanto, a experiência da Humanidade

has always been that there are some shapes

foi sempre ter a noção de que havia certas formas

which have this peculiar property,

com esta propriedade peculiar,

that each part is like the whole,

em que cada parte é como o todo,

but smaller.

mas mais pequena.

Now, what did humanity do with that?

Então, o que fez a Humanidade com isso?

Very, very little.

Muito, muito pouco.

(Laughter)

(Risos)

So what I did actually is to

Portanto, o que eu fiz foi estudar este problema,

study this problem,

and I found something quite surprising.

e encontrei uma coisa bastante surpreendente.

That one can measure roughness

É possível medir a rugosidade

by a number, a number,

através de um número, um número,

2.3, 1.2 and sometimes much more.

2,3 — 1,2 — e algumas vezes muito mais.

One day, a friend of mine,

Um dia, um amigo meu, para me provocar

to bug me,

brought a picture and said,

trouxe-me uma figura, e disse:

"What is the roughness of this curve?"

"Qual é a rugosidade desta curva?"

I said, "Well, just short of 1.5."

Eu disse: "Bem, um pouco abaixo de 1,5."

It was 1.48.

Era 1,48.

Now, it didn't take me any time.

Não demorei nada a responder.

I've been looking at these things for so long.

Tenho andado a olhar para estas coisas há tanto tempo.

So these numbers are the numbers

Estes números são números

which denote the roughness of these surfaces.

que representam a rugosidade dessas superfícies.

I hasten to say that these surfaces

Eu digo-vos já que estas superfícies são totalmente artificiais.

are completely artificial.

They were done on a computer,

Foram feitas através de um computador.

and the only input is a number,

O único parâmetro de entrada é um número.

and that number is roughness.

E esse número é a rugosidade.

So on the left,

Do lado esquerdo,

I took the roughness copied from many landscapes.

eu usei a rugosidade retirada de muitas paisagens.

To the right, I took a higher roughness.

À direita, usei uma rugosidade maior.

So the eye, after a while,

Os olhos, após algum tempo,

can distinguish these two very well.

conseguem muito bem distinguir ambas.

Humanity had to learn about measuring roughness.

A Humanidade teve que aprender como medir rugosidades.

This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.

Isto é muito rugoso, e isto é mais macio e isto é perfeitamente macio.

Very few things are very smooth.

Pouquíssimas coisas são muito macias.

Portanto, se tentarmos responder a questões do tipo:

So then if you try to ask questions:

"What's the surface of a cauliflower?"

Qual é a superfície de uma couve-flor?

Well, you measure and measure and measure.

Medimos, medimos e medimos.

Each time you're closer, it gets bigger,

Quanto mais nos aproximamos, maior ela se torna,

down to very, very small distances.

até distâncias muito, muito pequenas.

What's the length of the coastline

Qual é o comprimento da linha de costa destes lagos?

of these lakes?

The closer you measure, the longer it is.

Quanto mais perto se mede, maior é o comprimento.

The concept of length of coastline,

O conceito de comprimento de uma costa,

which seems to be so natural

que parece ser algo tão natural

because it's given in many cases,

uma vez que é referido em muitos casos,

is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.

é, na verdade, totalmente falacioso; não existe tal coisa.

You must do it differently.

É preciso proceder de forma diferente.

What good is that, to know these things?

Qual a vantagem de conhecer estas coisas?

Well, surprisingly enough,

Bem, surpreendentemente, é importante de variadas formas.

it's good in many ways.

To begin with, artificial landscapes,

Para começar, paisagens artificiais,

which I invented sort of,

um conceito que, de certa forma, inventei,

are used in cinema all the time.

estão sempre a ser usadas no cinema.

We see mountains in the distance.

Nós vemos montanhas à distância.

They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.

Podem ser montanhas, podem ser simples fórmulas matemáticas.

Now it's very easy to do.

Agora é muito fácil fazê-las.

It used to be very time-consuming, but now it's nothing.

Antes consumia-se imenso tempo, mas agora não custa nada.

Now look at that. That's a real lung.

Agora olhem para aquilo. Aquilo é um pulmão real.

Now a lung is something very strange.

Um pulmão é algo muito estranho.

If you take this thing,

Se segurarem num, verão como é leve.

you know very well it weighs very little.

The volume of a lung is very small,

O volume de um pulmão é muito pequeno.

but what about the area of the lung?

E a área de um pulmão?

Anatomists were arguing very much about that.

Os anatomistas têm discutido muito isso.

Some say that a normal male's lung

Uns dizem que um pulmão masculino

has an area of the inside

tem a mesma área que o interior de uma bola de basquetebol

of a basketball [court].

And the others say, no, five basketball [courts].

Outros dizem, não, 5 bolas de basquetebol.

Enormous disagreements.

Grandes discordâncias.

Why so? Because, in fact, the area of the lung

E porquê? Porque, na verdade, a área de um pulmão

is something very ill-defined.

é uma coisa mal definida.

The bronchi branch, branch, branch

Os brônquios dividem-se e dividem-se.

and they stop branching,

E só param de se dividir,

not because of any matter of principle,

não devido a uma questão de princípio,

but because of physical considerations:

mas devido a considerações físicas,

the mucus, which is in the lung.

o muco, que está no pulmão.

So what happens is that in a way

O que acontece é que, dessa forma temos um pulmão muito maior,

you have a much bigger lung,

but it branches and branches

mas ele divide-se e divide-se,

down to distances about the same for a whale, for a man

até distâncias que são as mesmas para uma baleia, para um homem

and for a little rodent.

ou para um pequeno roedor.

Now, what good is it to have that?

Agora, qual será a vantagem de termos isso?

Well, surprisingly enough, amazingly enough,

Surpreendentemente, curiosamente,

the anatomists had a very poor idea

os anatomistas tinham uma ideia muito pouco clara

of the structure of the lung until very recently.

da estrutura do pulmão até muito recentemente.

And I think that my mathematics,

E eu penso que a minha matemática,

surprisingly enough,

surpreendentemente,

has been of great help

foi de grande ajuda aos cirurgiões

to the surgeons

studying lung illnesses

que estudam as doenças do pulmão

and also kidney illnesses,

e também as doenças do rim,

all these branching systems,

todos esses sistemas que se ramificam,

for which there was no geometry.

para os quais não havia nenhuma geometria própria.

So I found myself, in other words,

Por outras palavras, eu acabei por me encontrar

constructing a geometry,

a construir essa geometria,

a geometry of things which had no geometry.

uma geometria de coisas que não tinham geometria.

And a surprising aspect of it

E um aspeto surpreendente disto

is that very often, the rules of this geometry

é que, muito frequentemente, as regras desta geometria

are extremely short.

são extremamente curtas.

You have formulas that long.

Há fórmulas deste tamanho.

And you crank it several times.

E podem aplicá-las diversas vezes.

Sometimes repeatedly: again, again, again,

Às vezes repetidamente, de novo e de novo.

the same repetition.

A mesma repetição.

And at the end, you get things like that.

E no fim, obtemos coisas como esta.

This cloud is completely,

Esta nuvem é completamente 100% artificial.

100 percent artificial.

Bem, 99,9 %.

Well, 99.9.

And the only part which is natural

A única parte que é natural

is a number, the roughness of the cloud,

é um número, a rugosidade da nuvem,

which is taken from nature.

que é retirado da natureza.

Something so complicated like a cloud,

Algo tão complicado como uma nuvem, tão instável, tão variável,

so unstable, so varying,

should have a simple rule behind it.

devia ter por detrás uma regra simples.

Now this simple rule

Essa regra simples não é uma explicação sobre nuvens.

is not an explanation of clouds.

The seer of clouds had to

Os observadores de nuvens têm que cuidar dessa parte.

take account of it.

I don't know how much advanced

Eu não sei o quão avançadas são estas imagens, elas são antigas.

these pictures are. They're old.

I was very much involved in it,

Eu estive muito envolvido nisto,

but then turned my attention to other phenomena.

mas depois acabei por virar a atenção para outros fenómenos.

Now, here is another thing

Agora, aqui está outra coisa que é muito interessante.

which is rather interesting.

One of the shattering events

Um dos acontecimentos mais perturbadores na história da matemática,

in the history of mathematics,

which is not appreciated by many people,

e que não é valorizado por muitas pessoas,

occurred about 130 years ago,

ocorreu há cerca de 130 ou 145 anos.

145 years ago.

Mathematicians began to create

Os matemáticos começaram a criar formas que não existiam.

shapes that didn't exist.

Mathematicians got into self-praise

Os matemáticos autoelogiavam-se

to an extent which was absolutely amazing,

por ser absolutamente incrível

that man can invent things

que o ser humano pudesse inventar coisas que a natureza não conhecia.

that nature did not know.

In particular, it could invent

Em particular, podia inventar coisas

things like a curve which fills the plane.

como uma curva capaz de preencher totalmente o plano.

A curve's a curve, a plane's a plane,

Uma curva é uma curva, um plano é um plano,

and the two won't mix.

e as duas coisas não se misturavam.

Well, they do mix.

Bem, misturam-se, sim.

A man named Peano

Um homem chamado Peano definiu essas curvas,

did define such curves,

and it became an object of extraordinary interest.

que se tornaram objeto de um interesse extraordinário.

It was very important, but mostly interesting

Era muito importante, mas sobretudo interessante

because a kind of break,

porque era uma espécie de quebra,

a separation between

uma separação, entre a matemática proveniente da realidade, por um lado,

the mathematics coming from reality, on the one hand,

and new mathematics coming from pure man's mind.

e a nova matemática proveniente totalmente da mente humana.

Well, I was very sorry to point out

Bem, tive muita pena em assinalar

that the pure man's mind

que o espírito humano

has, in fact,

viu, finalmente,

seen at long last

o que já era visível há muito tempo.

what had been seen for a long time.

And so here I introduce something,

E aqui eu apresento uma coisa,

the set of rivers of a plane-filling curve.

o conjunto de rios de uma curva que enche um plano.

And well,

E, bem, esta é uma história em si mesma.

it's a story unto itself.

So it was in 1875 to 1925,

De 1875 a 1925,

an extraordinary period

foi um período extraordinário

in which mathematics prepared itself to break out from the world.

durante o qual a matemática se preparou para se libertar do mundo.

And the objects which were used

E os objetos que foram usados como exemplos,

as examples, when I was

quando eu era criança e enquanto estudante,

a child and a student, as examples

of the break between mathematics

da quebra entre a matemática e a realidade visível,

and visible reality --

those objects,

transformei completamente esses objetos,

I turned them completely around.

I used them for describing

Utilizei-os para descrever

some of the aspects of the complexity of nature.

alguns dos aspetos da complexidade da natureza.

Well, a man named Hausdorff in 1919

Um homem chamado Hausdorff, em 1919

introduced a number which was just a mathematical joke,

apresentou um número que era como uma piada matemática.

and I found that this number

Eu descobri que esse número constituía uma boa medida da rugosidade.

was a good measurement of roughness.

When I first told it to my friends in mathematics

Quando eu disse isso a primeira vez aos meus amigos matemáticos

they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."

eles disseram: "Não sejas tolo. Isso é uma tolice".

Well actually, I was not silly.

Na verdade, eu não era tolo.

The great painter Hokusai knew it very well.

O grande pintor Hokusai sabia isso muito bem.

The things on the ground are algae.

As coisas no chão são algas.

He did not know the mathematics; it didn't yet exist.

Ele não conhecia a matemática, ela ainda nem sequer existia.

And he was Japanese who had no contact with the West.

E ele era um japonês sem contacto com o ocidente.

But painting for a long time had a fractal side.

Mas a pintura há muito que tinha um lado fractal.

I could speak of that for a long time.

Eu podia falar disso durante muito tempo.

The Eiffel Tower has a fractal aspect.

A torre Eiffel tem um aspeto fractal.

I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,

E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre a sua torre.

and indeed it was astonishing how much he understood.

E, de facto, é impressionante até que ponto ele compreendia.

This is a mess, mess, mess, Brownian loop.

Isto é uma confusão, uma confusão, laços Brownianos.

One day I decided --

Um dia decidi, a meio da minha carreira,

halfway through my career,

I was held by so many things in my work --

eu estava envolvido em tantas coisas no meu trabalho

I decided to test myself.

e decidi testar-me.

Could I just look at something

Será que eu podia olhar para uma coisa

which everybody had been looking at for a long time

que todos tinham estado a ver durante tanto tempo

and find something dramatically new?

e encontrar qualquer coisa drasticamente nova?

Well, so I looked at these

Então olhei para estas coisas

things called Brownian motion -- just goes around.

denominadas de "movimento Browniano", sempre em movimento.

I played with it for a while,

Brinquei com isto por algum tempo,

and I made it return to the origin.

e decidi regressar às origens.

Then I was telling my assistant,

Então disse ao meu assistente:

"I don't see anything. Can you paint it?"

"Não consigo ver nada. Podes pintá-lo?"

So he painted it, which means

Então ele pintou-o, ou seja, pôs tudo lá dentro e disse:

he put inside everything. He said:

"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!

"Foi isto o que surgiu..." E eu disse: "Para! Para! Para!

I see; it's an island."

"Estou a ver, é uma ilha."

And amazing.

Surpreendente.

So Brownian motion, which happens to have

Portanto, o movimento Browniano

a roughness number of two, goes around.

— que acaba por ter um número de rugosidade de 2 — continua.

I measured it, 1.33.

Eu medi-o, 1,33.

Again, again, again.

De novo, de novo, de novo.

Long measurements, big Brownian motions,

Grandes medições, grandes movimentos Brownianos,

1.33.

1,33.

Mathematical problem: how to prove it?

Um problema matemático: como o provar?

It took my friends 20 years.

Custou aos meus amigos 20 anos.

Three of them were having incomplete proofs.

Três deles chegaram a provas incompletas.

They got together, and together they had the proof.

Mas juntaram-se e, em conjunto, chegaram a uma prova.

Então receberam a grande medalha Fields da matemática.

So they got the big [Fields] medal in mathematics,

one of the three medals that people have received

uma das três medalhas atribuídas a pessoas

for proving things which I've seen

por provarem coisas que eu vi

without being able to prove them.

mas não fui capaz de provar.

Now everybody asks me at one point or another,

Agora todos me perguntam, uma vez por outra:

"How did it all start?

"Como começou tudo isso?"

What got you in that strange business?"

"O que o levou a esta estranha atividade?

What got you to be,

"O que o levou a ser, ao mesmo tempo,

at the same time, a mechanical engineer,

"um engenheiro mecânico, um geógrafo,

a geographer

and a mathematician and so on, a physicist?

"um matemático, etc., um físico?

Well actually I started, oddly enough,

Bem, estranhamente, eu comecei a estudar preços no mercado de ações.

studying stock market prices.

And so here

E então aqui desenvolvi uma teoria,

I had this theory,

e escrevi livros sobre isso, aumentos dos preços financeiros.

and I wrote books about it --

financial prices increments.

To the left you see data over a long period.

À esquerda vemos dados relativos a um período longo.

To the right, on top,

À direita, em cima, vemos a teoria que é muito elegante.

you see a theory which is very, very fashionable.

It was very easy, and you can write many books very fast about it.

Foi muito simples, e vocês podem escrever rapidamente muitos livros sobre isto.

(Laughter)

(Risos)

There are thousands of books on that.

Há milhares de livros sobre isto.

Now compare that with real price increments.

Agora comparem isso com os incrementos de preço reais.

Where are real price increments?

Onde estão os incrementos de preço reais?

Well, these other lines

Estas outras linhas incluem alguns incrementos de preço reais

include some real price increments

and some forgery which I did.

e alguns dados falsificados que eu fiz.

So the idea there was

A ideia era que alguém tem que ser capaz de...

that one must be able to -- how do you say? --

— como é que se diz?

model price variation.

Modelar a variação dos preços.

And it went really well 50 years ago.

Isto correu mesmo bem há 50 anos.

For 50 years, people were sort of pooh-poohing me

Durante 50 anos as pessoas chatearam-me

because they could do it much, much easier.

porque podiam fazê-lo de forma muito mais simples.

But I tell you, at this point, people listened to me.

Mas eu digo-vos que, hoje em dia, as pessoas ouvem-me.

(Laughter)

(Risos)

These two curves are averages:

Estas duas curvas são médias.

Standard & Poor, the blue one;

Standard & Poor, a azul.

and the red one is Standard & Poor's

E a vermelha, também da Standard & Poor,

from which the five biggest discontinuities

mas da qual foram retiradas as maiores 5 descontinuidades

are taken out.

Now discontinuities are a nuisance,

As descontinuidades são um incómodo.

so in many studies of prices,

Portanto, em muitos estudos sobre preços,

one puts them aside.

elas são postas de parte.

"Well, acts of God.

São casos fortuitos.

And you have the little nonsense which is left.

E passamos a ter os pequenos absurdos que sobram.

Acts of God." In this picture,

Casos fortuitos.

Nesta figura, cinco casos fortuitos são tão importantes como todo o resto.

five acts of God are as important as everything else.

In other words,

Por outras palavras,

it is not acts of God that we should put aside.

não são os casos fortuitos que temos que pôr de parte.

That is the meat, the problem.

Eles são o principal, o problema.

If you master these, you master price,

Se os dominarmos, dominamos os preços.

and if you don't master these, you can master

Se não os dominarmos,

podemos dominar o ruído de fundo tão bem quanto queiramos,

the little noise as well as you can,

but it's not important.

mas não vai ser importante.

Well, here are the curves for it.

Aqui estão as curvas.

Now, I get to the final thing, which is the set

Agora, vou à parte final, que é sobre o conjunto

of which my name is attached.

ao qual o meu nome está associado.

In a way, it's the story of my life.

De certo modo, é a história da minha vida.

My adolescence was spent

A minha adolescência foi passada durante a ocupação alemã da França.

during the German occupation of France.

Since I thought that I might

Como pensei que podia desaparecer dentro de um dia ou de uma semana,

vanish within a day or a week,

I had very big dreams.

passei a ter grandes sonhos.

And after the war,

Depois da guerra, voltei a ver um tio meu.

I saw an uncle again.

My uncle was a very prominent mathematician, and he told me,

O meu tio era um matemático muito proeminente e disse-me:

"Look, there's a problem

"Olha, há um problema que eu não consegui resolver há 25 anos,

which I could not solve 25 years ago,

and which nobody can solve.

"e que ninguém consegue resolver.

This is a construction of a man named [Gaston] Julia

"Vem de uma construção feita por Gaston Julia e Pierre Fatou.

and [Pierre] Fatou.

If you could

"Se conseguires encontrar algo novo, qualquer coisa,

find something new, anything,

you will get your career made."

"terás a tua carreira feita".

Very simple.

Muito simples.

So I looked,

Então eu olhei,

and like the thousands of people that had tried before,

e tal como as milhares de pessoas que haviam tentado anteriormente,

I found nothing.

não encontrei nada.

But then the computer came,

Mas então surgiu o computador

and I decided to apply the computer,

e eu decidi aplicar o computador,

not to new problems in mathematics --

não a novos problemas na matemática,

like this wiggle wiggle, that's a new problem --

como este quebra-cabeça, este é um novo problema,

but to old problems.

mas a problemas antigos.

And I went from what's called

Então mudei aquilo a que chamamos números reais, que são pontos numa linha,

real numbers, which are points on a line,

to imaginary, complex numbers,

para números imaginários, complexos,

which are points on a plane,

que são pontos sobre um plano, que é mais o caso aqui.

which is what one should do there,

and this shape came out.

E surgiu esta forma.

This shape is of an extraordinary complication.

Esta forma é de uma extraordinária complexidade.

The equation is hidden there,

A equação está escondida aqui,

z goes into z squared, plus c.

z igual a z ao quadrado, mais c.

It's so simple, so dry.

Tão simples, tão direto. Tão desinteressante.

It's so uninteresting.

Now you turn the crank once, twice:

Agora rodamos a manivela uma vez, duas,

twice,

duas,

marvels come out.

e aparece uma maravilha.

I mean this comes out.

Quero dizer, aparece isto.

I don't want to explain these things.

Eu não quero explicar essas coisas.

This comes out. This comes out.

Isto surge. Isto surge.

Shapes which are of such complication,

Formas que são de uma tal complexidade,

such harmony and such beauty.

tal harmonia e tal beleza.

This comes out

Surge isto, repetidamente,

repeatedly, again, again, again.

de novo, de novo, de novo.

And that was one of my major discoveries,

Essa foi uma das minhas maiores descobertas.

to find that these islands were the same

Descobrir que estas ilhas eram as mesmas que a figura completa,

as the whole big thing, more or less.

inteira, por assim dizer.

And then you get these

E depois surgem estas extraordinárias formas decorativas barrocas

extraordinary baroque decorations all over the place.

por toda a parte.

All that from this little formula,

Vem tudo desta pequena fórmula, que possui cinco símbolos.

which has whatever, five symbols in it.

And then this one.

E depois este outro.

The color was added for two reasons.

As cores foram acrescentadas por duas razões.

First of all, because these shapes

Em primeiro lugar, porque estas formas são tão complicadas,

are so complicated

que não seria possível retirar nenhum sentido dos números.

that one couldn't make any sense of the numbers.

And if you plot them, you must choose some system.

E se queremos desenhá-las, é preciso escolher um sistema.

And so my principle has been

Então o meu princípio foi apresentar sempre as formas

to always present the shapes

with different colorings

com diferentes cores,

because some colorings emphasize that,

porque algumas cores dão ênfase a certas partes,

and others it is that or that.

e outras cores a outras partes.

It's so complicated.

É tão complicado.

(Laughter)

(Risos)

In 1990, I was in Cambridge, U.K.

Em 1990, eu estava em Cambridge, no Reino Unido,

to receive a prize from the university,

para receber um prémio da Universidade.

and three days later,

E três dias depois,

um piloto estava a sobrevoar a paisagem e encontrou isto.

a pilot was flying over the landscape and found this thing.

So where did this come from?

De onde vem isto?

Obviamente, de extraterrestres.

Obviously, from extraterrestrials.

(Laughter)

(Risos)

Well, so the newspaper in Cambridge

Então, o jornal local em Cambridge

published an article about that "discovery"

publicou um artigo sobre essa "descoberta"

and received the next day

e recebeu no dia seguinte 5000 cartas de pessoas a dizer,

5,000 letters from people saying,

"But that's simply a Mandelbrot set very big."

"Mas isso é simplesmente um conjunto de Mandelbrot muito grande."

Well, let me finish.

Bem, vou terminar.

This shape here just came

Esta forma aqui saiu simplesmente de um exercício de matemática pura.

out of an exercise in pure mathematics.

Bottomless wonders spring from simple rules,

Maravilhas profundas surgem de simples regras,

which are repeated without end.

que são repetidas vezes sem fim.

Thank you very much.

Muito obrigado.

(Applause)

(Aplausos)