Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Diego Martinez Pazz

Hi.

Olá.

I want to talk about understanding, and the nature of understanding,

Eu quero falar da compreensão e da natureza da compreensão

and what the essence of understanding is,

e do que é a essência da compreensão,

because understanding is something we aim for, everyone.

porque a compreensão é uma coisa que todos buscamos.

We want to understand things.

Queremos compreender as coisas.

My claim is that understanding has to do

Eu defino a compreensão

como a capacidade de mudar de perspetiva.

with the ability to change your perspective.

If you don't have that, you don't have understanding.

Se não temos essa capacidade, não temos compreensão.

So that is my claim.

É assim que a defino.

And I want to focus on mathematics.

Vou concentrar-me na matemática.

Many of us think of mathematics as addition, subtraction,

Muita gente pensa na matemática como a adição, a subtração,

multiplication, division,

a multiplicação, a divisão,

fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff.

frações, percentagens, geometria, álgebra — essas coisas todas.

But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well.

Mas eu também vou falar sobre a essência da matemática.

And my claim is that mathematics has to do with patterns.

Para mim, a matemática tem a ver com padrões.

Behind me, you see a beautiful pattern,

Por detrás de mim, veem um padrão belíssimo.

and this pattern actually emerges just from drawing circles

Este padrão aparece quando desenhamos círculos

in a very particular way.

de uma forma determinada.

So my day-to-day definition of mathematics that I use every day

A minha definição da matemática que uso todos os dias

is the following:

é a seguinte:

First of all, it's about finding patterns.

Primeiro, trata-se de encontrar padrões.

And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity,

Por "padrão", quero dizer uma interligação, uma estrutura, certa regularidade,

some rules that govern what we see.

algumas regras que governam o que vemos.

Second of all,

Em segundo lugar,

I think it is about representing these patterns with a language.

penso que trata da representação destes padrões com uma linguagem.

We make up language if we don't have it,

Criamos uma linguagem, se não a temos,

and in mathematics, this is essential.

e, em matemática, isso é essencial.

It's also about making assumptions

Trata-se também de formular hipóteses

and playing around with these assumptions and just seeing what happens.

e de trabalhar com essas hipóteses para ver o que acontece.

We're going to do that very soon.

Vamos fazer isso dentro de instantes.

And finally, it's about doing cool stuff.

Por fim, trata-se de fazer coisas giras.

Mathematics enables us to do so many things.

A matemática permite-nos fazer muitas coisas.

So let's have a look at these patterns.

Vamos olhar para estes padrões.

If you want to tie a tie knot,

Se quisermos fazer um nó de gravata,

there are patterns.

há padrões.

Tie knots have names.

Os nós têm nomes.

And you can also do the mathematics of tie knots.

Também podemos fazer a matemática dos nós de gravata.

This is a left-out, right-in, center-out and tie.

Esquerda-por-fora, direita-por-dentro, centro-por-fora, nó.

Esquerda-por-dentro, direita-por-fora,

This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie.

esquerda-por-dentro, centro-por-fora, nó

This is a language we made up for the patterns of tie knots,

Esta é a linguagem que criamos para o padrão dos nós de gravata

and a half-Windsor is all that.

e um meio-Windsor é isto tudo,

This is a mathematics book about tying shoelaces

Este é um livro de matemática sobre atar atacadores

at the university level,

a nível da universidade,

because there are patterns in shoelaces.

porque há padrões nos atacadores.

You can do it in so many different ways.

Podemos atá-los de muitas formas diferentes.

We can analyze it.

Podemos analisá-lo.

We can make up languages for it.

Podemos criar linguagens para isso.

And representations are all over mathematics.

E as representações são sobre matemática.

This is Leibniz's notation from 1675.

Esta é a notação de Leibnitz de 1675.

He invented a language for patterns in nature.

Inventou uma linguagem para os padrões na Natureza.

When we throw something up in the air,

Quando atiramos uma coisa ao ar, ela cai.

it falls down.

Why?

Porquê?

We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.

Não sabemos bem, mas podemos representá-la com a matemática, num padrão.

This is also a pattern.

Isto também é um padrão.

This is also an invented language.

Isto também é uma linguagem inventada.

Can you guess for what?

Imaginam para o que é isto?

It is actually a notation system for dancing, for tap dancing.

É um sistema de notação para a dança, para o sapateado.

That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things,

Permite a um coreógrafo fazer coisas giras, coisas novas,

because he has represented it.

porque fez uma representação.

I want you to think about how amazing representing something actually is.

Pensem em como é espantoso representar uma coisa como ela é.

Here it says the word "mathematics."

Aqui está referida a palavra "matemática".

But actually, they're just dots, right?

Mas, na verdade, são apenas pontos, não é?

So how in the world can these dots represent the word?

Como é que estes pontos podem representar a palavra?

Well, they do.

Pois bem, representam mesmo.

They represent the word "mathematics,"

Representam a palavra "matemática"

and these symbols also represent that word

e estes símbolos também representam essa palavra

and this we can listen to.

e esta podemos ouvir.

It sounds like this.

(Beeps)

Tem este som.

(Bips)

Somehow these sounds represent the word and the concept.

Estes sons representam a palavra e o conceito.

How does this happen?

Como é que isto é possível?

There's something amazing going on about representing stuff.

Há uma coisa espantosa no que se refere à representação de coisas.

So I want to talk about that magic that happens

Vou falar sobre essa magia que acontece.

when we actually represent something.

quando representamos uma coisa.

Here you see just lines with different widths.

Vemos aqui linhas com diferentes espessuras.

They stand for numbers for a particular book.

Correspondem a números para um determinado livro.

And I can actually recommend this book, it's a very nice book.

Posso recomendar este livro, é um livro muito bom.

(Laughter)

(Risos)

Just trust me.

Acreditem.

OK, so let's just do an experiment,

Ok, vamos fazer uma experiência,

just to play around with some straight lines.

só para brincar com linhas retas.

Isto é uma linha reta.

This is a straight line.

Let's make another one.

Vamos fazer mais uma.

So every time we move, we move one down and one across,

Movimentamo-nos, descendo uma unidade e cruzando uma unidade

and we draw a new straight line, right?

e traçamos mais uma linha reta.

We do this over and over and over,

Repetimos isto muitas vezes,

and we look for patterns.

e procuramos padrões.

So this pattern emerges,

Aqui, aparece este padrão,

and it's a rather nice pattern.

e é um padrão muito bonito.

It looks like a curve, right?

Parece uma curva, não é?

Just from drawing simple, straight lines.

Só desenhando linhas simples, linhas retas.

Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it.

Agora, posso alterar um pouco a minha perspetiva, posso rodar isto.

Have a look at the curve.

Olhem para a curva. O que é que parece?

What does it look like?

Is it a part of a circle?

Será uma parte de um círculo?

It's actually not a part of a circle.

Não é uma parte de um círculo.

So I have to continue my investigation and look for the true pattern.

Tenho que continuar a investigação e procurar o verdadeiro padrão.

Perhaps if I copy it and make some art?

Talvez se o copiar e fazer uma coisa artística?

Well, no.

Bem, não.

Perhaps I should extend the lines like this,

Talvez deva esticar as linhas, assim,

and look for the pattern there.

e procurar aí o padrão.

Let's make more lines.

Vamos fazer mais linhas. Fazemos assim.

We do this.

And then let's zoom out and change our perspective again.

Depois, afastamo-nos e mudamos de novo a perspetiva.

Then we can actually see that what started out as just straight lines

Agora vemos que o que começou apenas com linhas retas

is actually a curve called a parabola.

é uma curva, chamada uma parábola.

This is represented by a simple equation,

Isto representa-se por uma equação simples,

and it's a beautiful pattern.

e é um padrão muito bonito.

So this is the stuff that we do.

São coisas destas que fazemos.

We find patterns, and we represent them.

Encontramos padrões, e representamo-los.

And I think this is a nice day-to-day definition.

Penso que é uma bela definição.

But today I want to go a little bit deeper,

Mas hoje quero ir um pouco mais fundo,

and think about what the nature of this is.

e pensar qual é a natureza disto.

What makes it possible?

O que é que torna isto possível?

There's one thing that's a little bit deeper,

Há uma coisa que é um pouco mais profunda,

and that has to do with the ability to change your perspective.

e tem a ver com a capacidade de mudar de perspetiva.

And I claim that when you change your perspective,

Penso que, quando mudamos de perspetiva,

and if you take another point of view,

se assumirmos outro ponto de vista,

you learn something new about what you are watching

aprendemos qualquer coisa nova em relação ao que estamos a ver

or looking at or hearing.

a procurar ou a ouvir.

And I think this is a really important thing that we do all the time.

Penso que isso é uma coisa muito importante

que estamos sempre a fazer.

So let's just look at this simple equation,

Olhemos para esta simples equação,

x + x = 2 • x.

x + x = 2 * x.

This is a very nice pattern, and it's true,

É um padrão muito giro e é verdade,

because 5 + 5 = 2 • 5, etc.

porque 5 + 5 = 2 * 5 , etc.

We've seen this over and over, and we represent it like this.

Já vimos isso vezes sem conta e representamo-lo desta forma.

But think about it: this is an equation.

Mas pensem: isto é uma equação.

It says that something is equal to something else,

Diz que uma coisa é igual a outra coisa,

and that's two different perspectives.

e são duas perspetivas diferentes.

One perspective is, it's a sum.

Uma das perspetivas é uma soma.

It's something you plus together.

É uma coisa que juntamos.

On the other hand, it's a multiplication,

Por outro lado, é uma multiplicação.

and those are two different perspectives.

São duas perspetivas diferentes.

And I would go as far as to say that every equation is like this,

Vou ao ponto de dizer que todas as equações são assim,

every mathematical equation where you use that equality sign

todas as equações matemáticas em que usamos aquele sinal igual

is actually a metaphor.

são uma metáfora.

It's an analogy between two things.

É uma analogia entre duas coisas.

You're just viewing something and taking two different points of view,

Estamos a ver uma coisa e a assumir dois pontos de vista diferentes

and you're expressing that in a language.

e estamos a exprimir isso numa linguagem.

Have a look at this equation.

Reparem nesta equação.

This is one of the most beautiful equations.

É uma das equações mais belas.

It simply says that, well,

Diz simplesmente

two things, they're both -1.

que há duas coisas que são -1.

This thing on the left-hand side is -1, and the other one is.

Esta coisa do lado esquerdo é -1, e o outro lado também é.

And that, I think, is one of the essential parts

Penso que esta é uma das partes essenciais da matemática

of mathematics -- you take different points of view.

— assumir pontos de vista diferentes.

So let's just play around.

Vamos brincar mais um bocadinho. Tomemos um número.

Let's take a number.

We know four-thirds. We know what four-thirds is.

Conhecemos quatro-terços. Sabemos o que são quatro-terços.

It's 1.333, but we have to have those three dots,

É 1,333... mas temos que ter estes três pontos,

otherwise it's not exactly four-thirds.

porque não são exatamente quatro-terços.

But this is only in base 10.

Mas isto é apenas na base 10.

You know, the number system, we use 10 digits.

No nosso sistema numérico, usamos 10 dígitos.

If we change that around and only use two digits,

Se mudarmos isso e usarmos apenas dois dígitos

that's called the binary system.

— chama-se o sistema binário —

It's written like this.

escreve-se assim.

So we're now talking about the number.

Agora estamos a falar do mesmo número.

The number is four-thirds.

O número é quatro-terços.

We can write it like this,

Podemos escrevê-lo assim

and we can change the base, change the number of digits,

e podemos mudar a base, mudar o número de dígitos.

and we can write it differently.

e podemos escrevê-lo de modo diferente.

So these are all representations of the same number.

Estas são todas representações do mesmo número.

We can even write it simply, like 1.3 or 1.6.

Podemos escrevê-lo simplesmente, como 1,3 ou 1,6.

It all depends on how many digits you have.

Tudo depende de quantos dígitos temos.

Or perhaps we just simplify and write it like this.

Ou talvez simplificar e escrever assim.

I like this one, because this says four divided by three.

Gosto deste, porque significa quatro a dividir por três.

And this number expresses a relation between two numbers.

Este número exprime uma relação entre dois números.

You have four on the one hand and three on the other.

Temos quatro de um lado e três no outro.

And you can visualize this in many ways.

Podemos visualizá-lo de muitas formas.

What I'm doing now is viewing that number from different perspectives.

Agora vou visualizar este número de diferentes perspetivas.

I'm playing around.

Vou brincar um pouco.

I'm playing around with how we view something,

Vou brincar um pouco como vemos uma coisa

and I'm doing it very deliberately.

e vou fazê-lo propositadamente.

We can take a grid.

Fazemos uma grelha.

If it's four across and three up, this line equals five, always.

São quatro de largura e três de altura.

Esta linha é sempre igual a cinco.

It has to be like this. This is a beautiful pattern.

Tem que ser assim. É um bonito padrão.

Four and three and five.

Quatro e três e cinco.

And this rectangle, which is 4 x 3,

Este retângulo, que é 4 por 3,

you've seen a lot of times.

já o vimos imensas vezes.

This is your average computer screen.

É o ecrã vulgar de um computador,

800 x 600 or 1,600 x 1,200

800 por 600 ou 1600 por 1200

is a television or a computer screen.

é o ecrã duma televisão ou de um computador.

So these are all nice representations,

Tudo isto são representações bonitas,

but I want to go a little bit further and just play more with this number.

mas quero ir um pouco mais além e brincar um pouco mais com este número.

Here you see two circles. I'm going to rotate them like this.

Vemos aqui dois círculos. Vou rodá-los deste modo.

Observe the upper-left one.

Observem o de cima à esquerda.

It goes a little bit faster, right?

Ele anda um pouco mais depressa.

You can see this.

Vocês podem ver isso.

It actually goes exactly four-thirds as fast.

Anda exatamente quatro-terços mais depressa.

That means that when it goes around four times,

Isso significa que, quando anda à roda quatro vezes,

the other one goes around three times.

o outro anda à roda três vezes.

Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet.

Agora traçamos duas linhas

e desenhamos um ponto onde as linhas se encontram.

We get this dot dancing around.

Obtemos este ponto a dançar às voltas.

(Laughter)

And this dot comes from that number.

(Risos)

Este ponto decorre daquele número.

Right? Now we should trace it.

Agora, vamos tracejá-lo.

Let's trace it and see what happens.

Vamos tracejá-lo e ver o que acontece.

This is what mathematics is all about.

É disto que a matemática trata.

It's about seeing what happens.

Trata de ver o que acontece.

And this emerges from four-thirds.

Isto surge de quatro-terços.

I like to say that this is the image of four-thirds.

Gosto de dizer que esta é a imagem de quatro-terços.

It's much nicer -- (Cheers)

É muito mais bonita.

Thank you!

(Applause)

(Aplausos)

Obrigado!

(Aplausos)

This is not new.

Isto não é novo.

This has been known for a long time, but --

Isto já é conhecido há muito tempo.

(Laughter)

(Risos)

But this is four-thirds.

Mas isto é quatro-terços.

Let's do another experiment.

Façamos outra experiência.

Let's now take a sound, this sound: (Beep)

Agarremos num som, neste som.

(Som)

This is a perfect A, 440Hz.

É um perfeito A, 440Hz.

Let's multiply it by two.

Vamos multiplicá-lo por dois.

We get this sound. (Beep)

Obtemos este som. (Som)

When we play them together, it sounds like this.

Quando tocamos os dois ao mesmo tempo, soa assim.

This is an octave, right?

É uma oitava, não é?

We can do this game. We can play a sound, play the same A.

Podemos brincar assim. Podemos tocar um som, o mesmo A.

We can multiply it by three-halves.

Podemos multiplicá-lo por três meios.

(Beep)

(Som)

This is what we call a perfect fifth.

É aquilo a que chamamos um quinto perfeito.

(Beep)

(Som)

They sound really nice together.

Têm um belo som, quando juntos.

Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)

Vamos multiplicar este som por quatro-terços.

What happens?

O que acontece?

You get this sound. (Beep)

Obtém-se este som. (Som)

This is the perfect fourth.

É o quarto perfeito.

If the first one is an A, this is a D.

Se o primeiro é um A, este é um D.

They sound like this together. (Beeps)

Juntos, têm este som. (Som)

This is the sound of four-thirds.

Isto é o som de quatro-terços.

What I'm doing now, I'm changing my perspective.

Agora, vou mudar de perspetiva.

I'm just viewing a number from another perspective.

Vou ver o número de outra perspetiva.

I can even do this with rhythms, right?

Até posso fazer isto com ritmo, não é?

I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)

Posso arranjar um ritmo e tocar três pancadas seguidas.

in a period of time,

num certo período de tempo

and I can play another sound four times in that same space.

e posso tocar outro som quatro vezes nesse mesmo período.

(Clanking sounds)

(Sons)

Sounds kind of boring, but listen to them together.

Parece um bocado aborrecido, mas oiçam-nos em conjunto.

(Drumbeats and clanking sounds)

(Sons ritmados)

(Laughter)

Hey! So.

Ei!

(Laughter)

(Risos)

I can even make a little hi-hat.

Até posso meter um pouco de bateria.

(Drumbeats and cymbals)

(Sons com címbalos)

Can you hear this?

Estão a ver isto?

So, this is the sound of four-thirds.

Este é o som de quatro-terços.

Again, this is as a rhythm.

Agora, como um ritmo.

(Drumbeats and cowbell)

(Sons com chocalhos)

And I can keep doing this and play games with this number.

Posso continuar a fazer isto e a brincar com este número.

Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!

Quatro-terços é realmente um número ótimo. Adoro quatro-terços!

(Laughter)

(Risos)

Truly -- it's an undervalued number.

A sério, é um valor subestimado.

So if you take a sphere and look at the volume of the sphere,

Se agarrarmos numa esfera e olharmos para o volume da esfera,

it's actually four-thirds of some particular cylinder.

é quatro-terços de um cilindro.

So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.

Portanto, quatro-terços está contido na esfera.

É o volume da esfera.

OK, so why am I doing all this?

Ora bem, porque é que faço isto tudo?

Well, I want to talk about what it means to understand something

Quero falar sobre o que significa compreender qualquer coisa

e o que é que nós queremos dizer com compreender uma coisa.

and what we mean by understanding something.

That's my aim here.

É esse o meu objetivo.

And my claim is that you understand something

Penso que compreendemos uma coisa

if you have the ability to view it from different perspectives.

se tivermos a capacidade de a ver de diferentes perspetivas.

Let's look at this letter. It's a beautiful R, right?

Vejamos esta letra. É um bonito R, não acham?

How do you know that?

Como é que sabemos isso?

Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's,

Na verdade, já vimos uma série de R

and you've generalized

e generalizamos,

and abstracted all of these and found a pattern.

e abstraímos todos eles e encontramos um padrão.

So you know that this is an R.

Por isso, sabemos que isto é um R.

So what I'm aiming for here is saying something

O que eu pretendo é falar

about how understanding and changing your perspective

sobre como a compreensão e a mudança de perspetiva

are linked.

estão interligadas.

And I'm a teacher and a lecturer,

Sou professor e palestrante

and I can actually use this to teach something,

e posso usar isto para ensinar qualquer coisa

because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy,

porque, quando conto outra história, uma metáfora, uma analogia,

if I tell a story from a different point of view,

se conto uma história de um ponto de vista diferente,

I enable understanding.

proporciono compreensão.

I make understanding possible,

Torno possível a compreensão

because you have to generalize over everything you see and hear,

porque temos que generalizar tudo o que vemos e ouvimos.

and if I give you another perspective, that will become easier for you.

E se eu der outra perspetiva isso tornar-se-á muito mais fácil.

Let's do a simple example again.

Vou dar mais um exemplo simples.

This is four and three. This is four triangles.

Isto é quatro e três. São quatro triângulos.

So this is also four-thirds, in a way.

De certo modo, também são quatro-terços.

Let's just join them together.

Vamos juntá-los todos.

Now we're going to play a game; we're going to fold it up

Agora vamos jogar um jogo.

Vamos dobrar isto numa estrutura em três dimensões.

into a three-dimensional structure.

I love this.

Adoro isto.

This is a square pyramid.

Isto é uma pirâmide quadrada.

And let's just take two of them and put them together.

Façamos duas e juntemo-las.

So this is what is called an octahedron.

Isto chama-se um octaedro.

It's one of the five platonic solids.

É um dos cinco sólidos platónicos.

Now we can quite literally change our perspective,

Agora podemos mudar de perspetiva,

because we can rotate it around all of the axes

porque podemos rodá-lo em torno de todos os seus eixos

and view it from different perspectives.

e vê-lo de diferentes perspetivas.

And I can change the axis,

Posso mudar os eixos

and then I can view it from another point of view,

e depois posso vê-lo de outro ponto de vista.

but it's the same thing, but it looks a little different.

É a mesma coisa, mas tem um aspeto um pouco diferente.

I can do it even one more time.

Posso voltar a fazê-lo mais uma vez.

Every time I do this, something else appears,

Sempre que faço isto, aparece sempre qualquer coisa

so I'm actually learning more about the object

por isso, estou a aprender mais coisas sobre o objeto

when I change my perspective.

quando mudo de perspetiva.

I can use this as a tool for creating understanding.

Posso usar isto como uma ferramenta para criar compreensão.

I can take two of these and put them together like this

Posso agarrar em dois e juntá-los deste modo

and see what happens.

e ver o que acontece.

And it looks a little bit like the octahedron.

Fica um pouco parecido com o octaedro.

Have a look at it if I spin it around like this.

Reparem quando eu o faço girar, assim.

What happens?

O que acontece?

Well, if you take two of these, join them together and spin it around,

Se agarrarmos em dois, os juntarmos e os pusermos a girar,

there's your octahedron again,

cá está o nosso octaedro de novo,

a beautiful structure.

uma bela estrutura.

If you lay it out flat on the floor,

Se o estendermos no chão,

this is the octahedron.

este é o octaedro.

This is the graph structure of an octahedron.

Esta é a estrutura em grafo de um octaedro.

And I can continue doing this.

Posso continuar a fazer isto.

You can draw three great circles around the octahedron,

Podemos desenhar três grandes círculos em volta do octaedro

and you rotate around,

e fazê-lo rodar.

so actually three great circles is related to the octahedron.

Então, os três grandes círculos estão relacionados com o octaedro.

And if I take a bicycle pump and just pump it up,

Se eu agarrar numa bomba de bicicleta e o encher de ar,

you can see that this is also a little bit like the octahedron.

vemos que isto também é um pouco como o octaedro.

Do you see what I'm doing here?

Estão a ver o que eu estou a fazer aqui?

I am changing the perspective every time.

Estou sempre a mudar de perspetiva.

So let's now take a step back --

Agora, voltemos um pouco atrás

and that's actually a metaphor, stepping back --

— na verdade, voltar atrás é uma metáfora —

and have a look at what we're doing.

e observemos o que estou a fazer.

I'm playing around with metaphors.

Estou a brincar com metáforas.

I'm playing around with perspectives and analogies.

Estou a brincar com perspetivas e analogias.

I'm telling one story in different ways.

Estou a contar uma história de modos diferentes.

I'm telling stories.

Estou a contar histórias.

I'm making a narrative; I'm making several narratives.

Estou a fazer uma narrativa. Estou a fazer várias narrativas.

And I think all of these things make understanding possible.

Penso que todas estas coisas tornam possível a compreensão.

I think this actually is the essence of understanding something.

Penso que isto é a essência de compreender uma coisa.

I truly believe this.

Acredito mesmo nisto.

So this thing about changing your perspective --

Isto de alterar a perspetiva

it's absolutely fundamental for humans.

é absolutamente fundamental para os seres humanos.

Let's play around with the Earth.

Vamos brincar com a Terra.

Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean.

Vamos observar o oceano, olhar para o oceano.

We can do this with anything.

Podemos fazer isso com todas as coisas.

We can take the ocean and view it up close.

Podemos agarrar no oceano e vê-lo de perto.

We can look at the waves.

Podemos olhar para as ondas.

We can go to the beach.

Podemos ir para a praia.

We can view the ocean from another perspective.

Podemos ver o oceano de outra perspetiva.

Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean.

Sempre que fazemos isso, aprendemos mais um pouco sobre o oceano.

If we go to the shore, we can kind of smell it, right?

Se formos até à praia até podemos cheirá-lo, não é?

We can hear the sound of the waves.

Podemos ouvir o som das ondas.

We can feel salt on our tongues.

Podemos sentir o sal na língua.

So all of these are different perspectives.

Tudo isso são diferentes perspetivas.

And this is the best one.

E esta é a melhor de todas.

We can go into the water.

Podemos entrar na água.

We can see the water from the inside.

Podemos ver a água por dentro.

And you know what?

Sabem uma coisa?

This is absolutely essential in mathematics and computer science.

Isto é absolutamente essencial em matemática e em ciência informática.

If you're able to view a structure from the inside,

Se conseguirmos ver uma estrutura por dentro,

then you really learn something about it.

aprendemos qualquer coisa sobre ela.

That's somehow the essence of something.

De certa forma, é a essência de uma coisa.

So when we do this, and we've taken this journey

Quando fazemos isso, e percorrermos esse percurso

into the ocean,

no oceano,

we use our imagination.

usamos a nossa imaginação.

And I think this is one level deeper,

Penso que isto é um nível mais profundo,

and it's actually a requirement for changing your perspective.

e é uma exigência para mudar de perspetiva.

We can do a little game.

Podem fazer um jogo.

You can imagine that you're sitting there.

Podem imaginar que estão aí sentados.

You can imagine that you're up here, and that you're sitting here.

Podem imaginar que estão ali em cima e estão aí sentados.

You can view yourselves from the outside.

Podem ver-se a vocês mesmos do exterior.

That's really a strange thing.

É uma coisa muito estranha.

You're changing your perspective.

Estão a mudar de perspetiva

You're using your imagination,

Estão a usar a imaginação

and you're viewing yourself from the outside.

e estão a ver-se pelo lado de fora.

That requires imagination.

Isto exige imaginação.

Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever.

A matemática e a ciência informática

são as formas de arte mais imaginativas de todas.

And this thing about changing perspectives

Esta coisa de mudar de perspetivas

should sound a little bit familiar to you,

devia ser-vos familiar,

because we do it every day.

porque fazemos isso todos os dias.

And then it's called empathy.

Chamamos-lhe empatia.

When I view the world from your perspective,

Quando eu vejo o mundo segundo a vossa perspetiva,

I have empathy with you.

tenho empatia convosco.

If I really, truly understand

Se eu compreender verdadeiramente

what the world looks like from your perspective,

como é o mundo, segundo a vossa perspetiva,

I am empathetic.

eu estou a ter empatia.

That requires imagination.

Isso exige imaginação.

And that is how we obtain understanding.

É desse modo que eu obtenho compreensão.

And this is all over mathematics and this is all over computer science,

Isto é tudo sobre matemática, é tudo sobre ciência informática

and there's a really deep connection between empathy and these sciences.

e há de facto uma profunda relação entre a empatia e estas ciências.

So my conclusion is the following:

A minha conclusão é a seguinte:

understanding something really deeply

compreender uma coisa profundamente

has to do with the ability to change your perspective.

tem a ver com a capacidade de mudar de perspetiva.

So my advice to you is: try to change your perspective.

Portanto, o meu conselho é que tentem mudar de perspetiva.

You can study mathematics.

Podem estudar matemática.

It's a wonderful way to train your brain.

É uma forma maravilhosa de treinar o cérebro.

Changing your perspective makes your mind more flexible.

Mudar de perspetiva torna o nosso espírito mais flexível.

It makes you open to new things,

Faz-nos abrir a coisas novas

and it makes you able to understand things.

e possibilita-nos compreender as coisas.

And to use yet another metaphor:

Para usar mais uma metáfora, tenham o espírito como a água.

have a mind like water.

That's nice.

É muito bom.

Thank you.

Obrigado.

(Applause)

(Aplausos)