Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness

Benoit Mandelbrot: Fractais e a arte da rugosidade

Tradutor: CHRISTIANE MATACHANA THOME Revisor: Tulio Leao

Thank you very much.

Muito obrigado a todos.

Please excuse me for sitting; I'm very old.

Por favor me desculpem por sentar. Eu estou muito velho.

(Laughter)

(Risos)

Well, the topic I'm going to discuss

Bem, o tópico que vou discutir

is one which is, in a certain sense, very peculiar

é um que de certo modo é muito peculiar

because it's very old.

porque é muito antigo.

Roughness is part of human life

Irregularidade é parte da vida humana

forever and forever,

para sempre e sempre.

and ancient authors have written about it.

E autores antigos escreveram sobre isso.

It was very much uncontrollable,

Era muito incontrolável.

and in a certain sense,

E de certo modo,

it seemed to be the extreme of complexity,

parecia ser de extrema complexidade,

just a mess, a mess and a mess.

uma verdadeira bagunça, uma desordem.

There are many different kinds of mess.

Há muitos tipos diferentes de bagunça.

Now, in fact,

Agora, de fato,

by a complete fluke,

por uma completa casualidade,

I got involved many years ago

fiquei envolvido muitos anos atrás

in a study of this form of complexity,

num estudo desta forma de complexidade.

and to my utter amazement,

E para minha surpresa,

I found traces --

encontrei vestígios --

very strong traces, I must say --

vestígios muito fortes, devo dizer --

of order in that roughness.

de ordem nestas rugosidades.

And so today, I would like to present to you

E então hoje, gostaria de apresentá-los

a few examples

uns poucos exemplos

of what this represents.

do que eles representam.

I prefer the word roughness

Eu prefiro a palavra rugosidade

to the word irregularity

à palavra irregularidade

because irregularity --

porque irregularidade --

to someone who had Latin

para alguém que tem latim

in my long-past youth --

no meu longínquo passado jovem --

means the contrary of regularity.

significa o contrário de regularidade.

But it is not so.

Mas não é só.

Regularity is the contrary of roughness

Regularidade é o contrário de rugosidade

because the basic aspect of the world

porque o aspecto básico do mundo

is very rough.

é muito áspero.

So let me show you a few objects.

Então deixe me mostrar-lhes alguns objetos.

Some of them are artificial.

Alguns deles artificiais.

Others of them are very real, in a certain sense.

Outros são muito reais, de certo modo.

Now this is the real. It's a cauliflower.

Este é um real. É uma couve flor.

Now why do I show a cauliflower,

Agora, por que mostro uma couve flor,

a very ordinary and ancient vegetable?

um vegetal muito comum e antigo?

Because old and ancient as it may be,

Porque velho e antigo como ele é,

it's very complicated and it's very simple,

é bastante complicado e muito simples

both at the same time.

ao mesmo tempo.

If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it,

Se tentar pesá-lo, é claro que é muito simples pesá-lo.

and when you eat it, the weight matters --

E quando você o come, o peso interessa.

but suppose you try to

Mas suponha que você tente

measure its surface.

medir sua superfície.

Well, it's very interesting.

Bem, é muito interessante.

If you cut, with a sharp knife,

Se cortá-lo, com uma faca afiada,

one of the florets of a cauliflower

um dos floretes de uma couve flor

and look at it separately,

e olhá-la separadamente,

you think of a whole cauliflower, but smaller.

você percebe uma outra couve flor, só que menor.

And then you cut again,

E então corta-a novamente,

again, again, again, again, again, again, again, again,

de novo, de novo, de novo, de novo.

and you still get small cauliflowers.

E ainda vai ter pequenas couve flores.

So the experience of humanity

Então a experiência da humanidade

has always been that there are some shapes

tem sempre sido que há algumas formas

which have this peculiar property,

que tem esta propriedade peculiar,

that each part is like the whole,

que cada parte é como o todo,

but smaller.

porém menor.

Now, what did humanity do with that?

Agora, o que a humanidade faz com isso?

Very, very little.

Muito, muito pouco.

(Laughter)

(Risos)

So what I did actually is to

Então o que tenho feito é

study this problem,

estudar este problema,

and I found something quite surprising.

e encontrei algo muito surpreendente.

That one can measure roughness

Que alguém pode medir a rugosidade

by a number, a number,

por número, um número,

2.3, 1.2 and sometimes much more.

2.3, 1.2 e às vezes muito mais.

One day, a friend of mine,

Um dia, um amigo meu,

to bug me,

para me sacanear,

brought a picture and said,

trouxe uma foto, e disse,

"What is the roughness of this curve?"

'Qual é a irregularidade desta curva?'

I said, "Well, just short of 1.5."

Eu disse, "Bem, é quase 1.5."

It was 1.48.

Era 1.48.

Now, it didn't take me any time.

Agora, não levou tempo algum.

I've been looking at these things for so long.

Tenho observado estas coisas há tanto tempo.

So these numbers are the numbers

Portanto esses números são os números

which denote the roughness of these surfaces.

que denotam a rugosidade destas superfícies.

I hasten to say that these surfaces

Apresso-me a dizer que estas superfícies

are completely artificial.

são completamente artificiais.

They were done on a computer,

Elas foram feitas num computador.

and the only input is a number,

E a entrada é apenas um número.

and that number is roughness.

E esse número é rugosidade.

So on the left,

Então à esquerda,

I took the roughness copied from many landscapes.

peguei a rugosidade copiada de muitas paisagens.

To the right, I took a higher roughness.

À direita, peguei uma rugosidade maior.

So the eye, after a while,

Portanto o olho, depois de um momento,

can distinguish these two very well.

pode distinguir essas duas muito bem.

Humanity had to learn about measuring roughness.

A humanidade tem que aprender sobre como medir a rugosidade.

This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth.

Isto é muito rugoso, e isto é um pouco liso, e isto é perfeitamente liso.

Very few things are very smooth.

Muito poucas coisas são muito lisas.

So then if you try to ask questions:

Então se você tentar perguntar:

"What's the surface of a cauliflower?"

qual é a superfície de uma couve flor?

Well, you measure and measure and measure.

Bem, você mede e mede e mede.

Each time you're closer, it gets bigger,

Cada vez que você se aproxima, se torna maior,

down to very, very small distances.

abaixo de muita, e menores distâncias.

What's the length of the coastline

Qual é o comprimento da costa

of these lakes?

destes lagos?

The closer you measure, the longer it is.

Quanto mais próximo você mede, maior ela se torna.

The concept of length of coastline,

O conceito de comprimento da costa,

which seems to be so natural

que parece ser tão natural

because it's given in many cases,

porque é dado em muitos casos,

is, in fact, complete fallacy; there's no such thing.

é, de fato, uma completa falácia; não existe isso.

You must do it differently.

Você deve fazer diferentemente.

What good is that, to know these things?

Que benefício há, em saber estas coisas?

Well, surprisingly enough,

Bem, surpreendentemente,

it's good in many ways.

é bom de muitas formas.

To begin with, artificial landscapes,

Para começar, paisagens artificiais,

which I invented sort of,

algumas que eu mesmo inventei,

are used in cinema all the time.

são usadas no cinema todo o tempo.

We see mountains in the distance.

Vemos montanhas a distânia.

They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on.

Podem ser montanhas, mas podem ser somente fórmulas, somente dobradas.

Now it's very easy to do.

Agora é muito fácil fazer.

It used to be very time-consuming, but now it's nothing.

Costumava tomar muito tempo, mas agora não é nada.

Now look at that. That's a real lung.

Agora olhe para isso. É um pulmão verdadeiro.

Now a lung is something very strange.

Um pulmão é algo muito estranho.

If you take this thing,

Se pegar isto,

you know very well it weighs very little.

sabe que pesa muito pouco.

The volume of a lung is very small,

O volume de um pulmão é muito pequeno.

but what about the area of the lung?

Mas e sobre a área do pulmão?

Anatomists were arguing very much about that.

Anatomistas argumentavam muito sobre isso.

Some say that a normal male's lung

Alguns disseram que um pulmão masculino

has an area of the inside

tem a área interna

of a basketball [court].

de uma bola de basquete.

And the others say, no, five basketball [courts].

E outros dizem, não, cinco bolas de basquete.

Enormous disagreements.

Divergências enormes.

Why so? Because, in fact, the area of the lung

Por que então? Porque, de fato, a área do pulmão

is something very ill-defined.

é algo muito mal definido.

The bronchi branch, branch, branch

Os brônquios ramificam, ramificam.

and they stop branching,

E eles param de ramificar,

not because of any matter of principle,

não por questão de princípio,

but because of physical considerations:

mas por causa de considerações físicas,

the mucus, which is in the lung.

o muco, que está no pulmão.

So what happens is that in a way

Então o que acontece é que de algum modo

you have a much bigger lung,

você tem um pulmão maior,

but it branches and branches

mas se ele ramifica e ramifica,

down to distances about the same for a whale, for a man

até distâncias quase como para uma baleia, para um homem

and for a little rodent.

e para um pequeno roedor.

Now, what good is it to have that?

Agora, que benefício há em ter isso?

Well, surprisingly enough, amazingly enough,

Por que surpreendentemente, espantosamente,

the anatomists had a very poor idea

os anatomistas tiveram pouca idéia

of the structure of the lung until very recently.

da estrutura do pulmão até muito rencentemente.

And I think that my mathematics,

E acho que a minha matemática,

surprisingly enough,

surpreendentemente,

has been of great help

foi de grande ajuda

to the surgeons

para os cirurgiões

studying lung illnesses

estudanto doenças pulmonares

and also kidney illnesses,

e também doenças renais,

all these branching systems,

todos estes sistemas de ramificações,

for which there was no geometry.

para os quais não havia geometria.

So I found myself, in other words,

Então me acho, em outras palavras,

constructing a geometry,

constuindo uma geometria,

a geometry of things which had no geometry.

uma geometria de coisas que não tinham geometria.

And a surprising aspect of it

E um aspecto surpreendente disso

is that very often, the rules of this geometry

é que frequentemente, as regras desta geometria

are extremely short.

são muito curtas.

You have formulas that long.

Você tem fórmulas grandes.

And you crank it several times.

E você oscila várias vezes.

Sometimes repeatedly: again, again, again,

Algumas vezes repetidamente, de novo, e de novo.

the same repetition.

A mesma repetição.

And at the end, you get things like that.

E no final você tem as coisas deste jeito.

This cloud is completely,

Esta nuvem é completamente,

100 percent artificial.

100 por cento artificial.

Well, 99.9.

Bem, 99.9.

And the only part which is natural

E a única parte que é natural

is a number, the roughness of the cloud,

é um número, a rugosidade da nuvem,

which is taken from nature.

que foi tirada da natureza.

Something so complicated like a cloud,

Algo tão complicado como uma nuvem,

so unstable, so varying,

tão instável, tão variável,

should have a simple rule behind it.

deveria ter uma regra simples por trás.

Now this simple rule

Agora esta regra simples

is not an explanation of clouds.

não é uma explicação das nuvens.

The seer of clouds had to

O mar de nuvens teria

take account of it.

que tomar conta disso.

I don't know how much advanced

Não sei quão avançadas

these pictures are. They're old.

estas fotos são, elas são muito antigas.

I was very much involved in it,

Eu estava muito envolvido nisso,

but then turned my attention to other phenomena.

mas então foquei minha atenção a outro fenômeno.

Now, here is another thing

Agora, aqui há outra coisa

which is rather interesting.

que é ainda mais interessante.

One of the shattering events

Um dos eventos de ruptura

in the history of mathematics,

na história da matemática,

which is not appreciated by many people,

que não é conhecido por muitas pessoas,

occurred about 130 years ago,

ocorreu há cerca de 130 anos,

145 years ago.

145 anos atrás.

Mathematicians began to create

Matemáticos começaram a criar

shapes that didn't exist.

formas que não existiam.

Mathematicians got into self-praise

Matemáticos se auto elogiaram

to an extent which was absolutely amazing,

de uma forma que foi absolutamente surpreendente

that man can invent things

que o homem pode inventar coisas

that nature did not know.

que a natureza não conhecia.

In particular, it could invent

Em particular, podia inventar

things like a curve which fills the plane.

coisas como uma curva que preenche o plano.

A curve's a curve, a plane's a plane,

Uma curva é uma curva, um plano é um plano,

and the two won't mix.

e os dois não se misturarão.

Well, they do mix.

Bem, eles se misturam.

A man named Peano

Um homem chamado Peano

did define such curves,

definiu estas curvas,

and it became an object of extraordinary interest.

e se tornou um objeto de interesse extraordinário,

It was very important, but mostly interesting

Foi muito importante, mas principalmente interessante

because a kind of break,

por causa um tipo de quebra,

a separation between

uma separação entre

the mathematics coming from reality, on the one hand,

os matemáticos vindo de uma realidade de um lado

and new mathematics coming from pure man's mind.

e novos matemátios vindo de uma mente puramente humana.

Well, I was very sorry to point out

Bem, estou muito triste de dizer isso

that the pure man's mind

que a mente puramente humana

has, in fact,

tem, de fato,

seen at long last

visto por uma longa duração

what had been seen for a long time.

o que tem sido visto por longo tempo.

And so here I introduce something,

E aqui eu introduzo alguma coisa,

the set of rivers of a plane-filling curve.

o conjunto de rios de uma curva enchendo um plano.

And well,

E bem,

it's a story unto itself.

é uma estória em si mesmo.

So it was in 1875 to 1925,

Então era de 1875 a 1925,

an extraordinary period

um período extraordinário

in which mathematics prepared itself to break out from the world.

em que matemáticos se prepararam para se separar do mundo.

And the objects which were used

E os objetos que eram usados

as examples, when I was

como exemplos, quando eu era

a child and a student, as examples

uma criança e um estudante,

of the break between mathematics

um exemplo da separação entre os matemáticos

and visible reality --

e a realidade visível --

those objects,

aqueles objetos,

I turned them completely around.

Eu os virei completemente ao redor.

I used them for describing

Eu os usava para descrever

some of the aspects of the complexity of nature.

alguns dos aspectos da complexidade da natureza.

Well, a man named Hausdorff in 1919

Bem, um homem chamadao Hausdorff em 1919

introduced a number which was just a mathematical joke,

introduziu um número que era só uma brincadeira matemática.

and I found that this number

E eu achei que este número

was a good measurement of roughness.

era uma boa medida de rugosidade.

When I first told it to my friends in mathematics

Logo que eu falei aos meus amigos matemáticos

they said, "Don't be silly. It's just something [silly]."

eles disseram, 'Não seja idiota. Isso é qualquer coisa.'

Well actually, I was not silly.

Na verdade, eu não estava enganado.

The great painter Hokusai knew it very well.

O pintor Hokusai sabia bem disso.

The things on the ground are algae.

As coisas no chão são algas.

He did not know the mathematics; it didn't yet exist.

Ele não sabia matemática; ela ainda não existia.

And he was Japanese who had no contact with the West.

E ele era um japonês que não teve contato com o ocidente.

But painting for a long time had a fractal side.

Mas pintando por muito tempo, tinha um lado fractal.

I could speak of that for a long time.

Eu poderia falar sobre isso por um longo tempo.

The Eiffel Tower has a fractal aspect.

A Torre Eiffel tem um aspecto fractal.

I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower,

E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre sua torre.

and indeed it was astonishing how much he understood.

E realmente é impressionante como ele entendia.

This is a mess, mess, mess, Brownian loop.

Esta é uma bagunça, confusão, bagunça, loop browniano.

One day I decided --

Um dia decidi que

halfway through my career,

no meio da minha carreira,

I was held by so many things in my work --

eu estava com tantas coisas no meu trabalho,

I decided to test myself.

decidi me testar.

Could I just look at something

Poderia eu olhar para alguma coisa

which everybody had been looking at for a long time

que todos tivessem olhado por um longo tempo

and find something dramatically new?

e encontrar alguma coisa dramaticamente nova?

Well, so I looked at these

Bem, então olhei para estas

things called Brownian motion -- just goes around.

coisas chamadas movimentos Brownianos -- apenas giram em torno.

I played with it for a while,

Brinquei com isso por um tempo,

and I made it return to the origin.

e fiz retornar a sua origem.

Then I was telling my assistant,

Então disse ao meu assistente,

"I don't see anything. Can you paint it?"

"Não vi nada. Pode pintá-lo?"

So he painted it, which means

Então ele pintou, o que significa

he put inside everything. He said:

ele pôs tudo dentro sozinho. E disse:

"Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop!

"Bem, esta coisa saiu.." eu disse, "Pare! Pare! Pare!

I see; it's an island."

eu vejo, é uma ilha."

And amazing.

E maravilhosa.

So Brownian motion, which happens to have

Então movimento Browniano, que costuma ter

a roughness number of two, goes around.

uma rugosidade de número dois, está próximo.

I measured it, 1.33.

E a medi, 1.33.

Again, again, again.

Novamente, novamente, novamente.

Long measurements, big Brownian motions,

Grandes medições, grandes movimentos Brownianos,

1.33.

1.33.

Mathematical problem: how to prove it?

Problema matemático: como prová-lo?

It took my friends 20 years.

Meus amigos levaram 20 anos.

Three of them were having incomplete proofs.

Três deles tiveram provas incompletas.

They got together, and together they had the proof.

Eles conseguiram juntos, e juntos tiveram que provar.

So they got the big [Fields] medal in mathematics,

Então eles tiveram a grande [medalha Fields] em matemática,

one of the three medals that people have received

uma das três medalhas que as pessoas receberam

for proving things which I've seen

por provar coisas que eu vi

without being able to prove them.

sem serem capazes de provar.

Now everybody asks me at one point or another,

Agora todos me perguntam de uma forma ou de outra,

"How did it all start?

"Como tudo começou?

What got you in that strange business?"

O que te levou a esse negócio estranho?"

What got you to be,

O que me levou a ser,

at the same time, a mechanical engineer,

ao mesmo tempo, um engenheiro mecânico,

a geographer

um geógrafo

and a mathematician and so on, a physicist?

e um matemático e por aí vai, um físico?

Well actually I started, oddly enough,

Bem, na verdade eu comecei, estranhamente,

studying stock market prices.

estudando preços de mercado.

And so here

E então aqui

I had this theory,

tinha esta teoria,

and I wrote books about it --

eu escrevi livros sobre isso,

financial prices increments.

Incrementos de preços financeiros.

To the left you see data over a long period.

À esquerda você vê dados de um longo período.

To the right, on top,

À direita, acima,

you see a theory which is very, very fashionable.

você vê uma teoria que é muito, muito moderna.

It was very easy, and you can write many books very fast about it.

Era muito fácil, e você pode escrever muitos livros rapidamente sobre isso.

(Laughter)

(Risos)

There are thousands of books on that.

Há milhares de livros sobre isso.

Now compare that with real price increments.

Agora compare aquilo com incrementos de preços reais.

Where are real price increments?

e onde estão os incrementos de preços reais?

Well, these other lines

Bem, estas outras linhas

include some real price increments

incluem alguns incrementos de preços reais

and some forgery which I did.

e algumas falsificações que eu fiz.

So the idea there was

Então a idéia lá era

that one must be able to -- how do you say? --

que alguém deve ser capaz de -- como diria? --

model price variation.

fazer um modelo de variação de preço.

And it went really well 50 years ago.

E foi muito bem 50 anos atrás.

For 50 years, people were sort of pooh-poohing me

Por 50 anos pessoas me glorificaram

because they could do it much, much easier.

poque podiam fazê-lo muito, muito mais fácil.

But I tell you, at this point, people listened to me.

Mas eu digo, neste ponto, as pessoas me ouviam.

(Laughter)

(Risos)

These two curves are averages:

Estas duas curvas são médias.

Standard & Poor, the blue one;

Standard & Poor, o azul.

and the red one is Standard & Poor's

E a vermelha é da Standard & Poor,

from which the five biggest discontinuities

das quais as cinco maiores descontinuidades

are taken out.

são retiradas.

Now discontinuities are a nuisance,

Agora descontinuidades são um transtorno.

so in many studies of prices,

Então em muitos estudos de preços,

one puts them aside.

alguém as colocou de lado.

"Well, acts of God.

"Bem, atos de Deus.

And you have the little nonsense which is left.

E você tem um pouco da besteira que resta.

Acts of God." In this picture,

Atos de Deus." Nesta foto

five acts of God are as important as everything else.

cinco atos de Deus são tão importantes quanto qualquer coisa.

In other words,

Em outras palavras,

it is not acts of God that we should put aside.

não são atos de Deus que poderiamos colocar de lado.

That is the meat, the problem.

Esta é a carne, o problema.

If you master these, you master price,

Se dominar isto, domina o preço.

and if you don't master these, you can master

E se não dominar isto, você pode dominar

the little noise as well as you can,

o barulho, assim como pode,

but it's not important.

mas não é importante.

Well, here are the curves for it.

Bem, aqui estão as curvas para isto.

Now, I get to the final thing, which is the set

Agora, chego ao final, que é a série

of which my name is attached.

na qual meu nome está ligado.

In a way, it's the story of my life.

De certo modo é a história da minha vida.

My adolescence was spent

Minha adolescência aconteceu

during the German occupation of France.

durante a ocupação Alemã na França.

Since I thought that I might

E desde que pensei que poderia

vanish within a day or a week,

desaparecer em um dia ou uma semana,

I had very big dreams.

eu tive muitos sonhos.

And after the war,

E depois da guerra,

I saw an uncle again.

vi um tio novamente.

My uncle was a very prominent mathematician, and he told me,

Meu tio era um matemático muito proeminente e me disse,

"Look, there's a problem

"Olhe, há um problema

which I could not solve 25 years ago,

que eu não podia resolver há 25 anos atrás,

and which nobody can solve.

e que ninguém podia resolver.

This is a construction of a man named [Gaston] Julia

Esta é uma construção de um homem chamado (Gaston) Julia

and [Pierre] Fatou.

e (Pierre) Fatou.

If you could

Se puder

find something new, anything,

encontrar algo novo, qualquer coisa,

you will get your career made."

você tem sua carreira feita.'

Very simple.

Muito simples.

So I looked,

Então olhei,

and like the thousands of people that had tried before,

e como milhares de pessoas que tentaram antes,

I found nothing.

não encontrei nada.

But then the computer came,

Mas aí veio o computador.

and I decided to apply the computer,

E decidi aplicar o computador,

not to new problems in mathematics --

não em novos problemas de matemática --

like this wiggle wiggle, that's a new problem --

como um maluco, este é um novo problema --

but to old problems.

mas a problemas antigos.

And I went from what's called

E fui para os chamados

real numbers, which are points on a line,

números reais, que são pontos em uma linha,

to imaginary, complex numbers,

para imaginários, números complexos,

which are points on a plane,

que são pontos em um plano,

which is what one should do there,

que é o que alguém deveria fazer.

and this shape came out.

E esta forma apareeu.

This shape is of an extraordinary complication.

Esta forma é de uma complexidade extraordinária.

The equation is hidden there,

A equação está escondida lá,

z goes into z squared, plus c.

z é z ao quadrado, mais c.

It's so simple, so dry.

É tão simples, tão seco.

It's so uninteresting.

Tão desinteressante.

Now you turn the crank once, twice:

Aí você gira a manivela uma, duas vezes,

twice,

duas vezes,

marvels come out.

a maravilha aparece.

I mean this comes out.

Quero dizer isto aparece.

I don't want to explain these things.

Não quero explicar estas coisas.

This comes out. This comes out.

Isto aparece. Isto aparece.

Shapes which are of such complication,

Formas que são de tal complexidade,

such harmony and such beauty.

tal harmonia e tal beleza.

This comes out

Isto aparece

repeatedly, again, again, again.

repetidamente, de novo, de novo, de novo.

And that was one of my major discoveries,

E esta foi uma das minhas maiores descobertas

to find that these islands were the same

que estas ilhas eram as mesmas

as the whole big thing, more or less.

que o todo, mais ou menos.

And then you get these

E aí você tem estas

extraordinary baroque decorations all over the place.

decorações extraordinariamente barrocas por todo o lugar.

All that from this little formula,

Todas desta pequena fórmula,

which has whatever, five symbols in it.

que tem somente, cinco símbolos.

And then this one.

E então este.

The color was added for two reasons.

A cor foi colocada por duas razões.

First of all, because these shapes

Primeiro de tudo, por causa das formas

are so complicated

serem tão complicadas,

that one couldn't make any sense of the numbers.

para o caso de não poderem entender os números.

And if you plot them, you must choose some system.

E se marcá-las, deve escolher algum sistema.

And so my principle has been

E então meu princípio tem sido

to always present the shapes

sempre apresentar as formas

with different colorings

com cores diferentes,

because some colorings emphasize that,

porque algumas cores enfatizam isto,

and others it is that or that.

e outras isto ou aquilo.

It's so complicated.

É tão complicado.

(Laughter)

(Risos)

In 1990, I was in Cambridge, U.K.

Em 1990, eu estava em Cambridge, Reino Unido.

to receive a prize from the university,

para receber um prêmio da universidade.

and three days later,

E três dias depois,

a pilot was flying over the landscape and found this thing.

um piloto estava voando sobre uma paisagem e encontrou isso.

So where did this come from?

Então de onde veio isso?

Obviously, from extraterrestrials.

Óbviamente, de extraterrestres.

(Laughter)

(Risos)

Well, so the newspaper in Cambridge

Bem, então o jornal de Cambridge

published an article about that "discovery"

publicou um artigo sobre aquela "descoberta"

and received the next day

e recebeu no outro dia

5,000 letters from people saying,

5.000 cartas de pessoas dizendo,

"But that's simply a Mandelbrot set very big."

'Mas é simplesmente uma forma de Mandelbrot muito grande.'

Well, let me finish.

Bem, deixe-me terminar.

This shape here just came

Esta forma só apareceu

out of an exercise in pure mathematics.

de um exercício puramente matemático.

Bottomless wonders spring from simple rules,

Maravilhas surpreendentes surgem de regras simples,

which are repeated without end.

que são repetidas infinitamente.

Thank you very much.

Muito obrigado a todos.

(Applause)

(Aplausos)