Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen

번역: Mijin Kim 검토: 태준 공

안녕하세요.

Hi.

I want to talk about understanding, and the nature of understanding,

저는 이해와 이해의 특성

그리고 이해의 본질에 관하여 이야기하고 싶습니다.

and what the essence of understanding is,

because understanding is something we aim for, everyone.

이해는 우리 모두가 추구하는 것이니까요.

We want to understand things.

우리는 사물을 이해하고 싶어합니다.

My claim is that understanding has to do

저의 의견은 무언가 이해하는 것은

with the ability to change your perspective.

관점을 바꾸는 능력과 관련이 있다는 겁니다.

If you don't have that, you don't have understanding.

그런 능력이 없다면 무언가 이해하기 힘들죠.

그게 제 의견입니다.

So that is my claim.

And I want to focus on mathematics.

저는 수학에 초점을 두고 싶습니다.

많은 사람들은 수학을 더하기, 빼기

Many of us think of mathematics as addition, subtraction,

multiplication, division,

곱하기, 나누기

fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff.

분수, 백분율, 기하학, 대수학 등으로 생각합니다.

하지만 저는 수학의 본질에 대해 얘기하려고 합니다.

But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well.

And my claim is that mathematics has to do with patterns.

제가 주장하는 바는 수학은 패턴과 관련이 있다는 것입니다.

제 뒤에 아름다운 패턴이 보이시죠.

Behind me, you see a beautiful pattern,

and this pattern actually emerges just from drawing circles

이 패턴은 사실 특정한 방식으로

in a very particular way.

원을 그리는 과정에서 나타납니다.

So my day-to-day definition of mathematics that I use every day

그래서 제가 일상적으로 사용하는 수학의 정의는

is the following:

다음과 같습니다.

첫째, 패턴을 찾는 것입니다.

First of all, it's about finding patterns.

"패턴"이라 함은 우리가 보는 것을 지배하고 있는 관계나 구조

And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity,

some rules that govern what we see.

어떠한 일정한 규칙을 의미합니다.

둘째로

Second of all,

I think it is about representing these patterns with a language.

수학은 이 패턴을 언어로 표현하는 것이라고 생각합니다.

We make up language if we don't have it,

우리는 마땅한 언어가 없으면 만들어내죠.

and in mathematics, this is essential.

수학에서는 이게 필수적입니다.

수학은 또한 가정을 하고

It's also about making assumptions

and playing around with these assumptions and just seeing what happens.

이 가정들을 가지고 놀면서 어떤 일이 일어나는지 보는 것입니다.

We're going to do that very soon.

우리도 곧 해볼 거예요.

And finally, it's about doing cool stuff.

마지막으로 수학은 멋진 일을 하는 것입니다.

Mathematics enables us to do so many things.

수학은 많은 일을 할 수 있게 해줍니다.

So let's have a look at these patterns.

이제 이 패턴들을 한 번 봅시다.

If you want to tie a tie knot,

넥타이를 맬 때도

패턴이 있습니다.

there are patterns.

Tie knots have names.

각 매듭에는 이름이 있죠.

And you can also do the mathematics of tie knots.

넥타이 매듭으로도 수학을 할 수 있습니다.

This is a left-out, right-in, center-out and tie.

이건 왼쪽으로 빼고 오른쪽으로 넣어서 중간으로 뺀 넥타이 매듭이고

이건 왼쪽으로 넣고 오른쪽으로 뺀 뒤 왼쪽으로 넣어 중간으로 빼는 매듭이죠.

This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie.

이것은 넥타이 매듭 패턴을 위해 우리가 만든 언어입니다.

This is a language we made up for the patterns of tie knots,

and a half-Windsor is all that.

하프 윈저 매듭은 이렇게 표현되겠죠.

This is a mathematics book about tying shoelaces

이건 신발끈 묶는 것에 관한 대학교 수준의

at the university level,

수학책입니다.

because there are patterns in shoelaces.

신발끈에도 패턴이 있기 때문입니다.

You can do it in so many different ways.

다양한 방법으로 묶을 수 있고

We can analyze it.

분석할 수 있고

그에 맞는 언어를 만들어낼 수도 있습니다.

We can make up languages for it.

And representations are all over mathematics.

그리고 기호가 수학 대부분을 차지하죠.

This is Leibniz's notation from 1675.

이건 1675년에 라이프니츠가 사용한 기호법입니다.

He invented a language for patterns in nature.

라이프니츠는 자연에 있는 패턴을 기술하는 언어를 발명했습니다.

When we throw something up in the air,

우리가 무언가를 공중에 던지면

it falls down.

아래로 떨어지죠.

Why?

왜 그럴까요?

We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.

잘은 모르겠지만 이걸 수학적 패턴으로 표현할 수 있습니다.

This is also a pattern.

이것 또한 패턴이고

This is also an invented language.

만들어진 언어입니다.

Can you guess for what?

무엇인지 아시겠나요?

It is actually a notation system for dancing, for tap dancing.

이건 탭댄스의 표기 체계입니다.

That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things,

이걸로 안무가는 멋있고 새로운 동작을 만들 수 있습니다.

because he has represented it.

그걸 기호로 나타낼 수 있으니까요.

I want you to think about how amazing representing something actually is.

무언가를 기호로 나타내는 게 얼마나 멋진 일인지 생각해보세요.

Here it says the word "mathematics."

여기 "수학"이라고 적혀 있습니다.

But actually, they're just dots, right?

그런데 사실은 그냥 점들이죠.

So how in the world can these dots represent the word?

그럼 대체 이 점들이 어떻게 단어를 나타낸다는 걸까요?

Well, they do.

실제로 그러합니다.

They represent the word "mathematics,"

"수학"이라는 단어를 의미합니다.

and these symbols also represent that word

그리고 이 기호들은 우리가 들을 수 있는

and this we can listen to.

단어를 나타냅니다.

It sounds like this.

이런 소리로 바뀌죠.

(Beeps)

(삐 소리)

Somehow these sounds represent the word and the concept.

이런 소리들로 단어와 개념을 표현합니다.

How does this happen?

어떻게 이렇게 될까요?

There's something amazing going on about representing stuff.

무언가를 기호로 표현하는 것에는 놀라운 점이 있습니다.

So I want to talk about that magic that happens

그래서 저는 우리가 실제로 어떤 것을 기호로 나타낼 때

when we actually represent something.

일어나는 마법에 대해 이야기하려고 합니다.

Here you see just lines with different widths.

여기에 너비가 다른 선들이 보입니다.

They stand for numbers for a particular book.

이것들은 특정한 서적에 부여된 번호를 의미하죠.

And I can actually recommend this book, it's a very nice book.

저는 실제로 이 책을 추천합니다. 아주 좋은 책이에요.

(Laughter)

(웃음)

Just trust me.

저를 믿어보세요.

OK, so let's just do an experiment,

그럼 실험을 하나 해 보죠.

just to play around with some straight lines.

직선 몇 개를 가지고 노는 겁니다.

이것은 직선입니다.

This is a straight line.

Let's make another one.

하나 더 만들어보죠.

So every time we move, we move one down and one across,

매번 그릴 때 마다 아래로 한 번, 그리고 옆으로도 한 번 움직여서

and we draw a new straight line, right?

새로운 선을 그리는 거에요, 알겠죠?

We do this over and over and over,

이 작업을 계속 반복해서

and we look for patterns.

패턴을 찾아보는 거죠.

So this pattern emerges,

그러면 이런 패턴이 생깁니다.

and it's a rather nice pattern.

꽤 그럴듯한 패턴이네요.

It looks like a curve, right?

곡선처럼 보이지 않나요?

간단한 직선을 그리기만 했는데도 말이죠.

Just from drawing simple, straight lines.

Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it.

이번엔 관점을 바꿔보는 거예요. 회전시켜 보는 겁니다.

Have a look at the curve.

이 곡선을 보세요.

What does it look like?

무엇처럼 보이나요?

Is it a part of a circle?

원의 일부분일까요?

It's actually not a part of a circle.

사실 원의 일부는 아니에요.

So I have to continue my investigation and look for the true pattern.

그렇다면 탐색을 계속해서 패턴의 실체을 찾아봐야겠죠.

Perhaps if I copy it and make some art?

이것을 여러 개 복사하면 예술 작품을 만들 수도 있을까요?

Well, no.

아마 아닐 거예요.

Perhaps I should extend the lines like this,

선들을 이렇게 연장해서

패턴을 찾아볼 수도 있겠죠.

and look for the pattern there.

Let's make more lines.

선을 더 그려 볼게요.

이렇게요.

We do this.

And then let's zoom out and change our perspective again.

그리고 사진을 축소해서 관점을 다시 바꿔볼까요.

Then we can actually see that what started out as just straight lines

직선 몇 개로 시작된 것이

is actually a curve called a parabola.

"포물선"이라는 곡선으로 나타나죠.

This is represented by a simple equation,

이것은 간단한 수식으로 표현되는

아주 아름다운 패턴입니다.

and it's a beautiful pattern.

So this is the stuff that we do.

이게 바로 우리가 하는 일이에요.

We find patterns, and we represent them.

우리는 패턴을 찾고, 그것을 표현하죠.

And I think this is a nice day-to-day definition.

이게 아주 멋있는 일상적인 표현이라고 생각합니다.

But today I want to go a little bit deeper,

하지만 오늘은 더 깊이 들어가서

and think about what the nature of this is.

이것의 본질에 대해 생각해보고 싶어요.

What makes it possible?

어떻게 이것이 가능할까요?

There's one thing that's a little bit deeper,

좀 더 깊이있는 한 가지가 있는데요.

and that has to do with the ability to change your perspective.

그것은 여러분의 관점을 바꾸는 능력과 관련이 있습니다.

여러분이 관점을 바꾸고

And I claim that when you change your perspective,

and if you take another point of view,

다른 관점에서 바라본다면

you learn something new about what you are watching

여러분이 주목하고 살펴보고 듣는 것들을

or looking at or hearing.

새롭게 이해하게 됩니다.

And I think this is a really important thing that we do all the time.

저는 이것이 우리 일상에서 정말 중요한 부분이라고 생각해요.

So let's just look at this simple equation,

그럼 이 간단한 수식을 한번 보시죠.

x + x = 2 • x.

x + x = 2 • x

This is a very nice pattern, and it's true,

정말 멋진 패턴이죠. 사실입니다.

because 5 + 5 = 2 • 5, etc.

5 + 5 = 2 • 5 나 그 외에도 성립하니까요.

We've seen this over and over, and we represent it like this.

우리는 이것을 자주 보아 왔고 이렇게 표현해왔습니다.

But think about it: this is an equation.

그런데 생각해보세요. 이것은 등식입니다.

어떤 것이 다른 것과 같다는 의미죠.

It says that something is equal to something else,

and that's two different perspectives.

여기에는 두 가지 관점이 있습니다.

One perspective is, it's a sum.

한 가지 관점은 합계라는 것이에요.

It's something you plus together.

무언가를 서로 더한다는 말입니다.

On the other hand, it's a multiplication,

다른 한편으로 이것은 곱셈이죠.

이렇게 두 가지 다른 관점이 있어요.

and those are two different perspectives.

모든 등식이 이런 식이라고 말씀드리고 싶습니다.

And I would go as far as to say that every equation is like this,

every mathematical equation where you use that equality sign

여러분이 등호를 이용하는 모든 수학적인 등식은

사실 비유입니다.

is actually a metaphor.

It's an analogy between two things.

두 가지 사물 사이의 비유이죠.

You're just viewing something and taking two different points of view,

여러분은 단지 어떤 것을 보고 두 가지 서로 다른 관점을 취하며

and you're expressing that in a language.

이것을 언어로 표현하는 것입니다.

Have a look at this equation.

이 등식을 한 번 보세요.

This is one of the most beautiful equations.

이것은 가장 아름다운 등식 중 하나입니다.

It simply says that, well,

아주 단순한 의미죠.

two things, they're both -1.

두 가지 모두 -1이라는 거예요.

This thing on the left-hand side is -1, and the other one is.

좌변이 -1이고 반대쪽도 마찬가지죠.

And that, I think, is one of the essential parts

이렇듯 수학에서 가장 중요한 부분 중 하나는

다른 관점을 갖는 것이라고 생각합니다.

of mathematics -- you take different points of view.

So let's just play around.

그럼 이제 놀아봅시다.

Let's take a number.

숫자를 하나 고를게요.

We know four-thirds. We know what four-thirds is.

우리는 4/3을 알고 있습니다. 4/3이 얼마인지 알죠.

1.333입니다. 하지만 끝에 3개의 점을 두어야 하죠.

It's 1.333, but we have to have those three dots,

otherwise it's not exactly four-thirds.

그렇지 않으면 정확한 4/3이 아닙니다.

But this is only in base 10.

하지만 이것은 10진법일 때입니다.

You know, the number system, we use 10 digits.

아시다시피, 우리는 10진법을 사용합니다.

이것을 바꾸어 두 개의 숫자만 사용한다면

If we change that around and only use two digits,

that's called the binary system.

이것은 이진법이라 불립니다.

It's written like this.

이렇게 쓰이죠.

So we're now talking about the number.

다시 숫자로 돌아가보죠.

The number is four-thirds.

숫자는 4/3입니다.

We can write it like this,

이렇게도 쓸 수 있습니다.

and we can change the base, change the number of digits,

진법을 바꿀 수도 있고, 숫자의 개수를 바꿀 수 있습니다.

and we can write it differently.

이것을 다르게 쓸 수도 있습니다.

이것들은 모두 같은 숫자를 다르게 표현한 것입니다.

So these are all representations of the same number.

We can even write it simply, like 1.3 or 1.6.

1.3이나 1.6처럼 더 간단하게 쓸 수도 있어요.

It all depends on how many digits you have.

모두 자릿수에 달려 있습니다.

Or perhaps we just simplify and write it like this.

아니면 이것을 단순화시켜 이렇게 쓸 수도 있죠.

I like this one, because this says four divided by three.

저는 이게 좋아요. 4 나누기 3이라고 말하고 있기 때문이죠.

그리고 이 숫자는 두 숫자 사이의 관계를 표현하고 있어요.

And this number expresses a relation between two numbers.

You have four on the one hand and three on the other.

한 쪽은 4를 가지고 있고 다른 쪽은 3을 가지고 있죠.

And you can visualize this in many ways.

다양한 방법으로 시각화 할 수도 있습니다.

What I'm doing now is viewing that number from different perspectives.

지금 하는 것은 숫자를 다른 관점에서 바라보는 거예요.

I'm playing around.

그러면서 노는 거죠.

I'm playing around with how we view something,

사물을 어떻게 볼 것인가 대한 놀이이고

일부러 이렇게 하고 있는 겁니다.

and I'm doing it very deliberately.

We can take a grid.

격자판을 봅시다.

가로로 4칸, 세로로 3칸을 가게 되면 이 선은 항상 5가 되죠.

If it's four across and three up, this line equals five, always.

It has to be like this. This is a beautiful pattern.

반드시 이렇게 됩니다. 이것도 아름다운 패턴이죠.

Four and three and five.

4와 3과 5.

그리고 4곱하기 3인 이 직사각형.

And this rectangle, which is 4 x 3,

you've seen a lot of times.

자주 보셨을 겁니다.

This is your average computer screen.

일반적인 컴퓨터 화면 크기죠.

800 x 600 or 1,600 x 1,200

800 x 600 혹은 1,600 x 1,200

is a television or a computer screen.

이것은 텔레비전이나 컴퓨터 화면의 크기입니다.

So these are all nice representations,

이들도 꽤 멋진 표기법입니다.

but I want to go a little bit further and just play more with this number.

하지만 저는 조금 더 들어가서 이 숫자를 좀 더 가지고 놀려고해요.

Here you see two circles. I'm going to rotate them like this.

여기 두 개의 원이 있습니다. 이것들을 회전시킬 거예요.

왼쪽 상단에 있는 것을 한번 보세요.

Observe the upper-left one.

It goes a little bit faster, right?

좀 더 빠르게 돌죠, 그렇죠?

보이시죠.

You can see this.

It actually goes exactly four-thirds as fast.

이것은 정확히 4/3의 속도로 돌고 있습니다.

That means that when it goes around four times,

이것은 하나가 4번 돌 때

다른 것은 3번 돈다는 것을 의미합니다.

the other one goes around three times.

이제 두 개의 선을 그려봅시다. 그리고 선들이 만나는 곳에 점을 그립니다.

Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet.

We get this dot dancing around.

점이 이리저리 춤을 추죠.

(Laughter)

(웃음)

And this dot comes from that number.

그리고 이 점은 바로 저 숫자로부터 나옵니다.

Right? Now we should trace it.

그렇죠? 이제 이걸 따라가보죠.

Let's trace it and see what happens.

이 점을 따라가면 어떤 일이 일어나는지 보세요.

This is what mathematics is all about.

이것이 바로 수학입니다.

It's about seeing what happens.

수학은 현상을 보는 것입니다.

그리고 이것은 4/3이라는 숫자로부터 나옵니다.

And this emerges from four-thirds.

이게 4/3의 모습이라고 말씀드리고 싶네요.

I like to say that this is the image of four-thirds.

It's much nicer -- (Cheers)

훨씬 멋지죠. (환호)

Thank you!

감사합니다!

(Applause)

(박수)

This is not new.

새로운 것은 아닙니다.

This has been known for a long time, but --

이미 알려져 있던 거죠. 하지만..

(Laughter)

(웃음)

But this is four-thirds.

이것이 4/3입니다.

다른 실험을 해보죠.

Let's do another experiment.

Let's now take a sound, this sound: (Beep)

이 소리를 들어보세요. 이 소리요. (삐- 소리)

This is a perfect A, 440Hz.

이것은 정확한 '라'음입니다. 440 Hz의 주파수 음이죠.

Let's multiply it by two.

여기에 2를 곱해볼까요.

We get this sound. (Beep)

그러면 이 소리를 얻게 되죠. (삑- 소리)

When we play them together, it sounds like this.

이 둘을 함께 연주하면 이런 소리가 납니다.

This is an octave, right?

한 옥타브 차이죠. 그렇죠?

We can do this game. We can play a sound, play the same A.

게임도 됩니다. 연주할 수 있어요. 같은 '라'음을 연주하는 거죠.

We can multiply it by three-halves.

2분의 3을 곱할 수도 있습니다.

(Beep)

(삑- 소리)

This is what we call a perfect fifth.

이게 우리가 완전 5도음이라 부르는 음정입니다.

(Beep)

(삑- 소리)

They sound really nice together.

정말 멋진 소리죠.

Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)

이 소리에 4/3를 곱해봅시다.(삑)

What happens?

어떤 일이 일어나죠?

You get this sound. (Beep)

이런 소리를 듣게 되죠. (삑)

This is the perfect fourth.

이것은 완전 4도음입니다.

If the first one is an A, this is a D.

첫번째가 '라'음이었다면 이것은 '레'음입니다.

They sound like this together. (Beeps)

동시에 들으면 이런 소리가 되죠. (삑- 소리)

This is the sound of four-thirds.

이것이 4/3의 소리입니다.

What I'm doing now, I'm changing my perspective.

지금 하고 있는 것은 관점을 바꾸는 것입니다.

I'm just viewing a number from another perspective.

단지 숫자를 다른 관점에서 바라보는 중입니다.

I can even do this with rhythms, right?

심지어 리듬을 연주할 수도 있습니다.

I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)

리듬을 더하고 한 번에 세 개의 비트로 연주해보죠. (드럼소리)

in a period of time,

일정한 간격으로요.

여기에 또 다른 소리를 같은 간격으로 4번 더 연주할 수도 있습니다.

and I can play another sound four times in that same space.

(Clanking sounds)

(탁탁 소리)

Sounds kind of boring, but listen to them together.

소리가 좀 지루하네요. 그래도 함께 들어보죠.

(Drumbeats and clanking sounds)

(드럼 소리와 탁탁 소리)

(Laughter)

(웃음)

헤이!

Hey! So.

(Laughter)

(웃음)

I can even make a little hi-hat.

하이햇 소리도 만들어 낼 수 있습니다.

(Drumbeats and cymbals)

(드럼 소리와 하이햇 소리)

Can you hear this?

들리시나요?

So, this is the sound of four-thirds.

그러면 이것도 4/3의 소리입니다.

Again, this is as a rhythm.

여기에 리듬이 또 생깁니다.

(Drumbeats and cowbell)

(드럼 소리와 카우벨 소리)

And I can keep doing this and play games with this number.

이렇게 계속 이 숫자를 가지고 놀 수 있습니다.

Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!

4/3은 정말 굉장한 숫자에요. 저는 4/3을 사랑합니다!

(웃음)

(Laughter)

Truly -- it's an undervalued number.

정말입니다. 과소 평가된 숫자에요.

So if you take a sphere and look at the volume of the sphere,

여러분이 구를 하나 가지고 그 구의 부피를 보게 되신다면

it's actually four-thirds of some particular cylinder.

이것은 실제로 어떤 특정한 원기둥에 있는 4/3입니다.

So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.

따라서 4/3은 구입니다. 이건 구의 부피에요.

OK, so why am I doing all this?

그렇다면 제가 왜 이런 걸 할까요?

Well, I want to talk about what it means to understand something

저는 뭔가를 이해한다는 것의 의미와

그렇게 이해하는 것이 우리에게 어떤 의미인지를 말하고 싶습니다.

and what we mean by understanding something.

That's my aim here.

이것이 오늘 강연의 목적입니다.

여러분이 다른 관점을 형성하는 능력을 가진다면

And my claim is that you understand something

if you have the ability to view it from different perspectives.

사물을 이해할 수 있게 된다는 것이 저의 주장입니다.

Let's look at this letter. It's a beautiful R, right?

이 글자를 보세요. 아름다운 R이죠. 그렇죠?

How do you know that?

그런데 그걸 어떻게 알죠?

Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's,

사실 여러분은 수많은 R을 봐오셨죠.

and you've generalized

그리고 이들 모두를 일반화하고

and abstracted all of these and found a pattern.

관념화하여 패턴을 발견한 것이죠.

So you know that this is an R.

그래서 이걸 R이라고 알고 계신겁니다.

So what I'm aiming for here is saying something

여기서 제가 추구하고자 하는 것은

about how understanding and changing your perspective

이해하는 방법과 관점을 바꾸는 방법은

are linked.

서로 연결되어 있다는 겁니다.

And I'm a teacher and a lecturer,

저는 교수이자 강연자입니다.

and I can actually use this to teach something,

실제로 뭔가를 가르치기 위해 이것을 사용합니다.

because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy,

제가 누군가에게 또다른 이야기, 비유, 은유들을 사용할 때

if I tell a story from a different point of view,

다른 관점에서 설명하면

이해하기 쉽기 때문이죠.

I enable understanding.

I make understanding possible,

이해를 가능하게 합니다.

because you have to generalize over everything you see and hear,

왜냐하면 여러분은 보고 듣는 모든 것을 일반화해야 하는데

and if I give you another perspective, that will become easier for you.

여러분께 다른 관점을 제공한다면 이해하기 좀 더 쉬워지기 때문입니다.

Let's do a simple example again.

다시 간단한 예를 들어볼게요.

이것은 4와 3입니다. 4개의 삼각형이죠.

This is four and three. This is four triangles.

So this is also four-thirds, in a way.

그러므로 이것도 역시 어떤 면에서는 4/3입니다.

Let's just join them together.

이것들을 합쳐봅시다.

이제 우리는 게임을 할 거예요. 이것을 접을 겁니다.

Now we're going to play a game; we're going to fold it up

into a three-dimensional structure.

3차원 구조로 말이죠.

I love this.

전 이게 정말 좋아요.

This is a square pyramid.

이것은 사각 피라미드입니다.

And let's just take two of them and put them together.

이것 두 개를 합쳐볼게요.

So this is what is called an octahedron.

이것을 팔면체라고 합니다.

It's one of the five platonic solids.

플라톤의 다섯가지 입체 중 하나죠.

이제 말 그대로 우리의 관점을 바꿔 볼 수 있습니다.

Now we can quite literally change our perspective,

because we can rotate it around all of the axes

모든 축을 중심으로 회전 할 수 있고

and view it from different perspectives.

다른 관점에서 바라 볼 수 있습니다.

And I can change the axis,

저는 축을 바꿀 수도 있습니다.

and then I can view it from another point of view,

그리고 또 다른 관점에서 볼 수도 있어요.

but it's the same thing, but it looks a little different.

같은 물체이지만 약간 다르게 보이죠.

I can do it even one more time.

한번 더 할 수도 있습니다.

Every time I do this, something else appears,

매번 회전 할 때마다 다른 모습들이 생겨납니다.

so I'm actually learning more about the object

그러면 물체에 대해 좀 더 배울 수 있습니다.

when I change my perspective.

저의 관점을 바꿀 때 말이에요.

I can use this as a tool for creating understanding.

이해를 증진시키기 위해서도 이 도구를 사용 할 수 있습니다.

I can take two of these and put them together like this

이것 두 개를 이렇게 합쳐볼게요.

어떻게 되는지 봅시다.

and see what happens.

And it looks a little bit like the octahedron.

그러면 어느 정도 팔면체처럼 보이죠.

Have a look at it if I spin it around like this.

제가 이렇게 돌리면 어떻게 되는지 한 번 보시죠.

What happens?

어떻게 되나요?

두 개를 합치고 돌리면

Well, if you take two of these, join them together and spin it around,

there's your octahedron again,

다시 팔면체가 됩니다.

a beautiful structure.

아름다운 구조지요.

If you lay it out flat on the floor,

이것을 바닥에 펼쳐 놓으면

this is the octahedron.

또 팔면체가 됩니다.

This is the graph structure of an octahedron.

이것은 팔면체의 그래프 구조입니다.

And I can continue doing this.

이걸 계속 해보죠.

You can draw three great circles around the octahedron,

팔면체 주위에 큰 원 세개를 그립니다.

and you rotate around,

그리고 회전시키는 거죠.

그러면 실제로 이 큰 세개의 원도 팔면체와 관련이 있게 됩니다.

so actually three great circles is related to the octahedron.

And if I take a bicycle pump and just pump it up,

자전거 공기주입기로 공기를 넣으면

you can see that this is also a little bit like the octahedron.

이것도 팔면체와 비슷하게 보이죠.

Do you see what I'm doing here?

제가 무엇을 하는지 아시겠어요?

저는 계속 관점을 바꾸는 중입니다.

I am changing the perspective every time.

So let's now take a step back --

그러면 이제 한 걸음 뒤로 물러나

and that's actually a metaphor, stepping back --

이것 역시 비유죠. 물러난다는 것.

and have a look at what we're doing.

그리고 우리가 무엇을 하는지 한번 보세요.

I'm playing around with metaphors.

비유를 하며 놀고 있습니다.

I'm playing around with perspectives and analogies.

저는 관점과 비유를 가지고 놀고 있습니다.

하나의 이야기를 여러 방식으로 푸는 거죠.

I'm telling one story in different ways.

I'm telling stories.

이야기를 하는 거예요.

I'm making a narrative; I'm making several narratives.

저는 설명을 하고 있습니다. 여러가지 다른 설명을 하는 거죠.

And I think all of these things make understanding possible.

그리고 저는 이 모든 것들이 이해를 가능하게 만들어 준다고 생각합니다.

I think this actually is the essence of understanding something.

저는 이것이 사물을 이해하는 본질이라고 생각합니다.

I truly believe this.

정말 그렇게 믿어요.

So this thing about changing your perspective --

이것은 관점을 바꾸는 것과 관련이 있습니다.

it's absolutely fundamental for humans.

절대적으로 인간의 기본이죠.

Let's play around with the Earth.

지구를 가지고 한 번 놀아볼까요.

Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean.

바다를 좀 더 확대해보죠. 바다를 한 번 보세요.

뭐든지 이렇게 할 수 있습니다.

We can do this with anything.

We can take the ocean and view it up close.

바다를 가까이에서 보는 겁니다.

We can look at the waves.

파도를 볼 수 있죠.

We can go to the beach.

해변에도 갈 수 있구요.

We can view the ocean from another perspective.

우리는 다른 관점에서 바다를 볼 수 있습니다.

Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean.

이렇게 할 때마다 바다에 대해 좀 더 많이 알 수 있습니다.

해변에 가면 냄새를 맡을 수 있어요.

If we go to the shore, we can kind of smell it, right?

We can hear the sound of the waves.

파도 소리도 들을 수 있죠.

We can feel salt on our tongues.

혀로 소금을 맛볼 수도 있습니다.

So all of these are different perspectives.

이 모든 것들이 전부 다른 관점들입니다.

And this is the best one.

그리고 가장 멋진 것은

We can go into the water.

물 속으로 들어갈 수 있습니다.

We can see the water from the inside.

안쪽에서 물을 볼 수도 있죠.

And you know what?

알아채셨나요?

This is absolutely essential in mathematics and computer science.

이것은 수학과 컴퓨터 공학에서 절대적으로 중요한 것입니다.

If you're able to view a structure from the inside,

여러분이 안쪽에서 구조를 볼 수 있다면

then you really learn something about it.

그것에 대해서 무언가를 배울 수 있습니다.

That's somehow the essence of something.

이것이 어느 정도는 사물의 본질이죠.

So when we do this, and we've taken this journey

따라서 우리가 이렇게 한다면

바다로 여행을 떠날 때

into the ocean,

we use our imagination.

우리는 상상력을 발휘합니다.

And I think this is one level deeper,

저는 이것이 더 높은 단계라고 생각해요.

and it's actually a requirement for changing your perspective.

그리고 실제로 여러분이 관점을 바꾸는 데 있어 꼭 필요하기도 하죠.

We can do a little game.

간단한 게임을 해봅시다.

거기에 앉아 있다고 상상해보세요.

You can imagine that you're sitting there.

저 위쪽에 앉아 있다고 상상하는 거예요. 여기에 앉아 있지만요.

You can imagine that you're up here, and that you're sitting here.

You can view yourselves from the outside.

그럼 밖에서 자신을 바라 볼 수 있습니다.

That's really a strange thing.

정말 이상한 일이죠.

You're changing your perspective.

여러분은 관점을 바꾸고 있는 거예요.

You're using your imagination,

여러분의 상상력을 이용하는 거죠.

and you're viewing yourself from the outside.

그리고 바깥에서 여러분 자신을 바라보는 겁니다.

상상력이 꼭 필요한 일입니다.

That requires imagination.

수학과 컴퓨터 공학은 어떤 것보다 상상력을 요하는 예술의 한 형태입니다.

Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever.

And this thing about changing perspectives

그리고 관점을 바꾸는 것과 관련이 있습니다.

여러분께 어느 정도 친숙하게 들릴 수도 있습니다.

should sound a little bit familiar to you,

because we do it every day.

왜냐하면 우리는 매일 이렇게 하기 때문이죠.

And then it's called empathy.

이것은 공감이라 불립니다.

When I view the world from your perspective,

제가 여러분의 관점에서 세상을 바라보면

I have empathy with you.

저는 여러분과 공감하는 겁니다.

If I really, truly understand

제가 정말로

what the world looks like from your perspective,

여러분의 관점에서 본 세상이 어떤지를 이해하고 있다면

I am empathetic.

저는 공감 능력이 있는 거죠.

이것은 상상력을 필요로 합니다.

That requires imagination.

And that is how we obtain understanding.

그리고 이것이 우리가 이해하게 되는 과정입니다.

And this is all over mathematics and this is all over computer science,

이것은 수학과 컴퓨터 공학의 전반에서 이루어집니다.

and there's a really deep connection between empathy and these sciences.

공감과 이런 과학분야 사이에는 정말 깊은 연관이 있습니다.

So my conclusion is the following:

그럼 이제 결론을 말씀드리죠.

understanding something really deeply

뭔가를 정말로 깊게 이해한다는 것은

관점을 바꾸는 능력과 관련되어 있다는 것입니다.

has to do with the ability to change your perspective.

So my advice to you is: try to change your perspective.

여러분께 조언을 드리자면 관점을 바꾸도록 노력해보세요.

You can study mathematics.

수학을 공부해보세요.

뇌를 단련시키는 정말 좋은 방법입니다.

It's a wonderful way to train your brain.

Changing your perspective makes your mind more flexible.

관점을 바꾼다는 것은 여러분의 마음을 좀 더 융통성있게 만들어줍니다.

It makes you open to new things,

새로운 세상을 열어주고

and it makes you able to understand things.

사물을 이해할 수 있게 해주죠.

And to use yet another metaphor:

또 다른 비유를 사용하자면

have a mind like water.

물 같은 마음을 가져보세요.

That's nice.

정말 멋질 거예요.

Thank you.

감사합니다.

(박수)

(Applause)