Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen

翻訳: Yasushi Aoki 校正: Claire Ghyselen

Hi.

私がお話ししたいのは 理解について —

I want to talk about understanding, and the nature of understanding,

理解というものの性質

and what the essence of understanding is,

理解の本質は何か ということです

because understanding is something we aim for, everyone.

というのも 理解は誰もが 求めるものだからです

We want to understand things.

私たちは物事を 理解したいと思います

My claim is that understanding has to do

私の考えでは

理解というのは ものの見方を 変える能力に関係しています

with the ability to change your perspective.

If you don't have that, you don't have understanding.

それなくしては 理解することもありません

So that is my claim.

それが私の主張です

And I want to focus on mathematics.

ここでは数学に 話を絞りましょう

多くの人の考える数学とは 加算 減算

Many of us think of mathematics as addition, subtraction,

multiplication, division,

乗算 除算

fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff.

分数 パーセント 幾何 代数･･･ そういったものです

しかし私は数学のもっと本質的な部分にも 触れたいと思います

But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well.

And my claim is that mathematics has to do with patterns.

私に言わせると 数学とは パターンに関するものです

後ろのスクリーンに きれいなパターンが映っています

Behind me, you see a beautiful pattern,

and this pattern actually emerges just from drawing circles

このパターンは

円をある特定の仕方で 描くことで現れます

in a very particular way.

So my day-to-day definition of mathematics that I use every day

私が日常的に使っている 数学の定義が

どんなものかというと

is the following:

それは第一に パターンを発見することに 関わるものです

First of all, it's about finding patterns.

And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity,

ここで「パターン」が意味するのは 関連 構造 規則性

some rules that govern what we see.

我々が目にするものを支配している ルールといったものです

Second of all,

第２に 数学とは

I think it is about representing these patterns with a language.

そのようなパターンを 言語で表現する行為です

We make up language if we don't have it,

適当な言語がなければ 作り出します

and in mathematics, this is essential.

これは数学にとって 本質的なことです

数学ではまた仮定を設け

It's also about making assumptions

and playing around with these assumptions and just seeing what happens.

それをいろいろ変えて 何が起きるか調べます

We're going to do that very soon.

あとで実際に やってご覧に入れます

And finally, it's about doing cool stuff.

最後に 数学とは イカしたことをやるものです

Mathematics enables us to do so many things.

数学は私たちに 様々なことをできるようにしてくれます

So let's have a look at these patterns.

こちらのパターンを 見てみましょう

If you want to tie a tie knot,

ネクタイを結ぶというとき

そこにはパターンがあります

there are patterns.

Tie knots have names.

ネクタイの結び方には 名前が付いています

And you can also do the mathematics of tie knots.

そしてネクタイの結び方は 数学で扱うことができます

This is a left-out, right-in, center-out and tie.

左のは「左外-右内-中外-結び」(LoRiCoT)です

真ん中のは「左内-右外-左内-中外-結び」(LiRoLiCoT)

This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie.

これはネクタイの結び方の パターンを表すために作られた言語なんです

This is a language we made up for the patterns of tie knots,

and a half-Windsor is all that.

右のは「ハーフウィンザー」としても 知られています

This is a mathematics book about tying shoelaces

これは靴紐の 結び方に関する

学部レベルの 数学の本です

at the university level,

because there are patterns in shoelaces.

靴紐の通し方にも パターンがあり

You can do it in so many different ways.

非常に多くの異なる やり方があります

We can analyze it.

それを分析し

We can make up languages for it.

そのための言語を 作ることができます

And representations are all over mathematics.

「表現」というのは 数学の至る所に出てきます

This is Leibniz's notation from 1675.

これは1675年に書かれた ライプニッツの記法です

He invented a language for patterns in nature.

彼は自然界のパターンを 記述するための言語を作りました

When we throw something up in the air,

何かを上に放り投げると

it falls down.

落ちてきます

Why?

なぜか？

We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.

よく分かりませんが そのパターンは数学で表現できるんです

This is also a pattern.

これも一種のパターンです

This is also an invented language.

あることのために 作り出された言語です

Can you guess for what?

何か分かりますか？

It is actually a notation system for dancing, for tap dancing.

実はタップダンスの 系統的な表記法なんです

That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things,

これによって彼は振付師として 新しいイカしたことができるようになります

because he has represented it.

表現法を手にしたからです

I want you to think about how amazing representing something actually is.

何かを表現するというのが どれほど すごいことか 考えてほしいんです

Here it says the word "mathematics."

これは「数学」という語を 表しています

But actually, they're just dots, right?

単なる点々でしか ありませんよね？

So how in the world can these dots represent the word?

どうしてこんな点で 語を表せるのでしょう？

Well, they do.

でも実際できて

They represent the word "mathematics,"

「数学」という語を 表しているんです

and these symbols also represent that word

この記号もまた「数学」を 表していますが

and this we can listen to.

これは音として 聞くこともできます

It sounds like this.

こんな音です

(Beeps)

(モールス音)

Somehow these sounds represent the word and the concept.

この音は 言葉や概念を表現します

How does this happen?

どうやってなのでしょう？

There's something amazing going on about representing stuff.

ものを表現するとき すごいことが起きているんです

So I want to talk about that magic that happens

何かを表現するときに起きる この魔法について

when we actually represent something.

お話ししたいと思います

Here you see just lines with different widths.

ここには太さの違う 線があるだけですが

They stand for numbers for a particular book.

これはある特定の本を指す 数字を表しています

And I can actually recommend this book, it's a very nice book.

ちなみにその本はお薦めです とても良い本ですよ

(Laughter)

(笑)

Just trust me.

本当に

OK, so let's just do an experiment,

ちょっと実験をしましょう

just to play around with some straight lines.

直線を使って すこし遊んでみます

１本の直線があります

This is a straight line.

Let's make another one.

もう１本線を引きます

So every time we move, we move one down and one across,

毎回一端を下に 他端を横にずらして

and we draw a new straight line, right?

線を引いていきます

We do this over and over and over,

これを繰り返していって

and we look for patterns.

パターンを探します

So this pattern emerges,

するとこのような

なかなか綺麗な パターンが現れます

and it's a rather nice pattern.

It looks like a curve, right?

曲線のように 見えるでしょう？

Just from drawing simple, straight lines.

単に直線を 描いているだけなのに

Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it.

見方を少し変えてみましょう 回転させます

Have a look at the curve.

この曲線を見てください

What does it look like?

何に見えますか？

Is it a part of a circle?

円の一部でしょうか？

It's actually not a part of a circle.

円の一部ではありません

So I have to continue my investigation and look for the true pattern.

真のパターンを見出すために 検討を続けましょう

Perhaps if I copy it and make some art?

コピーしたら何か アートみたいになるでしょうか？

Well, no.

そうでもありません

Perhaps I should extend the lines like this,

線を伸ばして

and look for the pattern there.

パターンを探します

Let's make more lines.

線をもっと 増やしてみましょうか

We do this.

こんな風に

And then let's zoom out and change our perspective again.

ズームアウトして また見方を変えてみます

Then we can actually see that what started out as just straight lines

はじめは ただの 直線の集まりだったものが

放物線と呼ばれる曲線に なっているのが分かります

is actually a curve called a parabola.

This is represented by a simple equation,

これはシンプルな方程式で 表現される

美しいパターンです

and it's a beautiful pattern.

So this is the stuff that we do.

これが私たちの やっていることです

We find patterns, and we represent them.

パターンを見出し それを表現するということ

And I think this is a nice day-to-day definition.

これは数学の当座の定義として 良いと思います

But today I want to go a little bit deeper,

しかし今日は もう少し掘り下げて

and think about what the nature of this is.

その性質について 考察したいと思います

What makes it possible?

何がそれを 可能にしているのか？

There's one thing that's a little bit deeper,

そして掘り下げたところに あるものは

and that has to do with the ability to change your perspective.

見方を変える能力に 関係しています

And I claim that when you change your perspective,

私の主張は

見方を変えて 異なる視点で見るとき

and if you take another point of view,

you learn something new about what you are watching

その見聞きしている ものについて

何か新しいことを 学ぶということです

or looking at or hearing.

And I think this is a really important thing that we do all the time.

これは私たちが絶えずやっている とても重要なことだと思います

So let's just look at this simple equation,

この単純な方程式を 見てください

x + x = 2 • x.

x + x = 2 * x

This is a very nice pattern, and it's true,

これは素敵なパターンであり 正しいものです

because 5 + 5 = 2 • 5, etc.

5 + 5 = 2 * 5 といった

We've seen this over and over, and we represent it like this.

そういうパターンを繰り返し目にして このように表現したのです

But think about it: this is an equation.

考えてほしいのは これが方程式だということで

It says that something is equal to something else,

何かと何かが等しいことを 表しています

and that's two different perspectives.

１つのものの２つの異なる 見方だということです

One perspective is, it's a sum.

１つの見方は「和」です

It's something you plus together.

何かを加え合わせるということ

On the other hand, it's a multiplication,

もう１つの見方は「積」です

and those are two different perspectives.

２つの異なった見方です

And I would go as far as to say that every equation is like this,

すべての方程式は そういうものと言えましょう

every mathematical equation where you use that equality sign

イコールの記号を使う 数学の方程式はすべて

is actually a metaphor.

メタファーであり

It's an analogy between two things.

２つのものの間の アナロジーです

You're just viewing something and taking two different points of view,

何かについて ２つの異なる見方をし

and you're expressing that in a language.

それを言語で 表しているんです

Have a look at this equation.

この方程式を見てください

This is one of the most beautiful equations.

これは最も美しい 方程式の１つです

It simply says that, well,

それは単に ２つのものが —

two things, they're both -1.

どちらも -1だと言っています

This thing on the left-hand side is -1, and the other one is.

左側のも 右側のも 同じ -1であると

And that, I think, is one of the essential parts

これは数学の 本質的なことの１つで

of mathematics -- you take different points of view.

異なる見方をする ということです

So let's just play around.

もっといろいろ 試してみましょう

Let's take a number.

数字を１つ選びます 4/3です

We know four-thirds. We know what four-thirds is.

みんな4/3が何かは分かります

It's 1.333, but we have to have those three dots,

それは1.333･･･ですが 点々を付ける必要があります

otherwise it's not exactly four-thirds.

そうしないと正確に 4/3にはなりません

But this is only in base 10.

しかしこれは 10進法の場合の話です

You know, the number system, we use 10 digits.

10種類の数字を使う記数法では ということです

If we change that around and only use two digits,

もし２種類の数字しか 使わないことにしたら

that's called the binary system.

２進法になって

It's written like this.

4/3は 1.010･･･と表されます

So we're now talking about the number.

我々は今 4/3という数について

The number is four-thirds.

考えているわけですが

We can write it like this,

それは基数を変えることで このように書けます

and we can change the base, change the number of digits,

数字の種数を変えることで

and we can write it differently.

表記は変わるのです

So these are all representations of the same number.

これはすべて 同じ数の異なる表現です

We can even write it simply, like 1.3 or 1.6.

単に 1.3 とか 1.6と 書くこともできます

It all depends on how many digits you have.

数字の種類がいくつあるかで 変わるんです

Or perhaps we just simplify and write it like this.

もっと単純化して こんな風に書くこともできます

I like this one, because this says four divided by three.

4÷3というのが表せて 良いと思います

And this number expresses a relation between two numbers.

またこの数は２つの数の 関係を表しています

You have four on the one hand and three on the other.

一方に4があり 他方に3があります

And you can visualize this in many ways.

これは様々なやり方で 視覚化できます

What I'm doing now is viewing that number from different perspectives.

私が今やっているのは １つの数を様々な見方で見るということです

I'm playing around.

１つのものに対し

I'm playing around with how we view something,

どんな見方ができるか 試していて

and I'm doing it very deliberately.

それをとても意識的に やっています

We can take a grid.

格子を使うこともできます

If it's four across and three up, this line equals five, always.

横4 縦3だと 対角線の長さは 必ず5になります

It has to be like this. This is a beautiful pattern.

そう決まっているんです

4と3と5 からできる 美しいパターンです

Four and three and five.

And this rectangle, which is 4 x 3,

この長方形は 横と縦の比が 4 x 3 で

you've seen a lot of times.

良く目にするものです

This is your average computer screen.

一般的なコンピューターの 画面のサイズです

800 x 600 or 1,600 x 1,200

800 x 600 とか 1600 x 1200は

is a television or a computer screen.

テレビやコンピューターの画面に 使われています

So these are all nice representations,

みんな素敵な表現法ですが

but I want to go a little bit further and just play more with this number.

もう少し続けて この数で遊んでみたいと思います

Here you see two circles. I'm going to rotate them like this.

ここに２つの円があります

それぞれを回転させます

Observe the upper-left one.

左の方が少し 速く回っています

It goes a little bit faster, right?

分かりますか

You can see this.

It actually goes exactly four-thirds as fast.

正確に4/3倍 速く回っています

That means that when it goes around four times,

つまり左のが ４回転する間に

the other one goes around three times.

右のは３回転する ということです

Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet.

このように２本の線を引いて 交わったところに点を描くと

We get this dot dancing around.

その点が踊り出します

(Laughter)

(笑)

And this dot comes from that number.

この点は4/3という数に 由来しているのです

Right? Now we should trace it.

点の軌跡はどうなるか

Let's trace it and see what happens.

軌跡を描いて何が起きているのか 見てみましょう

This is what mathematics is all about.

数学とはそういうものです

It's about seeing what happens.

何が起きるか見るということ

And this emerges from four-thirds.

これが4/3という数から 生じるのです

I like to say that this is the image of four-thirds.

これは4/3の姿だと 言って良いでしょう

It's much nicer -- (Cheers)

この方がずっと･･･ (歓声)

Thank you!

どうも

(Applause)

(拍手)

This is not new.

これは新しいものじゃ ありません

This has been known for a long time, but --

ずいぶん昔から 知られていました

(Laughter)

(笑)

But this is four-thirds.

でもこれが4/3なんです

Let's do another experiment.

別の実験をしてみましょう

Let's now take a sound, this sound: (Beep)

今度は音を使います この音です (電子音)

This is a perfect A, 440Hz.

これはラの音で 440Hzです

Let's multiply it by two.

周波数を２倍に してみましょう

We get this sound. (Beep)

こんな音になります (電子音)

When we play them together, it sounds like this.

この２つを一緒に鳴らすと こうなります

This is an octave, right?

１オクターブです

We can do this game. We can play a sound, play the same A.

音を使って遊べます

同じラの音を 今度は 3/2倍してみましょう

We can multiply it by three-halves.

(Beep)

(電子音)

This is what we call a perfect fifth.

これは完全五度と 呼ばれています

(Beep)

(電子音)

They sound really nice together.

一緒にすると とても綺麗に聞こえます

Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)

今度は 4/3倍してみましょう (電子音)

What happens?

どうなるか？

You get this sound. (Beep)

こんな音です (電子音)

This is the perfect fourth.

これは完全四度です

If the first one is an A, this is a D.

元の音がラなら 新しい音はレです

They sound like this together. (Beeps)

一緒にすると こうなります (電子音)

This is the sound of four-thirds.

これは 4/3の音なんです

What I'm doing now, I'm changing my perspective.

ここで何をやっているかというと 見方を変えているんです

I'm just viewing a number from another perspective.

１つの数に対し 別の見方をしてみました

I can even do this with rhythms, right?

これをリズムで やることもできます

I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)

リズムを取って 一定時間内に

３回音を鳴らします (ドラムビート)

in a period of time,

and I can play another sound four times in that same space.

同じ時間内に 別の音を４回 鳴らすこともできます

(Clanking sounds)

(メトロノーム音)

Sounds kind of boring, but listen to them together.

これじゃ退屈ですが 一緒にしてみると —

(Drumbeats and clanking sounds)

(２音同時)

(Laughter)

(笑)

Hey! So.

ヘーイ！

(Laughter)

(笑)

I can even make a little hi-hat.

小刻みなハイハットを 加えることもできます

(Drumbeats and cymbals)

(３音同時)

Can you hear this?

聞こえますか？

So, this is the sound of four-thirds.

これはリズムとしての

Again, this is as a rhythm.

4/3なんです

(Drumbeats and cowbell)

(４音同時)

And I can keep doing this and play games with this number.

もっと続けて この数で遊ぶことができます

Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!

4/3は本当にすごい数なんです 大好きな数です

(Laughter)

(笑)

Truly -- it's an undervalued number.

本当に 過小評価されていると思います

So if you take a sphere and look at the volume of the sphere,

球の体積を調べると

it's actually four-thirds of some particular cylinder.

ある円柱の体積の 4/3になります

So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.

4/3が球の中にあるんです 体積として

OK, so why am I doing all this?

私はなぜこんな話を しているのか？

Well, I want to talk about what it means to understand something

何かを理解するというのは どういうことなのか

and what we mean by understanding something.

理解すると言ったとき 何を意味するのか

That's my aim here.

それがここで私の 狙いです

And my claim is that you understand something

理解しているというのは 異なる見方ができること —

if you have the ability to view it from different perspectives.

それが私の主張です

Let's look at this letter. It's a beautiful R, right?

この文字を見てください 素敵なRの文字です

How do you know that?

なぜそうと分かるのでしょう？

Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's,

これまでたくさんの Rを見てきて

and you've generalized

それを一般化し抽象化し

and abstracted all of these and found a pattern.

パターンを見つけたからです

So you know that this is an R.

それでこれはRだと 分かるのです

So what I'm aiming for here is saying something

私がやろうとしているのは

理解することと 見方を変えることは

about how understanding and changing your perspective

繋がっているんだと 示すことです

are linked.

And I'm a teacher and a lecturer,

私は教師であり 講師ですが

and I can actually use this to teach something,

このことを教えるときに 使うことができます

because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy,

別のストーリーやメタファーや アナロジーを与えること —

if I tell a story from a different point of view,

別の視点から 話をすることで

理解は引き出せるからです

I enable understanding.

I make understanding possible,

理解のためには

because you have to generalize over everything you see and hear,

見聞きするものすべてを 一般化しなければなりませんが

and if I give you another perspective, that will become easier for you.

別の見方を示すことで それが容易になるんです

Let's do a simple example again.

また簡単な例で 見てみましょう

This is four and three. This is four triangles.

４と３ — ４つの三角形があります

So this is also four-thirds, in a way.

ある意味 4/3です

Let's just join them together.

これを組み合わせます

Now we're going to play a game; we're going to fold it up

ちょっと遊びましょう

これを折りたたんで ３次元の構造にします

into a three-dimensional structure.

I love this.

これは私のお気に入り

This is a square pyramid.

正四角錐です

And let's just take two of them and put them together.

これを２つ用意して 合体させましょう

So this is what is called an octahedron.

これは正八面体と 呼ばれるものです

It's one of the five platonic solids.

５つのプラトンの立体のうちの １つです

Now we can quite literally change our perspective,

文字通り 見方を変える ことができます

because we can rotate it around all of the axes

それぞれの軸に対して 回転させて

and view it from different perspectives.

別の見方で見るのです

And I can change the axis,

軸を変えると

and then I can view it from another point of view,

別の視点から 見ることができます

but it's the same thing, but it looks a little different.

同じ物ですが 少し違って見えます

I can do it even one more time.

さらに別のやり方ができます

Every time I do this, something else appears,

そうするたびに 違ったものが現れます

so I'm actually learning more about the object

見方を変えると

その物について さらに学ぶことができるのです

when I change my perspective.

I can use this as a tool for creating understanding.

このことは理解を生み出すために 使うことができます

I can take two of these and put them together like this

四角錐を２つ取って このように組み合わせ

and see what happens.

何が起きるか見てみましょう

And it looks a little bit like the octahedron.

正八面体に少し似ています

Have a look at it if I spin it around like this.

このように回転させると

What happens?

何が起きるでしょう？

Well, if you take two of these, join them together and spin it around,

２つの四角錐を組み合わせて 回転させると

there's your octahedron again,

再び正八面体が現れます

a beautiful structure.

美しい構造です

If you lay it out flat on the floor,

平らに押しつぶすと

this is the octahedron.

正八面体はこうなります

This is the graph structure of an octahedron.

正八面体のグラフ構造です

And I can continue doing this.

こんなこともできます

You can draw three great circles around the octahedron,

正八面体のまわりに ３つの大円を描いて

and you rotate around,

回転させます

so actually three great circles is related to the octahedron.

３つの大円は 正八面体と関連しているんです

And if I take a bicycle pump and just pump it up,

自転車の空気入れで 膨らませると —

you can see that this is also a little bit like the octahedron.

これもある意味 正八面体のようなものです

Do you see what I'm doing here?

私が何をやっているか 分かりますか？

I am changing the perspective every time.

ものの見方を いろいろと変えているんです

So let's now take a step back --

一歩下がってみましょう

and that's actually a metaphor, stepping back --

これはメタファーですけど

and have a look at what we're doing.

ここまでどんなことを してきたのか

I'm playing around with metaphors.

メタファーをもてあそび

I'm playing around with perspectives and analogies.

見方やアナロジーをもてあそび

I'm telling one story in different ways.

１つの話をいろいろな やり方で語る —

I'm telling stories.

ストーリーを語り

I'm making a narrative; I'm making several narratives.

いくつもの物語を作り出す

And I think all of these things make understanding possible.

これらのすべてが 理解を可能にするのです

I think this actually is the essence of understanding something.

これは理解の本質なんです

I truly believe this.

本当にそう思います

So this thing about changing your perspective --

見方を変えるというのは

it's absolutely fundamental for humans.

人間にとって本質的なことなんです

Let's play around with the Earth.

地球で遊んでみましょう

Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean.

海にズームインします 海を見て —

これは何に対してでも できます

We can do this with anything.

We can take the ocean and view it up close.

海をよく見てみましょう

We can look at the waves.

波に目を向ける

We can go to the beach.

浜辺に行く

We can view the ocean from another perspective.

海を別な見方で 見ることができます

Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean.

そうする度に 海について もっと知ることが出来ます

If we go to the shore, we can kind of smell it, right?

海岸に行くと 潮の香りがします

We can hear the sound of the waves.

波の音が聞こえます

We can feel salt on our tongues.

塩の味がします

So all of these are different perspectives.

これはみんな 異なる見方なんです

And this is the best one.

そしてこれは一番のもの

We can go into the water.

水の中に入り

We can see the water from the inside.

水を中から見るということ

And you know what?

そしてこれは

This is absolutely essential in mathematics and computer science.

数学やコンピューターサイエンスにとって 実に本質的なことなんです

If you're able to view a structure from the inside,

構造を内側から 見ることができれば

then you really learn something about it.

そのものについて 本当に学ぶことができます

That's somehow the essence of something.

そのものの何か 本質的なことです

So when we do this, and we've taken this journey

この海への旅を

するにあたって

into the ocean,

we use our imagination.

私たちは想像力を使いました

And I think this is one level deeper,

これは１レベル深いものであり

and it's actually a requirement for changing your perspective.

見方を変えるために 必要なものです

We can do a little game.

ちょっとしたゲームがあります

You can imagine that you're sitting there.

ここに座っていながら

You can imagine that you're up here, and that you're sitting here.

自分があそこにいると 想像するんです

You can view yourselves from the outside.

自分を外から眺めるわけです

That's really a strange thing.

すごく妙なことです

You're changing your perspective.

見方を変え

You're using your imagination,

想像力を使い

and you're viewing yourself from the outside.

自分自身を 外から眺めるのです

これには想像力が必要です

That requires imagination.

Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever.

数学とコンピューターサイエンスというのは 想像力を最も駆使する芸術様式なんです

And this thing about changing perspectives

見方を変えるというのは

皆さんに馴染みのある ことのはずです

should sound a little bit familiar to you,

because we do it every day.

私たちが日々 やっていることであり

And then it's called empathy.

それは共感と呼ばれています

When I view the world from your perspective,

私が相手の見方で 世界を見るとき

I have empathy with you.

私はその人への 共感を持っています

If I really, truly understand

相手から見た世界を

what the world looks like from your perspective,

本当に理解したなら

I am empathetic.

私は共感していると言えます

That requires imagination.

それには想像力が必要です

And that is how we obtain understanding.

そうやって私たちは 理解を手にするのです

And this is all over mathematics and this is all over computer science,

数学やコンピューターサイエンスでは 至る所で使います

and there's a really deep connection between empathy and these sciences.

共感とこれらの科学との間には 深い関わりがあるんです

So my conclusion is the following:

そういうわけで私の結論は —

understanding something really deeply

理解というのは 見方を変える能力と

has to do with the ability to change your perspective.

とても深く結びついている ということです

So my advice to you is: try to change your perspective.

皆さんにアドバイスしたいのは 見方を変えてみるということです

You can study mathematics.

数学を学ぶのもいいです

It's a wonderful way to train your brain.

これは頭を鍛える 素晴らしい方法です

Changing your perspective makes your mind more flexible.

見方を変えることで 心が柔軟になります

It makes you open to new things,

新しいものに対して 心が開かれ

and it makes you able to understand things.

物事を理解しやすくなります

And to use yet another metaphor:

またメタファーを使うなら

水のような心を持つことです

have a mind like water.

That's nice.

それは良いことです

Thank you.

ありがとうございました

(Applause)

(拍手)