The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Парадоксът с безкрайният хотел - Джеф Декофски

Translator: Anton Hikov Reviewer: Mihaela Nicheva

In the 1920's,

През 20-те години на миналия век,

the German mathematician David Hilbert

германският математик Давид Хилберт

devised a famous thought experiment

измисля известен експеримент,

to show us just how hard it is

за да покаже колко е трудно

to wrap our minds around the concept of infinity.

да разберем концепцията за безкрайността.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Представете си хотел с безброй много стаи

and a very hardworking night manager.

и много работлив нощен управител.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Една нощ безкрайният хотел е пълен,

totally booked up with an infinite number of guests.

абсолютно запълнен с безброй много гости.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Един човек влиза в хотела

и пита за стая.

Вместо да го върне,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

управителят решава да му намери място.

How?

Как?

Easy, he asks the guest in room number 1

Лесно, той моли гостът във стая номер 1

to move to room 2,

да се премести в стая номер 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

гостът в стая 2 да се премести в 3

and so on.

и така нататък.

Every guest moves from room number "n"

Всеки гост се мести от стая с номер "n"

to room number "n+1".

в стая с номер "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Тъй като има безкрайно много стаи,

there is a new room for each existing guest.

има нова стая за всеки гост.

This leaves room 1 open for the new customer.

Това оставя стая номер 1 свободна за новия посетител.

The process can be repeated

Процесът може да бъде повторен

for any finite number of new guests.

за всеки определен брой гости.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Ако, да кажем, туристически автобус

докара 40 души, търсещи стаи,

then every existing guest just moves

всеки наличен гост се мести

from room number "n"

от стая номер "n"

to room number "n+40",

в стая номер "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

така освобождавайки първите 40 стаи.

Но сега безкрайно голям автобус

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

с изброимо безброй много пътници

pulls up to rent rooms.

пристига да наеме стаи.

countably infinite is the key.

Изброимо безброй е ключът.

Сега, безкрайният автобус с безкрай пътници

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

обърква нощния управител в началото,

but he realizes there's a way

но той осъзнава, че има начин

to place each new person.

да настани всеки човек.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Той моли гостът от стая 1

да се премести в стая 2.

He then asks the guest in room 2

След това гостът в стая 2

to move to room 4,

отива в стая 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

гостът от стая 3

отива в стая 6,

and so on.

и така нататък.

Each current guest moves from room number "n"

Всеки наличен гост се мести от стая с номер "n"

to room number "2n" --

в стая с номер "2n";,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

запълвайки само стаите с четни номера.

By doing this, he has now emptied

Така той е изпразнил

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

всички безбройно много нечетни номера,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

които са взети от хората,

излизащи от автобуса.

Всички са щастливи и хотелският бизнес

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

процъфтява повече от всякога.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Е, всъщност, той разцъфтява

точно толкова, колкото и преди,

banking an infinite number of dollars a night.

получавайки безброй долари на нощ.

Разнасят се слухове за този невероятен хотел.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Хората идват от близко и далече.

One night, the unthinkable happens.

Една нощ, немислимото се случва.

The night manager looks outside

Управителят поглежда навън

and sees an infinite line of infinitely large buses,

и вижда безкрайна опашка

от безкрайно големи автобуси,

each with a countably infinite number of passengers.

всеки с изброимо безброй много пътници.

What can he do?

Какво може да направи той?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Ако не намери място за тях,

хотелът ще загуби

on an infinite amount of money,

безброй много пари

and he will surely lose his job.

и сигурно ще загуби работата си.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

За щастие, той си спомня,

че около 300 г. пр. Хр.,

Euclid proved that there is an infinite quantity

Евклид доказва, че има безкрайно количество

of prime numbers.

прости числа.

So, to accomplish this seemingly impossible task

За да изпълни наглед невъзможната задача --

of finding infinite beds for infinite buses

намиране на безброй легла

за безброй автобуси,

of infinite weary travelers,

с безброй изморени пътници,

the night manager assigns every current guest

управителят записва всеки наличен гост

под първото просто число, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

вдигнато на степен равна на номера на текущата му стая.

So, the current occupant of room number 7

И така, текущият обитател на стая 7

goes to room number 2^7,

отива в стая 2 на степен 7,

which is room 128.

което е стая 128.

Нощният управител взима хората

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

от първия автобус

and assigns them to the room number

и ги настанява в стая с номер

of the next prime, 3,

следващото просто число, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

вдигнато на степен равна на номера на тяхната седалка в автобуса.

So, the person in seat number 7 on the first bus

И така, човекът на седалка номер 7 в първия автобус

goes to room number 3^7

отива в стая 3 на степен 7

or room number 2,187.

или стая номер 2187.

This continues for all of the first bus.

Това продължава за всички от първия автобус.

The passengers on the second bus

Пътниците на втория автобус

are assigned powers of the next prime, 5.

са настанени в стаи със степени на следващото просто число, 5.

The following bus, powers of 7.

Следващият автобус в степени на 7.

Each bus follows:

Всеки следващ автобус:

powers of 11, powers of 13,

в степени на 11,

степени на 13,

powers of 17, etc.

степени на 17 и т.н.

Since each of these numbers

Понеже всяко от тези числа

only has 1 and the natural number powers

има само 1 и естественият брой степени

of their prime number base as factors,

на техните прости числа-основи за делители,

there are no overlapping room numbers.

няма повтарящи се номера на стаи.

All the buses' passengers fan out into rooms

Всички пътници на автобусите биват настанени в стаи,

using unique room-assignment schemes

използвайки уникални схеми за настаняване,

based on unique prime numbers.

базирани на уникални прости числа.

In this way, the night manager can accommodate

По този начин, нощния управител може да настани

every passenger on every bus.

всеки пътник от всеки автобус.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Въпреки, че ще останат много незапълнени стаи,

като стая 6,

like room 6,

понеже 6 не е степен на никое просто число.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

За щастие, шефовете му не са били много добри по математика,

so his job is safe.

така че работата му не е застрашена.

The night manager's strategies are only possible

Стратегиите на нощния управител са възможни само

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

защото, докато безкрайният хотел

е със сигурност логистичен кошмар,

it only deals with the lowest level of infinity,

той се занимава само с най-ниското ниво на безкрайност,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

това с изброимата безкрайност

на естествените числа,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, и така нататък.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Георг Кантор нарича това ниво на безкрайността алеф-нула.

We use natural numbers for the room numbers

Ние използваме естествени числа за номерата на стаите

както и за номерата на седалките на автобусите.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Ако работим с по-висок ред на безкрайност,

such as that of the real numbers,

като тази на реалните числа,

these structured strategies would no longer be possible

тези структурирани стратегии

вече няма да са възможни,

as we have no way to systematically include every number.

понеже нямаме възможност

систематично да включим всички числа.

Хотелът със стаи с безкрайно много реални номера има

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

стаи с отрицателни номера в мазето,

fractional rooms,

дробни стаи,

so the guy in room 1/2 always suspects

така човек в стая 1/2 винаги подозира,

he has less room than the guy in room 1.

че има по-малко място, отколкото човек в стая 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Стаи с квадратен корен, като стая с квадратен корен от 2

and room pi,

и стая пи,

where the guests expect free dessert.

където гостите очакват безплатен десерт.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Какъв уважаващ себе си управител

би искал да работи там

even for an infinite salary?

дори и за безкрайна заплата?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Но в безкрайният хотел на Хилберт,

where there's never any vacancy

където никога няма свободно място

and always room for more,

и винаги има място за още,

сценариите с които се сблъсква трудолюбивият

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

и вероятно твърде гостоприемен управител,

serve to remind us of just how hard it is

ни напомнят

за това колко трудно е

for our relatively finite minds

за нашите сравнително ограничени умове

to grasp a concept as large as infinity.

да разберат толкова голяма концепция като безкрайността.

Maybe you can help tackle these problems

Може би, вие ще спомогнете за решаването на тези задачи,

след добър нощен сън.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Но честно казано, може да се наложи

to change rooms at 2 a.m.

да си смените стаята в 2 часа сутринта.