Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen

Перекладач: Olena Liubchenko Утверджено: Hanna Leliv

Привіт.

Hi.

I want to talk about understanding, and the nature of understanding,

Я хочу розглянути пізнання і природу пізнання,

and what the essence of understanding is,

і що є сутністю пізнання,

because understanding is something we aim for, everyone.

бо пізнання - це те, до чого всі ми прагнемо.

We want to understand things.

Ми бажаємо пізнавати.

My claim is that understanding has to do

Я стверджую, що пізнання пов'язане зі здатністю

змінювати кут зору.

with the ability to change your perspective.

If you don't have that, you don't have understanding.

Якщо це не так, то ви не пізнаєте.

Ось що я стверджую.

So that is my claim.

And I want to focus on mathematics.

І я хочу зосередитись на математиці.

Багато з нас вважають математикою додавання, віднімання,

Many of us think of mathematics as addition, subtraction,

multiplication, division,

множення, ділення,

fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff.

дроби, проценти, геометрію, алгебру тощо.

Але, насправді, я хочу розказати про сутність математики в цілому.

But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well.

And my claim is that mathematics has to do with patterns.

Я стверджую, що математика має справу з патернами.

Позаду мене ви бачите чудовий патерн,

Behind me, you see a beautiful pattern,

and this pattern actually emerges just from drawing circles

який виник просто від вимальовування кіл

in a very particular way.

спеціальним чином.

So my day-to-day definition of mathematics that I use every day

Тож моє звичайне визначення математики, яке я використовую кожного дня

is the following:

є таким:

перш за все, математика - це пошук патернів.

First of all, it's about finding patterns.

Під патернами я розумію зв'язки, структури, деякі закономірності,

And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity,

some rules that govern what we see.

правила, які щось регулюють.

По-друге, я вважаю, що математика -

Second of all,

I think it is about representing these patterns with a language.

це формулювання цих патернів за допомогою мови.

We make up language if we don't have it,

Ми створюємо мову, якщо її немає,

and in mathematics, this is essential.

і для математики це суттєво.

Математика - це також припущення,

It's also about making assumptions

and playing around with these assumptions and just seeing what happens.

обігравання цих припущень, щоб зрозуміти, що з них випливає.

We're going to do that very soon.

Незабаром ми цим займемось.

And finally, it's about doing cool stuff.

Та, зрештою, математика - це різні круті витребеньки.

Mathematics enables us to do so many things.

Математика надає багато можливостей.

So let's have a look at these patterns.

Тож пильніше придивімося до патернів.

If you want to tie a tie knot,

Якщо ви хочете зав'язати краватку спеціальним вузлом,

there are patterns.

це є патерн.

Tie knots have names.

Вузли на краватках мають імена.

And you can also do the mathematics of tie knots.

Ви можете створити математику краваточних вузлів.

This is a left-out, right-in, center-out and tie.

Тут - вліво-з, вправо-в, центр-з, в'яжи.

Ось тут - вліво-в, вправо-з, вліво-в, цетр-з, в'яжи.

This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie.

Це мова, яку ми створили для патерну краваткових вузлів.

This is a language we made up for the patterns of tie knots,

and a half-Windsor is all that.

Це вузол - напіввіндзор.

This is a mathematics book about tying shoelaces

Це математична книжка про зав'язування шнурків на взутті

at the university level,

на університетському рівні,

because there are patterns in shoelaces.

бо це патерни в шнурках.

You can do it in so many different ways.

Є багацько способів зав'язування.

We can analyze it.

Ми можемо аналізувати їх.

Ми можемо створювати мови.

We can make up languages for it.

And representations are all over mathematics.

І це все можемо зображати через математику.

This is Leibniz's notation from 1675.

Це нотація Лейбніца 1675.

He invented a language for patterns in nature.

Він розробив мову для патернів у природі.

When we throw something up in the air,

Коли ми щось підкидаємо в повітря,

it falls down.

воно падає донизу.

Why?

Чому?

We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.

Ми не впевнені, але можемо сформулювати це за допомогою математики мовою патернів.

This is also a pattern.

Це також патерн.

This is also an invented language.

Це також винайдена мова.

Can you guess for what?

Можете вгадати для чого?

It is actually a notation system for dancing, for tap dancing.

Це система нотації для танців, для чечітки.

That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things,

Вона дала змогу цьому хореографу робити круті штучки, створювати нове,

because he has represented it.

тому що він сформулював її.

I want you to think about how amazing representing something actually is.

Я хочу, щоб ви подумали про те, наскільки чудовим є формулювання чогось.

Here it says the word "mathematics."

Це так я сказав слово "математика".

But actually, they're just dots, right?

Але, в дійсності, це ж лише крапки, так?

So how in the world can these dots represent the word?

Тож як можуть ці крапки представляти слова?

Well, they do.

Можуть.

They represent the word "mathematics,"

Вони представляють слово "математика".

and these symbols also represent that word

І ці символи також представляють це слово.

and this we can listen to.

А ці ми можемо почути.

It sounds like this.

Вони звучать ось так.

(Beeps)

(Гудки)

Somehow these sounds represent the word and the concept.

Якимось чином ці звуки представляють слово та концепцію.

How does this happen?

Як же це відбувається?

There's something amazing going on about representing stuff.

Є дещо чудове у представленні речей.

So I want to talk about that magic that happens

Я хочу поговорити про магію, яка відбувається,

when we actually represent something.

коли ми представляємо щось.

Here you see just lines with different widths.

Тут ви бачите лінії різної ширини.

They stand for numbers for a particular book.

Вони відповідають цифрам у штрих-коді певної книжки.

And I can actually recommend this book, it's a very nice book.

Я рекомендую вам цю книжку, це справді гарна книжка.

(Laughter)

(Сміх)

Just trust me.

Повірте.

OK, so let's just do an experiment,

Проведімо експеримент.

just to play around with some straight lines.

Просто пограємось з прямими лініями.

Ось пряма.

This is a straight line.

Let's make another one.

Зробимо ще одну.

So every time we move, we move one down and one across,

Кожного разу ми зміщуємося вниз і навскоси,

and we draw a new straight line, right?

та малюємо нову пряму лінію.

We do this over and over and over,

Повторюємо це знову і знову,

and we look for patterns.

та шукаємо патерни.

So this pattern emerges,

Ось з'являється патерн.

and it's a rather nice pattern.

І він справді чудовий.

It looks like a curve, right?

Схожий на криву, правда ж?

Лише від малювання простих прямих ліній.

Just from drawing simple, straight lines.

Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it.

Тепер я можу трохи змінити кут зору. Я можу перевернути це.

Have a look at the curve.

Подивіться на криву.

What does it look like?

На що вона схожа?

Is it a part of a circle?

Це частина кола?

It's actually not a part of a circle.

Ні, це не частина кола.

So I have to continue my investigation and look for the true pattern.

Отже, я продовжую своє дослідження і шукаю справжній патерн.

Perhaps if I copy it and make some art?

Можливо, якщо зробити її копію та трохи домалювати...

Well, no.

Ні.

Perhaps I should extend the lines like this,

Можливо, мені варто подовжити ці лінії якось так,

і шукати тут патерни.

and look for the pattern there.

Let's make more lines.

Зробімо більше ліній.

We do this.

Зробили.

And then let's zoom out and change our perspective again.

Тепер зменшимо і знову змінимо кут зору.

Then we can actually see that what started out as just straight lines

Ось ми можемо бачити як те, що на початку було простими прямими лініями,

is actually a curve called a parabola.

насправді стало кривою, яка називається параболою.

This is represented by a simple equation,

Парабола представляється простим рівнянням

і є чудовим патерном.

and it's a beautiful pattern.

So this is the stuff that we do.

Так ось, який фокус ми робимо.

We find patterns, and we represent them.

Ми знаходимо патерни і представляємо їх.

And I think this is a nice day-to-day definition.

Тож я вважаю, що це гарне визначення.

But today I want to go a little bit deeper,

Але сьогодні я хочу трошки заглибитися

and think about what the nature of this is.

і обміркувати природу всього цього.

What makes it possible?

Що робить це можливим?

There's one thing that's a little bit deeper,

Тут є щось глибше.

and that has to do with the ability to change your perspective.

Те, що має надавати здатність змінювати кут зору.

Я стверджую: коли ви змінюєте кут зору

And I claim that when you change your perspective,

and if you take another point of view,

і розглядаєте щось з іншого ракурсу,

you learn something new about what you are watching

тоді ви дізнаєтесь щось нове про річ, яку споглядаєте,

or looking at or hearing.

або на що дивитесь, що слухаєте.

And I think this is a really important thing that we do all the time.

На мою думку, це дуже важливо для всього, що ми весь час робимо.

So let's just look at this simple equation,

Розгляньмо просте рівняння:

x + x = 2 • x.

x + x = 2 • x.

This is a very nice pattern, and it's true,

Це дуже гарний патерн і правильний,

because 5 + 5 = 2 • 5, etc.

тому що 5 + 5 = 2 • 5 і т.д.

We've seen this over and over, and we represent it like this.

Ми вже бачили таке багато разів, і ми формулюємо це саме так.

But think about it: this is an equation.

Нумо обміркуймо: це - рівняння.

Воно стверджує, що щось дорівнює чомусь ще,

It says that something is equal to something else,

and that's two different perspectives.

Це два різних ракурси.

One perspective is, it's a sum.

З одного ракурсу - це сума.

It's something you plus together.

Це щось, що ви сумуєте.

On the other hand, it's a multiplication,

З іншого боку, це множення.

Це два різних ракурси.

and those are two different perspectives.

Я б пішов ще далі й сказав би, що усі рівняння подібні цьому.

And I would go as far as to say that every equation is like this,

every mathematical equation where you use that equality sign

Кожне математичне рівняння, де ви використовуєте знак рівності,

є метафорою.

is actually a metaphor.

It's an analogy between two things.

Це аналогія між двома сутностями.

You're just viewing something and taking two different points of view,

Ви просто дивитесь на щось, розглядаєте з двох різних боків

and you're expressing that in a language.

та виражаєте це через мову.

Have a look at this equation.

Подивіться на рівняння.

This is one of the most beautiful equations.

Це одне з найпрекрасніших рівнянь.

It simply says that, well,

Воно стверджує, що

two things, they're both -1.

є дві сутності, обидві є -1.

This thing on the left-hand side is -1, and the other one is.

Ця штука зліва є -1, і друга також.

І це, я вважаю, є однією із суттєвіших складових математики -

And that, I think, is one of the essential parts

ви дивитеся з різних ракурсів.

of mathematics -- you take different points of view.

So let's just play around.

Нумо пограймось.

Let's take a number.

Візьмемо число.

We know four-thirds. We know what four-thirds is.

Ми знаємо чотири третіх. Ми знаємо, що означає 4/3.

Це 1.333, але ми повинні вказати ще три крапки,

It's 1.333, but we have to have those three dots,

otherwise it's not exactly four-thirds.

бо інакше, це не буде точно 4/3.

But this is only in base 10.

Але це лише в десятковій системі.

You know, the number system, we use 10 digits.

Знаєте, у системі чисел ми використовуємо 10 цифр.

Змінимо систему та скористаємося лише двома цифрами

If we change that around and only use two digits,

that's called the binary system.

(це так звана бінарна система),

It's written like this.

тоді вираз буде виглядати так.

So we're now talking about the number.

Ми зараз розмовляємо про число.

The number is four-thirds.

Число 4/3.

We can write it like this,

Ми можемо написати його ось так.

and we can change the base, change the number of digits,

І можемо змінити основу, змінити кількість цифр

and we can write it differently.

і написати його інакше.

Оце ми представили те саме число.

So these are all representations of the same number.

We can even write it simply, like 1.3 or 1.6.

Ми можемо навіть написати його просто як 1.3 або 1.6.

It all depends on how many digits you have.

Це залежить від того, наскільки багато у вас цифр.

Or perhaps we just simplify and write it like this.

Або, можливо, ми спростимо і напишемо його так.

I like this one, because this says four divided by three.

Мені оце подобається, тому що тут сказано, що чотири ділиться на три.

І це число виражає відносини між двома числами.

And this number expresses a relation between two numbers.

You have four on the one hand and three on the other.

У вас є 4 з одного боку і 3 з другого.

And you can visualize this in many ways.

Ви можете візуалізувати це по-різному.

What I'm doing now is viewing that number from different perspectives.

Що я зараз роблю - я дивлюся на це число з різних боків.

I'm playing around.

Я з ним граюся.

I'm playing around with how we view something,

Я граюся з тим, як нам розглядати щось,

і роблю це цілком свідомо.

and I'm doing it very deliberately.

We can take a grid.

Можемо взяти таблицю.

Якщо взяти чотири вздовж і три вниз, то ця лінія дорівнює 5. Завжди.

If it's four across and three up, this line equals five, always.

It has to be like this. This is a beautiful pattern.

Так повинно бути. Це красивий патерн.

Four and three and five.

Чотири, і три, і п'ять.

А цей прямокутник, який є 4 на 3,

And this rectangle, which is 4 x 3,

you've seen a lot of times.

ви бачили дуже-дуже часто.

This is your average computer screen.

Це звичайний екран комп'ютера.

800 x 600 or 1,600 x 1,200

800 x 600 або 1,600 x 1,200 -

is a television or a computer screen.

це телевізійний або комп'ютерний екран.

So these are all nice representations,

Це все гарні представлення,

but I want to go a little bit further and just play more with this number.

але я б хотів зайти трохи далі та погратись ще більше з цим числом.

Here you see two circles. I'm going to rotate them like this.

Ось ми бачимо два кола. Я збираюся крутити їх ось так.

Споглядайте за верхнім лівим.

Observe the upper-left one.

It goes a little bit faster, right?

Воно обертається трохи швидше, так?

Бачите,

You can see this.

It actually goes exactly four-thirds as fast.

воно обертається рівно у 4/3 рази швидше.

That means that when it goes around four times,

Це означає, що коли верхнє робить 4 оберти,

інше коло робить лише 3.

the other one goes around three times.

Проведемо дві лінії

Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet.

і поставимо крапку там, де лінії перетинаються.

We get this dot dancing around.

Ми отримали крапку, що танцює.

(Laughter)

(Сміх)

And this dot comes from that number.

Ця крапка створена цим числом.

Right? Now we should trace it.

Правильно? Тепер нам варто прослідкувати за нею.

Let's trace it and see what happens.

Прослідкуємо і побачимо, що трапиться.

This is what mathematics is all about.

Математика - ось якраз це.

It's about seeing what happens.

Це побачити, що стається.

Ось це сталося з 4/3.

And this emerges from four-thirds.

Я б сказав, що це образ 4/3.

I like to say that this is the image of four-thirds.

It's much nicer -- (Cheers)

Так ще миліше. (Схвалення)

Thank you!

Дякую!

(Applause)

(Оплески)

This is not new.

Це не новина.

This has been known for a long time, but --

Це було відомо здавна, але...

(Laughter)

(Сміх)

But this is four-thirds.

Але це 4/3.

Зробімо інший експеримент.

Let's do another experiment.

Let's now take a sound, this sound: (Beep)

Тепер візьмемо звук, цей звук (Гудок)

This is a perfect A, 440Hz.

Це ідеальне Ля, 440 Гц.

Let's multiply it by two.

Помножмо його на два.

We get this sound. (Beep)

Ми отримаємо цей звук. (Гудок)

When we play them together, it sounds like this.

Якщо ми зіграємо їх разом, вони будуть звучати ось так.

This is an octave, right?

Це октава, вірно?

We can do this game. We can play a sound, play the same A.

Ми можемо в це погратись. Можемо грати звуки, грати ту саму Ля.

We can multiply it by three-halves.

Можемо множити її на 3/2.

(Beep)

(Гудок)

This is what we call a perfect fifth.

Ми називаємо це ідеальною квінтою.

(Beep)

(Гудок)

They sound really nice together.

Разом справді виходить чудово.

Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)

Помножмо цей звук на 4/3. (Гудок)

What happens?

Що сталось?

You get this sound. (Beep)

Ви отримали такий звук. (Гудок)

This is the perfect fourth.

Це ідеальна кварта.

If the first one is an A, this is a D.

Перша нота - Ля, ця нота - Ре.

They sound like this together. (Beeps)

Разом вони звучать ось так. (Гудок)

This is the sound of four-thirds.

Це звук 4/3.

What I'm doing now, I'm changing my perspective.

Те, що я зараз роблю, і є зміною ракурсу.

I'm just viewing a number from another perspective.

Я розглядаю числа під другим кутом зору.

I can even do this with rhythms, right?

Я можу навіть робити це з ритмом.

I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)

Можу вибрати ритм і відбивати три удари

in a period of time,

за певний час. (Ритмічний стук).

І можу грати інший звук чотири рази за той же час.

and I can play another sound four times in that same space.

(Clanking sounds)

(Ритмічний стук).

Sounds kind of boring, but listen to them together.

Звучить нудно, але послухайте їх разом.

(Drumbeats and clanking sounds)

(Ритмічний стук).

(Laughter)

(Сміх)

Гей!

Hey! So.

(Laughter)

(Сміх)

I can even make a little hi-hat.

Можна додати трохи тарілок.

(Drumbeats and cymbals)

(Ритм)

Can you hear this?

Ви чуєте це?

So, this is the sound of four-thirds.

Так звучить 4/3.

Again, this is as a rhythm.

Тож це ритм.

(Drumbeats and cowbell)

(Ритм)

And I can keep doing this and play games with this number.

І я продовжую і граюсь з цим числом.

Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!

4/3 - це справді розкішне число. Я люблю 4/3!

(Сміх)

(Laughter)

Truly -- it's an undervalued number.

Чесно. Це недооцінені числа.

So if you take a sphere and look at the volume of the sphere,

Якщо візьмемо кулю і придивимось до її об'єму,

it's actually four-thirds of some particular cylinder.

то побачимо, що він дорівнює 4/3 від об'єму певного циліндра.

So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.

Тож 4/3 є в кулі, в об'ємі кулі.

OK, so why am I doing all this?

Але чому я це роблю?

Well, I want to talk about what it means to understand something

Я хочу пояснити, що означає пізнання

і що ми маємо на увазі під пізнанням.

and what we mean by understanding something.

That's my aim here.

Це моя мета.

І я стверджую, що ви щось пізнаєте,

And my claim is that you understand something

if you have the ability to view it from different perspectives.

лише якщо ви здатні бачити це під різними кутами зору.

Подивімось на літеру. Це чудова літера R, чи не так?

Let's look at this letter. It's a beautiful R, right?

How do you know that?

Звідкіля ви це знаєте?

Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's,

Насправді, ви бачили багацько R,

and you've generalized

узагальнили,

and abstracted all of these and found a pattern.

зробили висновки та знайшли патерни.

So you know that this is an R.

Тож ви знаєте, що це R.

So what I'm aiming for here is saying something

Моя мета зараз - розповісти вам про те, що

about how understanding and changing your perspective

пізнання і зміна кута зору

are linked.

пов'язані одне з одним.

And I'm a teacher and a lecturer,

Я вчитель і лектор.

І можу використовувати цей зв'язок, щоб чомусь навчити,

and I can actually use this to teach something,

because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy,

бо коли я, розповідаючи якусь історію, наводжу метафору, аналогію,

if I tell a story from a different point of view,

коли я розповідаю історію з різних точок зору,

я підштовхую пізнання.

I enable understanding.

I make understanding possible,

Я сприяю пізнанню,

because you have to generalize over everything you see and hear,

бо ви вимушені узагальнювати все, що побачили і почули.

and if I give you another perspective, that will become easier for you.

Якщо я покажу вам різні ракурси, то вам буде простіше.

Let's do a simple example again.

Ще один простий приклад.

Ось 4 і 3. Це чотири трикутники.

This is four and three. This is four triangles.

So this is also four-thirds, in a way.

Це також 4/3, в певному сенсі.

Let's just join them together.

З'єднаймо їх разом.

Тепер ми будемо грати у гру: ми будемо їх згортати

Now we're going to play a game; we're going to fold it up

into a three-dimensional structure.

у тривимірні фігури.

I love this.

Я люблю це.

This is a square pyramid.

Це квадратна піраміда.

And let's just take two of them and put them together.

Візьмемо дві таких і з'єднаємо їх.

So this is what is called an octahedron.

Це називається октаедр.

It's one of the five platonic solids.

Це один із п'яти правильних багатогранників.

Тепер ми можемо буквально змінити кут зору,

Now we can quite literally change our perspective,

because we can rotate it around all of the axes

тому що ми можемо крутити його навколо любої осі координат

and view it from different perspectives.

і розглядати з різних ракурсів.

And I can change the axis,

Можемо змінювати осі,

and then I can view it from another point of view,

і розглядати його з іншої точки зору,

but it's the same thing, but it looks a little different.

бо залишившись тим же, він виглядає трохи інакше.

I can do it even one more time.

Я можу це зробити ще раз.

Every time I do this, something else appears,

Кожного разу, коли я це роблю, виникає щось нове,

so I'm actually learning more about the object

так що я справді дізнаюся більше про об'єкт,

when I change my perspective.

коли я змінюю ракурс.

I can use this as a tool for creating understanding.

Я можу користуватись цим, як інструментом пізнання.

I can take two of these and put them together like this

Я можу взяти два таких об'єкти, скласти їх разом ось так

і побачити що вийшло.

and see what happens.

And it looks a little bit like the octahedron.

Це трохи схоже на октаедр.

Have a look at it if I spin it around like this.

Подивіться, якщо я буду крутити його навколо.

What happens?

Що трапиться?

Якщо візьмемо два, приєднаємо та покрутимо,

Well, if you take two of these, join them together and spin it around,

there's your octahedron again,

то вийде наш октаедр знову.

a beautiful structure.

Чудова фігура.

If you lay it out flat on the floor,

Якщо ви покладете її на підлогу,

this is the octahedron.

вийде октаедр.

This is the graph structure of an octahedron.

Це графічна структура октаедра.

And I can continue doing this.

Я можу продовжувати й далі.

You can draw three great circles around the octahedron,

Намалюйте три великих кола навколо октаедру

and you rotate around,

та обертайте.

Тоді три великих кола мають зв'язок із октаедром.

so actually three great circles is related to the octahedron.

And if I take a bicycle pump and just pump it up,

І якщо я візьму велосипедний насос і накачаю це,

you can see that this is also a little bit like the octahedron.

то ви побачите, що виходить також трохи схоже на октаедр.

Do you see what I'm doing here?

Бачите, що я тут витворяю?

Я весь час змінюю ракурс.

I am changing the perspective every time.

So let's now take a step back --

Повернемось трохи назад,

and that's actually a metaphor, stepping back --

"Повернутись назад" - це метафора,

and have a look at what we're doing.

Тож повернемось назад і подивимося, що ж ми робимо.

I'm playing around with metaphors.

Я граюся з метафорами.

I'm playing around with perspectives and analogies.

Граюся з ракурсами й аналогіями.

Розповідаю одну історію різними способами.

I'm telling one story in different ways.

I'm telling stories.

Я розповідаю історії.

I'm making a narrative; I'm making several narratives.

Я створюю сюжет, створюю декілька сюжетів.

And I think all of these things make understanding possible.

І я переконаний, що все це дає можливість пізнавати.

I think this actually is the essence of understanding something.

Думаю, що це і є сутність пізнання чогось.

I truly believe this.

Я справді в це вірю.

So this thing about changing your perspective --

Так що здатність зміни перспективи -

it's absolutely fundamental for humans.

безперечно необхідна для людства.

Let's play around with the Earth.

Пограймось з Землею.

Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean.

Наблизимося до океану, придивимося до океану.

Ми можемо робити так з чим завгодно.

We can do this with anything.

We can take the ocean and view it up close.

Ми можемо взяти океан і поглянути на нього зблизька.

We can look at the waves.

Ми можемо дивитись на хвилі.

Можемо дивитись на пляж.

We can go to the beach.

We can view the ocean from another perspective.

Можемо дивитись на океан з іншого ракурсу.

Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean.

Кожного разу, коли ми так чинимо, ми дізнаємось трохи більше про океан.

Якщо ми підемо на берег, ми зможемо відчути запах, чи не так?

If we go to the shore, we can kind of smell it, right?

We can hear the sound of the waves.

Зможемо почути хвилі.

We can feel salt on our tongues.

Можемо відчути сіль язиком.

So all of these are different perspectives.

І все це є різними кутами зору.

And this is the best one.

І це найкращий.

We can go into the water.

Ми можемо зайти у воду.

We can see the water from the inside.

Ми можемо побачити воду зсередини.

And you know what?

Знаєте що?

This is absolutely essential in mathematics and computer science.

Це абсолютно необхідно в математиці та інформатиці.

If you're able to view a structure from the inside,

Якщо ви здатні побачити структуру зсередини,

then you really learn something about it.

тоді ви справді щось знаєте про неї.

That's somehow the essence of something.

Це і є її сутність.

So when we do this, and we've taken this journey

Коли ми відправляємося у подорож до океану,

into the ocean,

we use our imagination.

то використовуємо свою уяву.

And I think this is one level deeper,

Занурення ще глибше на один рівень

and it's actually a requirement for changing your perspective.

насправді потребує зміни кута зору.

We can do a little game.

Зіграємо в невеличку гру.

Уявіть, що ви сидите там.

You can imagine that you're sitting there.

Ви можете уявити і що ви згори, і що ви сидите тут.

You can imagine that you're up here, and that you're sitting here.

You can view yourselves from the outside.

Тоді ви побачите себе зовні.

That's really a strange thing.

Це справді дивно.

You're changing your perspective.

Ви змінюєте свій ракурс.

You're using your imagination,

Використовуєте свою уяву

and you're viewing yourself from the outside.

і бачите себе ззовні.

Це вимагає уяви.

That requires imagination.

Математика та інформатика - це види мистецтв, що найбільш потребують уяви.

Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever.

And this thing about changing perspectives

Вся ця штука зі зміною ракурсу

повинна виглядати для вас знайомо,

should sound a little bit familiar to you,

because we do it every day.

бо ми користуємося нею кожного дня.

And then it's called empathy.

Ми називаємо її емпатією.

When I view the world from your perspective,

Якщо я дивлюся на світ з вашої точки зору,

I have empathy with you.

то я відчуваю емпатію.

If I really, truly understand

Якщо я справді, дійсно розумію,

what the world looks like from your perspective,

як виглядає світ з вашої точки зору,

I am empathetic.

то я співпереживаю вам.

Для цього потрібна уява.

That requires imagination.

And that is how we obtain understanding.

Ось так ми здобуваємо пізнання.

And this is all over mathematics and this is all over computer science,

І це скрізь в математиці, це скрізь в інформатиці.

and there's a really deep connection between empathy and these sciences.

Існує справді глибокий зв'язок між емпатією та цими науками.

So my conclusion is the following:

Отже мої висновки такі:

understanding something really deeply

дійсно глибоке пізнання чогось

нерозривно пов'язане зі здатністю змінювати ракурс.

has to do with the ability to change your perspective.

So my advice to you is: try to change your perspective.

Тож я рекомендую вам: змінюйте ракурс.

You can study mathematics.

Можете вчити математику.

Це чудовий засіб тренувати розум.

It's a wonderful way to train your brain.

Changing your perspective makes your mind more flexible.

Зміна кута зору робить ваш розум гнучкішими,

It makes you open to new things,

робить вас відкритішим до нового

and it makes you able to understand things.

і здатним пізнавати речі.

And to use yet another metaphor:

І, використовуючи ще одну метафору,

have a mind like water.

хай ваш розум буде подібний до води.

That's nice.

Це чудово.

Thank you.

Дякую.

(Оплески)

(Applause)