Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen

Переводчик: Elena Govorkova Редактор: Péter Pallós

Здравствуйте!

Hi.

I want to talk about understanding, and the nature of understanding,

Я хочу поговорить о понимании, о его природе,

and what the essence of understanding is,

и о сущности понимания,

because understanding is something we aim for, everyone.

потому что понимание — это то, к чему мы все стремимся, каждый из нас.

We want to understand things.

Мы хотим понимать.

My claim is that understanding has to do

Я считаю, что понимание —

это способность смотреть на вещи с разных точек зрения.

with the ability to change your perspective.

If you don't have that, you don't have understanding.

Если у вас этого нет, у вас нет и понимания.

Именно это я утверждаю.

So that is my claim.

And I want to focus on mathematics.

Я хочу обратиться к математике.

Для многих из нас математика — это сложение, вычитание,

Many of us think of mathematics as addition, subtraction,

multiplication, division,

умножение, деление,

fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff.

дроби, проценты, геометрия, алгебра — всё в таком духе.

Но сейчас я хочу поговорить о сущности математики.

But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well.

And my claim is that mathematics has to do with patterns.

Математика напрямую связана с закономерностями.

Позади меня вы видите красивый узор,

Behind me, you see a beautiful pattern,

and this pattern actually emerges just from drawing circles

который получается из окружностей,

in a very particular way.

нарисованных определённым образом.

So my day-to-day definition of mathematics that I use every day

Моё определение математики, которым я пользуюсь каждый день,

is the following:

следующее:

во-первых, это поиск закономерностей.

First of all, it's about finding patterns.

Под «закономерностью» я подразумеваю некую связь, структуру, постоянство,

And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity,

some rules that govern what we see.

некие правила, управляющие чем-либо.

Во-вторых,

Second of all,

I think it is about representing these patterns with a language.

я думаю, математика — это представление таких закономерностей с помощью языка.

We make up language if we don't have it,

Мы придумываем язык, если у нас его нет,

and in mathematics, this is essential.

а в математике это просто необходимо.

Математика также предполагает высказывание предположений

It's also about making assumptions

and playing around with these assumptions and just seeing what happens.

и экспериментирование с этими предположениями.

We're going to do that very soon.

Мы вскоре этим займёмся.

And finally, it's about doing cool stuff.

И, наконец, математика — это разные классные штуки.

Mathematics enables us to do so many things.

Благодаря этой науке можно столько всего сделать.

So let's have a look at these patterns.

Давайте посмотрим на эти закономерности.

If you want to tie a tie knot,

Если вы хотите завязать галстук,

это можно сделать по образцу.

there are patterns.

Tie knots have names.

У галстучных узлов есть названия.

And you can also do the mathematics of tie knots.

К ним тоже можно применить математику:

This is a left-out, right-in, center-out and tie.

налево над узким концом, направо под ним,

продеть сквозь петлю и затянуть.

This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie.

Здесь налево под узким концом, направо и налево под ним,

продеть и затянуть.

Этот язык мы специально придумали для галстучных узлов,

This is a language we made up for the patterns of tie knots,

и в данном случае это полувиндзорский узел.

and a half-Windsor is all that.

This is a mathematics book about tying shoelaces

Это математическое пособие по завязыванию шнурков

на уровне высшего учебного заведения,

at the university level,

because there are patterns in shoelaces.

поскольку в завязывании шнурков есть закономерности.

You can do it in so many different ways.

Существует множество способов.

We can analyze it.

Мы можем их проанализировать.

We can make up languages for it.

Мы можем придумать для этого язык.

And representations are all over mathematics.

И представления в математике повсюду.

This is Leibniz's notation from 1675.

Это система записи Лейбница 1675 года.

He invented a language for patterns in nature.

Он придумал язык, описывающий закономерности в природе.

When we throw something up in the air,

Когда мы подбрасываем что-то в воздух,

it falls down.

оно падает вниз.

Why?

Почему?

We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.

Мы не уверены, но можем описать это с помощью математической закономерности.

This is also a pattern.

Это тоже закономерность.

This is also an invented language.

Это тоже выдуманный язык.

Can you guess for what?

Догадаетесь для чего?

It is actually a notation system for dancing, for tap dancing.

Это система обозначений для чечётки.

That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things,

Благодаря этой системе хореограф делает крутые новые движения,

because he has represented it.

потому что он их представил.

I want you to think about how amazing representing something actually is.

Я хочу, чтобы вы подумали,

насколько удивительным может быть представление чего-либо.

Here it says the word "mathematics."

Здесь зашифровано слово «математика».

But actually, they're just dots, right?

Но ведь это просто точки, так?

So how in the world can these dots represent the word?

Каким образом эти точки могут представить слово?

Well, they do.

И тем не менее, это так.

They represent the word "mathematics,"

Они представляют слово «математика»,

and these symbols also represent that word

и эти символы также представляют слово,

and this we can listen to.

которое мы можем услышать.

It sounds like this.

Оно звучит так.

(Beeps)

(Звук)

Somehow these sounds represent the word and the concept.

Эти звуки характеризуют это слово и идею.

How does this happen?

Как это происходит?

There's something amazing going on about representing stuff.

В представлении вещей есть нечто удивительное.

So I want to talk about that magic that happens

Я хочу поговорить о магии, которая происходит,

when we actually represent something.

когда мы представляем что-либо.

Here you see just lines with different widths.

Здесь вы видите линии разной толщины.

They stand for numbers for a particular book.

Каждая из них — номер в штрих-коде определённой книги.

And I can actually recommend this book, it's a very nice book.

И я могу порекомендовать её, это очень хорошая книга.

(Laughter)

(Смех)

Just trust me.

Просто поверьте мне.

OK, so let's just do an experiment,

Хорошо, давайте проведём эксперимент,

just to play around with some straight lines.

просто поиграем с линиями.

Это прямая линия.

This is a straight line.

Let's make another one.

Давайте нарисуем ещё одну.

So every time we move, we move one down and one across,

Каждый раз мы перемещаемся на одну вниз и в сторону

and we draw a new straight line, right?

и рисуем новую прямую линию, так?

We do this over and over and over,

Мы делаем это снова, и снова, и снова,

and we look for patterns.

и ищем закономерность.

So this pattern emerges,

Такая закономерность возникает,

and it's a rather nice pattern.

и она довольно красивая.

It looks like a curve, right?

Похоже на кривую, да?

Из простых прямых линий.

Just from drawing simple, straight lines.

Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it.

Теперь я слегка изменю ракурс. Я могу повернуть эту кривую.

Have a look at the curve.

Взгляните на неё.

What does it look like?

На что она похожа?

Is it a part of a circle?

На часть окружности?

It's actually not a part of a circle.

На самом деле нет.

So I have to continue my investigation and look for the true pattern.

Поэтому я продолжу своё исследование и буду искать правильную закономерность.

Perhaps if I copy it and make some art?

Что, если я скопирую её вот так?

Well, no.

Не то.

Perhaps I should extend the lines like this,

Может, мне нужно продлить линии вот так

и поискать закономерность здесь?

and look for the pattern there.

Let's make more lines.

Давайте нарисуем больше линий.

We do this.

Вот так.

And then let's zoom out and change our perspective again.

А теперь давайте уменьшим масштаб и снова изменим наш ракурс.

Then we can actually see that what started out as just straight lines

Теперь мы видим, что эта кривая, состоящая из прямых линий,

is actually a curve called a parabola.

на самом деле представляет собой параболу.

This is represented by a simple equation,

Эта кривая представлена простым уравнением,

и это очень красивая закономерность.

and it's a beautiful pattern.

So this is the stuff that we do.

Вот что мы делаем.

We find patterns, and we represent them.

Мы находим закономерности и представляем их.

And I think this is a nice day-to-day definition.

Я думаю, это замечательное определение математики на каждый день.

But today I want to go a little bit deeper,

Но сегодня я хочу немного углубиться

and think about what the nature of this is.

и подумать о природе увиденного.

What makes it possible?

Как это возможно?

There's one thing that's a little bit deeper,

Кое-что лежит глубже,

and that has to do with the ability to change your perspective.

и это связано с возможностью менять ваш угол зрения.

Я утверждаю, что когда вы меняете угол зрения

And I claim that when you change your perspective,

and if you take another point of view,

и смóтрите с другой точки зрения,

you learn something new about what you are watching

вы узнаёте что-то новое о том, что наблюдаете,

or looking at or hearing.

видите или слышите.

And I think this is a really important thing that we do all the time.

И я думаю, это очень важная вещь, которой мы занимаемся постоянно.

So let's just look at this simple equation,

Давайте посмотрим на это простое уравнение,

x + x = 2 • x.

x + x = 2 • x.

This is a very nice pattern, and it's true,

Замечательное уравнение, и оно верно,

because 5 + 5 = 2 • 5, etc.

поскольку 5 + 5 = 2 • 5, и так далее.

We've seen this over and over, and we represent it like this.

Мы видим это снова и снова, и представляем это так.

But think about it: this is an equation.

Но подумайте: это уравнение.

В нём говорится: что-то равно чему-то ещё,

It says that something is equal to something else,

and that's two different perspectives.

и это два разных угла зрения.

One perspective is, it's a sum.

С одной стороны, это сумма.

It's something you plus together.

Что-то плюс что-то.

On the other hand, it's a multiplication,

С другой стороны, это умножение,

и это и есть два разных угла зрения.

and those are two different perspectives.

И я готов сказать, что любое уравнение подобно этому,

And I would go as far as to say that every equation is like this,

every mathematical equation where you use that equality sign

каждое математическое уравнение, в котором вы используете знак равенства,

на самом деле метафора.

is actually a metaphor.

It's an analogy between two things.

Это аналогия между двумя вещами.

You're just viewing something and taking two different points of view,

Вы просто смóтрите на что-то, принимаете две разные точки зрения

and you're expressing that in a language.

и выражате всё это языком.

Have a look at this equation.

Взгляните на это уравнение.

This is one of the most beautiful equations.

Это одно из самых красивых уравнений.

It simply says that, well,

В нём просто говорится,

two things, they're both -1.

что оба выражения равны -1.

This thing on the left-hand side is -1, and the other one is.

Слева -1, и справа тоже -1.

И я считаю, что это — один из важнейших аспектов математики,

And that, I think, is one of the essential parts

когда вы можете видеть что-то под разными углами.

of mathematics -- you take different points of view.

So let's just play around.

Давайте немного поиграем.

Let's take a number.

Давайте возьмём число.

We know four-thirds. We know what four-thirds is.

Все мы знаем число 4/3.

Это дробь 1,33, но нам нужно поставить после неё троеточие,

It's 1.333, but we have to have those three dots,

otherwise it's not exactly four-thirds.

иначе это не точное значение 4/3.

But this is only in base 10.

Но только в десятичной системе.

You know, the number system, we use 10 digits.

Вы знаете эту систему счисления, в которой мы используем 10 цифр.

If we change that around and only use two digits,

Если мы будем использовать только две цифры,

that's called the binary system.

двоичную систему счисления,

It's written like this.

то число будет выглядеть так.

So we're now talking about the number.

Теперь мы говорим о числе.

The number is four-thirds.

Число 4/3.

We can write it like this,

Его можно записать так.

and we can change the base, change the number of digits,

Мы можем поменять систему счисления, количество цифр

and we can write it differently.

и записать его по-другому.

Всё это — представления одного и того же числа.

So these are all representations of the same number.

We can even write it simply, like 1.3 or 1.6.

Мы можем даже записать его просто как 1,3 или 1,6.

It all depends on how many digits you have.

Всё зависит от того, сколько у вас цифр.

Or perhaps we just simplify and write it like this.

Или, возможно, мы упростим его и запишем вот так.

I like this one, because this says four divided by three.

Мне нравится, потому что здесь говорится: четыре, делённое на три.

И это число выражает связь между двумя числами.

And this number expresses a relation between two numbers.

You have four on the one hand and three on the other.

С одной стороны у вас есть число четыре, а с другой — три.

And you can visualize this in many ways.

И это можно наглядно представить разными способами.

What I'm doing now is viewing that number from different perspectives.

Сейчас я рассматриваю это число с разных ракурсов.

I'm playing around.

Я с ним играю.

I'm playing around with how we view something,

Играю с нашим визуальным восприятием чисел

и делаю это вполне осознанно.

and I'm doing it very deliberately.

We can take a grid.

Возьмём вот такую сетку.

Её размеры 4х3, а эта линия всегда равна пяти.

If it's four across and three up, this line equals five, always.

It has to be like this. This is a beautiful pattern.

Она должна быть такой. Красивая закономерность.

Four and three and five.

Четыре, и три, и пять.

А этот прямоугольник, 4х3,

And this rectangle, which is 4 x 3,

you've seen a lot of times.

много раз вам встречался.

This is your average computer screen.

Это экран вашего компьютера.

800 x 600 or 1,600 x 1,200

800 x 600 или 1 600 x 1 200 —

is a television or a computer screen.

разрешение экрана телевизора или компьютера.

So these are all nice representations,

Все эти представления хороши,

but I want to go a little bit further and just play more with this number.

но я хочу ещё немного углубиться и поиграть с этим числом.

Here you see two circles. I'm going to rotate them like this.

Вы видите две окружности. Они вращаются.

Обратите внимание на левую верхнюю.

Observe the upper-left one.

It goes a little bit faster, right?

Она крутится немного быстрее, верно?

А вот так.

You can see this.

It actually goes exactly four-thirds as fast.

Она крутится в 4/3 раза быстрее.

That means that when it goes around four times,

Это означает, что когда эта окружность совершает четыре оборота,

the other one goes around three times.

другая совершает три оборота.

Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet.

Давайте проведём две линии и отметим точкой место их пересечения.

We get this dot dancing around.

Точка как бы танцует.

(Laughter)

(Смех)

And this dot comes from that number.

И она происходит из этого числа.

Right? Now we should trace it.

Сейчас мы проследим за ней.

Let's trace it and see what happens.

Давайте проследим за ней и посмотрим.

This is what mathematics is all about.

Именно в этом и есть суть математики.

It's about seeing what happens.

Смотреть, что происходит.

И вот что получается из числа 4/3.

And this emerges from four-thirds.

Я говорю, что так выглядит число 4/3.

I like to say that this is the image of four-thirds.

It's much nicer -- (Cheers)

Это намного лучше... (Одобрения)

Thank you!

Спасибо!

(Applause)

(Аплодисменты)

This is not new.

Но это не новость.

This has been known for a long time, but --

Это известно уже очень давно, но...

(Laughter)

(Смех)

But this is four-thirds.

Но это 4/3!

Давайте проведём ещё один эксперимент.

Let's do another experiment.

Let's now take a sound, this sound: (Beep)

Например, возьмём вот этот звук.

This is a perfect A, 440Hz.

Эталонная «ля», 440 Гц.

Let's multiply it by two.

Умножим его на два.

We get this sound. (Beep)

Получим вот такой звук.

When we play them together, it sounds like this.

А вместе они будут звучать вот так.

This is an octave, right?

Октава, верно?

We can do this game. We can play a sound, play the same A.

Можем поиграть в такую игру. Проиграем тот же звук.

We can multiply it by three-halves.

Теперь умножим его на 3/2.

(Beep)

(Звук)

This is what we call a perfect fifth.

Это чистая квинта.

(Beep)

(Звук)

They sound really nice together.

Эти звуки вместе звучат очень красиво.

Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)

Давайте умножим этот звук на 4/3.

What happens?

Что произойдёт?

You get this sound. (Beep)

Получится вот такой звук.

This is the perfect fourth.

Это чистая кварта.

If the first one is an A, this is a D.

Если первая нота — ля, то это — ре.

They sound like this together. (Beeps)

Вместе они звучат так.

This is the sound of four-thirds.

Так звучит 4/3.

What I'm doing now, I'm changing my perspective.

И сейчас я немного изменю свой подход.

I'm just viewing a number from another perspective.

Я просто смотрю на число с другой стороны.

I can even do this with rhythms, right?

Это же я могу сделать и с ритмом, так?

I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)

Я могу взять ритм и играть три удара одновременно

in a period of time,

за один промежуток времени,

а другим звуком я могу играть четыре удара за то же время.

and I can play another sound four times in that same space.

(Clanking sounds)

(Ритмичные звуки)

Sounds kind of boring, but listen to them together.

Звучит скучновато, но послушайте, как они звучат вместе.

(Drumbeats and clanking sounds)

(Ритмичные звуки)

(Laughter)

(Смех)

Эй! Итак...

Hey! So.

(Laughter)

(Смех)

I can even make a little hi-hat.

Я даже могу добавить немного тарелок.

(Drumbeats and cymbals)

(Барабаны и тарелки)

Can you hear this?

Слышите?

So, this is the sound of four-thirds.

Так звучит число 4/3.

Again, this is as a rhythm.

Это ритм.

(Drumbeats and cowbell)

(Барабаны и колокольчик)

And I can keep doing this and play games with this number.

И я могу продолжить играть с этим числом.

Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!

4/3 — прекрасное число. Я люблю 4/3!

(Смех)

(Laughter)

Truly -- it's an undervalued number.

Нет, правда — это недооценённое число.

So if you take a sphere and look at the volume of the sphere,

Если взять шар и рассчитать его объём,

it's actually four-thirds of some particular cylinder.

он будет равен 4/3 объёма определённого цилиндра.

So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.

4/3 находится в шаре. Это объём шара.

OK, so why am I doing all this?

Так зачем я всё это делаю?

Well, I want to talk about what it means to understand something

Я хочу поговорить о том, что значит понимать что-то,

и что мы имеем в виду под пониманием.

and what we mean by understanding something.

That's my aim here.

Это моя цель сегодня.

Я считаю, чтобы понимать что-то,

And my claim is that you understand something

if you have the ability to view it from different perspectives.

нужно уметь видеть это с разных точек зрения.

Let's look at this letter. It's a beautiful R, right?

Давайте посмотрим на эту букву. Красивая буква R, так?

How do you know that?

Откуда вы это знаете?

Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's,

На самом деле вы уже видели целую кучу таких букв R,

and you've generalized

вы обобщили

and abstracted all of these and found a pattern.

и резюмировали всё это и нашли закономерность.

So you know that this is an R.

И вы знаете, что это именно R.

So what I'm aiming for here is saying something

Чего я добиваюсь здесь — донести до вас то,

about how understanding and changing your perspective

что понимание и изменение вашего взгляда на вещи

are linked.

тесно связаны друг с другом.

And I'm a teacher and a lecturer,

Я учитель и преподаватель,

and I can actually use this to teach something,

и я действительно могу применить эту методику в преподавании,

because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy,

потому что когда я рассказываю кому-то историю, метафору, аналогию

if I tell a story from a different point of view,

с другой точки зрения,

я «включаю» понимание.

I enable understanding.

I make understanding possible,

Я делаю понимание возможным,

because you have to generalize over everything you see and hear,

потому что нужно обобщить всё то, что ты видишь и слышишь,

and if I give you another perspective, that will become easier for you.

и когда я предлагаю вам другую точку зрения, вам становится легче понять.

Let's do a simple example again.

Снова вернёмся к нашему простому примеру.

This is four and three. This is four triangles.

Это четыре и три. Это четыре треугольника.

So this is also four-thirds, in a way.

В какой-то степени это тоже число 4/3.

Let's just join them together.

Давайте соединим их.

Немного поиграем: сложим их

Now we're going to play a game; we're going to fold it up

into a three-dimensional structure.

в трёхмерную фигуру.

I love this.

Обожаю это.

This is a square pyramid.

Это пирамида с квадратным основанием.

And let's just take two of them and put them together.

Давайте возьмём две и соединим их.

So this is what is called an octahedron.

Это октаэдр.

It's one of the five platonic solids.

Одно из пяти платоновых тел.

Теперь мы можем в буквальном смысле изменить его ракурс,

Now we can quite literally change our perspective,

because we can rotate it around all of the axes

потому что будем вращать его вокруг всех осей

and view it from different perspectives.

и смотреть на него с разных сторон.

And I can change the axis,

Я меняю ось

and then I can view it from another point of view,

и вижу его с другого ракурса.

but it's the same thing, but it looks a little different.

Фигура прежняя, но выглядит немного по-другому.

I can do it even one more time.

Я даже могу сделать так ещё раз.

Every time I do this, something else appears,

Каждый раз появляется что-то ещё,

so I'm actually learning more about the object

и я узнаю́ больше об этой фигуре,

when I change my perspective.

когда меняю свой подход.

I can use this as a tool for creating understanding.

Я могу использовать это как инструмент, помогающий понять.

I can take two of these and put them together like this

Могу взять две фигуры, соединить их вот так

и посмотреть, что получится в результате.

and see what happens.

And it looks a little bit like the octahedron.

Немного похоже на октаэдр.

Have a look at it if I spin it around like this.

Взгляните на него теперь.

What happens?

Что происходит?

Вы берёте две фигуры, соединяете их, вращаете,

Well, if you take two of these, join them together and spin it around,

there's your octahedron again,

получается снова ваш октаэдр,

a beautiful structure.

прекрасная фигура.

If you lay it out flat on the floor,

Если вы сделаете его проекцию,

this is the octahedron.

это тот же октаэдр.

This is the graph structure of an octahedron.

Это графическое представление октаэдра.

And I can continue doing this.

Я могу продолжать.

You can draw three great circles around the octahedron,

Можно нарисовать вокруг него три больших окружности,

and you rotate around,

повернуть,

и эти три окружности связаны с октаэдром.

so actually three great circles is related to the octahedron.

And if I take a bicycle pump and just pump it up,

Если я возьму велосипедный насос и просто «накачаю» его,

you can see that this is also a little bit like the octahedron.

это тоже похоже на октаэдр.

Do you see what I'm doing here?

Понимаете, что я делаю?

Я каждый раз меняю свой подход.

I am changing the perspective every time.

So let's now take a step back --

Теперь давайте вернёмся немного назад,

and that's actually a metaphor, stepping back --

это такая метафора, «сделать шаг назад»,

and have a look at what we're doing.

и взглянем на то, что мы делаем.

I'm playing around with metaphors.

Я играю с метафорами.

I'm playing around with perspectives and analogies.

Я играю с точками зрения и аналогиями.

Я рассказываю одно и то же по-разному.

I'm telling one story in different ways.

I'm telling stories.

Я рассказываю истории.

I'm making a narrative; I'm making several narratives.

Я повествую; и таких рассказов несколько.

And I think all of these things make understanding possible.

Я думаю, всё это делает понимание возможным.

I think this actually is the essence of understanding something.

На мой взгляд, в этом и состоит суть понимания.

I truly believe this.

Я искренне верю в это.

So this thing about changing your perspective --

Умение смотреть на вещи с разных сторон

it's absolutely fundamental for humans.

абсолютно необходимо людям.

Let's play around with the Earth.

Давайте «поиграем» с нашей планетой.

Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean.

Приблизимся к океану и посмотрим на него.

Это можно сделать с чем угодно.

We can do this with anything.

We can take the ocean and view it up close.

Мы можем рассмотреть океан с близкого расстояния.

We can look at the waves.

Мы можем смотреть на волны.

We can go to the beach.

Можем пойти на пляж.

We can view the ocean from another perspective.

Мы можем посмотреть на океан с другой точки зрения.

Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean.

Каждый раз мы узнаём о нём больше.

На побережье мы чувствуем его запах.

If we go to the shore, we can kind of smell it, right?

We can hear the sound of the waves.

Мы слышим волны.

We can feel salt on our tongues.

Чувствуем соль на языке.

So all of these are different perspectives.

Всё это разные взгляды на одно и то же.

And this is the best one.

И этот — лучший.

We can go into the water.

Мы можем войти в воду.

We can see the water from the inside.

Можем посмотреть на воду изнутри.

And you know what?

И знаете, что?

This is absolutely essential in mathematics and computer science.

Это просто необходимо делать в математике и информатике.

If you're able to view a structure from the inside,

Если вы способны увидеть структуру объекта изнутри,

then you really learn something about it.

тогда вы действительно узнаёте о нём что-то.

That's somehow the essence of something.

Понимаете его сущность.

So when we do this, and we've taken this journey

Когда мы это делаем, и мы отправляемся в это путешествие

into the ocean,

по океану,

we use our imagination.

мы используем своё воображение.

And I think this is one level deeper,

Это уже более глубокий уровень понимания,

and it's actually a requirement for changing your perspective.

и он требуется для того, чтобы вы могли изменить свой подход.

We can do a little game.

Давайте немного поиграем.

Представьте, что вы сидите здесь.

You can imagine that you're sitting there.

Вы можете представить, что находитесь прямо здесь.

You can imagine that you're up here, and that you're sitting here.

You can view yourselves from the outside.

И можете посмотреть на себя со стороны.

That's really a strange thing.

Это немного странно.

You're changing your perspective.

Вы меняете свой подход.

You're using your imagination,

Вы используете своё воображение,

and you're viewing yourself from the outside.

и смóтрите на себя со стороны.

От вас требуется воображение.

That requires imagination.

Математика и информатика — самые творческие формы искусства.

Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever.

And this thing about changing perspectives

Это изменение подхода, угла зрения

должно быть вам знакомо,

should sound a little bit familiar to you,

because we do it every day.

потому что мы это делаем каждый день.

And then it's called empathy.

Это называется сопереживанием.

When I view the world from your perspective,

Когда я смотрю на мир вашими глазами,

I have empathy with you.

я вам сопереживаю.

If I really, truly understand

Если я на самом деле понимаю,

what the world looks like from your perspective,

как выглядит мир с вашей точки зрения,

I am empathetic.

я могу сопереживать.

Для этого требуется воображение.

That requires imagination.

And that is how we obtain understanding.

Именно так мы добиваемся понимания.

And this is all over mathematics and this is all over computer science,

В математике и информатике это буквально повсюду,

and there's a really deep connection between empathy and these sciences.

и существует действительно глубокая связь между сочувствием и этими науками.

So my conclusion is the following:

Мой вывод заключается в следующем:

understanding something really deeply

чтобы глубоко понимать что-то,

нужно уметь смотреть на вещи с разных сторон.

has to do with the ability to change your perspective.

So my advice to you is: try to change your perspective.

Мой совет вам: попробуйте поменять свой подход.

You can study mathematics.

Можете заняться математикой.

Это чудесный способ тренировки мозга.

It's a wonderful way to train your brain.

Changing your perspective makes your mind more flexible.

Изменение собственного подхода сделает ваш разум более гибким.

It makes you open to new things,

Вы откроетесь чему-то новому,

and it makes you able to understand things.

вы станете понимать.

And to use yet another metaphor:

И напоследок ещё одна метафора:

пусть ваш ум будет подобен воде.

have a mind like water.

That's nice.

Это замечательно.

Thank you.

Спасибо.

(Аплодисменты)

(Applause)