The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Перекладач: Cristina Kanagina Утверджено: Hanna Leliv

In the 1920's,

У 1920-х

the German mathematician David Hilbert

німецький математик Давид Гілберт

devised a famous thought experiment

розробив відомий мисленнєвий експеримент,

to show us just how hard it is

аби продемонструвати нам,

to wrap our minds around the concept of infinity.

наскільки важко осягнути розумом концепт безкінечності.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Уявіть-но готель із необмеженою кількістю номерів

and a very hardworking night manager.

і дуже працьовитого нічного адміністратора.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Однієї ночі готель "Нескінченність" цілковито заповнений,

totally booked up with an infinite number of guests.

всі номери зарезервовані нескінченною кількістю гостей.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Чоловік заходить до готелю і просить кімнату.

Rather than turn him down,

Замість відмовити,

the night manager decides to make room for him.

адміністратор вирішує організувати для нього номер.

How?

Як?

Easy, he asks the guest in room number 1

Легко. Він просить гостей із номера 1

to move to room 2,

переселитись до номера 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

гостей з номера 2 до номера 3,

and so on.

і так далі.

Every guest moves from room number "n"

Кожен гість переселяється із кімнати "n"

to room number "n+1".

до кімнати "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Позаяк маємо нескінченну кількість номерів,

there is a new room for each existing guest.

для кожного з існуючих гостей є новий номер.

This leaves room 1 open for the new customer.

А отже, номер 1 вільний для нового відвідувача.

The process can be repeated

Цей процес можна повторити

for any finite number of new guests.

для будь-якої скінченної кількості нових гостей.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Якщо, до прикладу, туристичний автобус привозить 40 людей, яких треба поселити,

then every existing guest just moves

кожен із існуючих гостей переселяється

from room number "n"

з номера "n"

to room number "n+40",

до номера "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

таким чином звільняючи перші 40 номерів.

But now an infinitely large bus

Але тепер нескінченно великий автобус

with a countably infinite number of passengers

із зліченно нескінченною кількістю пасажирів

pulls up to rent rooms.

прибуває, щоб зняти номери.

countably infinite is the key.

Зліченно нескінченна - це ключ.

Now, the infinite bus of infinite passengers

Нескінченний автобус із нескінченністю пасажирів

perplexes the night manager at first,

спершу спантеличує адміністратора,

but he realizes there's a way

але він розуміє, що є спосіб

to place each new person.

поселити всіх нових гостей.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Він просить постояльця із номера 1 переселитись до номера 2.

He then asks the guest in room 2

Тоді просить гостя з номера 2

to move to room 4,

переселитись до номера 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

гостя з номера 3 - до номера 6,

and so on.

і так далі.

Each current guest moves from room number "n"

Тепер кожен із гостей переселяється із номера "n"

to room number "2n" --

до номера "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

заповнюючи так тільки нескінченність парних номерів.

By doing this, he has now emptied

Таким чином, він звільнив

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

усю нескінченність непарних номерів,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

які можуть зайняти люди із нескінченного автобуса.

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

Усі щасливі, й готель процвітає більше, ніж будь-коли.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Хоча, власне кажучи, він процвітає так само, як і завжди,

banking an infinite number of dollars a night.

заробляючи нескінченну суму доларів щоночі.

Word spreads about this incredible hotel.

Про цей неймовірний готель ширяться чутки.

People pour in from far and wide.

Люди прибувають звідусіль.

One night, the unthinkable happens.

Однієї ночі сталось немислиме.

The night manager looks outside

Нічний адміністратор визирає надвір

and sees an infinite line of infinitely large buses,

і бачить нескінченну чергу нескінченно великих автобусів,

each with a countably infinite number of passengers.

у кожному з яких зліченно нескінченна кількість пасажирів.

What can he do?

Що він може зробити?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Якщо він не знайде кімнат для них, готель втратить

on an infinite amount of money,

нескінченну кількість грошей,

and he will surely lose his job.

а він сам - роботу.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

На щастя, він пам'ятає, що близько 300 року до нашої ери

Euclid proved that there is an infinite quantity

Евклід довів, що існує нескінченна кількість

of prime numbers.

простих чисел.

Щоб досягнути цієї, здавалося б, нездійсненної мети - знайти

So, to accomplish this seemingly impossible task

of finding infinite beds for infinite buses

нескінченність ліжок для нескінченності автобусів

of infinite weary travelers,

із нескінченністю стомлених мандрівників,

the night manager assigns every current guest

нічний адміністратор відводить кожному постояльцеві номер -

to the first prime number, 2,

найперше просте число, 2,

raised to the power of their current room number.

піднесене до степеня його поточного номера.

So, the current occupant of room number 7

Так, мешканець номера 7

goes to room number 2^7,

переселяється до номера 2^7,

which is room 128.

тобто 128.

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

Тоді нічний адміністратор бере людей із першого нескінченного автобуса

and assigns them to the room number

і відводить їм номери

of the next prime, 3,

наступного простого числа, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

у степені номера їхнього місця в автобусі.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Так, людина на місці 7 з першого автобуса

goes to room number 3^7

поселиться у номері 3^7,

or room number 2,187.

тобто 2187.

This continues for all of the first bus.

Так відбувається з усім першим автобусом.

The passengers on the second bus

Пасажири другого автобуса

are assigned powers of the next prime, 5.

підносять до степенів наступне просте число, 5.

The following bus, powers of 7.

Наступного автобуса - 7.

Each bus follows:

Так само і всі інші автобуси:

powers of 11, powers of 13,

степені 11, степені 13,

powers of 17, etc.

степені 17 тощо.

Since each of these numbers

Оскільки кожне з цих чисел

only has 1 and the natural number powers

ділиться лише на 1

of their prime number base as factors,

і на самого себе,

there are no overlapping room numbers.

номери кімнат не повторюються.

All the buses' passengers fan out into rooms

Усі пасажири всіх автобусів розселяються, використовуючи

using unique room-assignment schemes

таку унікальну схему призначення номерів,

based on unique prime numbers.

що базується на унікальних простих числах.

In this way, the night manager can accommodate

Таким чином, адміністратор може поселити

every passenger on every bus.

кожного пасажира кожного автобуса.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Хоча багато номерів залишаться порожніми,

like room 6,

як-от номер 6,

since 6 is not a power of any prime number.

оскільки 6 не є степенем жодного простого числа.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

На щастя, його начальство не сильне в математиці,

so his job is safe.

тому його робота в безпеці.

The night manager's strategies are only possible

Стратегії нічного адміністратора можливі лише тому,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

що, хоча готель "Безкінечність", звісно, математичне жахіття,

it only deals with the lowest level of infinity,

він має справу лише з найнижчим рівнем нескінченності,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

головним чином, зліченною нескінченністю натуральних чисел,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4 і так далі.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Георг Кантор називав такий рівень нескінченності "алеф-нуль".

We use natural numbers for the room numbers

Ми позначаємо натуральними числами кімнати

as well as the seat numbers on the buses.

і місця в автобусах.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Якби ми працювали з безкінечністю вищого порядку,

such as that of the real numbers,

як нескінченність реальних чисел,

these structured strategies would no longer be possible

ці структурні стратегії були б неможливими,

as we have no way to systematically include every number.

адже немає способу систематично включити кожне число.

The Real Number Infinite Hotel

Готель "Безкінечність реальних чисел"

has negative number rooms in the basement,

має від'ємні номери у підвалі,

fractional rooms,

дробові кімнати, так що

so the guy in room 1/2 always suspects

хлопчина із номеру 1/2 завжди підозрює,

he has less room than the guy in room 1.

що має менше простору, ніж хлопець з номеру 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Номери квадратного кореня, як номер корінь з двох,

and room pi,

номер пі,

where the guests expect free dessert.

де на гостя очікує безкоштовний десерт.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Який адміністратор, що поважає себе, захотів би працювати там,

even for an infinite salary?

навіть за нескінченну зарплатню?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Але у готелі "Нескінченність" Гілберта,

where there's never any vacancy

де ніколи немає вакансій,

and always room for more,

і завжди є вільні номери,

the scenarios faced by the ever-diligent

сценарії, з якими стикається завжди старанний і, мабуть,

and maybe too hospitable night manager

надто гостинний адміністратор,

serve to remind us of just how hard it is

служать, аби нагадати нам, як складно

for our relatively finite minds

нашим відносно скінченним розумом

to grasp a concept as large as infinity.

осягнути концепт чогось такого великого, як нескінченність.

Maybe you can help tackle these problems

Може, ви б впорались із цими проблемами

after a good night's sleep.

добре виспавшись, але,

But honestly, we might need you

чесно кажучи, можливо, вам доведеться

to change rooms at 2 a.m.

переселятись у іншу кімнату о другій ночі.