The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Nghịch lý Khách sạn Vô hạn

Translator: Giang To Reviewer: Nhu PHAM

Thập niên 20 của thế kỷ XX,

In the 1920's,

the German mathematician David Hilbert

một nhà toán học người Đức David Hilbert

devised a famous thought experiment

đã nghĩ ra một thí nghiệm nổi tiếng

to show us just how hard it is

cho thấy

to wrap our minds around the concept of infinity.

khái niệm vô cực khó hiểu đến mức nào.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Hãy tưởng tượng một khách sạn với số phòng vô hạn

and a very hardworking night manager.

và một quản lý ca đêm cần mẫn.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Một đêm nọ, khi tất cả các phòng ở Khách sạn Vô hạn

totally booked up with an infinite number of guests.

đều đã đầy,

A man walks into the hotel and asks for a room.

một người đàn ông bước vào, hỏi thuê một phòng.

Không muốn làm khách thất vọng,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

người quản lý đã quyết định xếp phòng cho ông ấy.

How?

Nhưng làm thế nào?

Easy, he asks the guest in room number 1

Đơn giản thôi. Ông ta yêu cầu khách ở phòng số 1

to move to room 2,

chuyển sang phòng số 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 3, v.v....

and so on.

Mỗi khách chuyển từ phòng số n

Every guest moves from room number "n"

to room number "n+1".

sang phòng số n+1.

Since there are an infinite number of rooms,

Bởi khách sạn có số phòng vô hạn,

there is a new room for each existing guest.

tất cả các khách trong khách sạn đều có phòng.

This leaves room 1 open for the new customer.

Nhờ thế, ông khách mới có được một phòng.

The process can be repeated

Quy trình này được lặp đi lặp lại cho bất kỳ số khách có hạn nào.

for any finite number of new guests.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Giả sử một xe buýt

chở 40 người đến thuê phòng,

then every existing guest just moves

mỗi khách trong khách sạn sẽ phải chuyển

from room number "n"

từ phòng số n

to room number "n+40",

sang phòng số n+40,

thus, opening up the first 40 rooms.

và nhờ vậy, 40 phòng đầu tiên sẽ còn trống.

Nhưng giả sử, một xe buýt lớn vô hạn

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

chở một số khách vô hạn (đếm được)

pulls up to rent rooms.

đến khách sạn này để thuê phòng.

countably infinite is the key.

("Đếm được" là yếu tố then chốt.)

Ban đầu, chiếc xe buýt với số khách vô hạn

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

làm người quản lý bối rối,

but he realizes there's a way

nhưng ông nhận ra có một cách để xếp phòng cho họ.

to place each new person.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Ông yêu cầu khách phòng số 1

chuyển sang phòng số 2.

He then asks the guest in room 2

Rồi yêu cầu khách ở phòng số 2

to move to room 4,

chuyển sang phòng số 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

khách ở phòng số 3

chuyển sang phòng số 6, v.v....

and so on.

Each current guest moves from room number "n"

Mỗi khách trong khách sạn chuyển từ phòng số n

to room number "2n" --

sang phòng số 2n,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

và vì thế, chỉ các phòng chẵn là có khách ở.

By doing this, he has now emptied

Bằng cách này, người quản lý đã

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

dọn trống các phòng lẻ,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

và khách mới

có thể thuê những phòng lẻ đó.

Mọi người đều vui vẻ, và lợi nhuận của khách sạn

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

tăng cao hơn bao giờ hết.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Thực ra thì, lợi nhuận của khách sạn không thay đổi chút nào,

banking an infinite number of dollars a night.

bởi đêm nào, khách sạn cũng thu về số tiền vô hạn.

Mọi người bàn tán về khách sạn phi thường này.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Họ đổ xô đến đây thuê phòng.

One night, the unthinkable happens.

Một đêm, điều không tưởng xảy đến.

The night manager looks outside

Người quản lý nhìn ra bên ngoài

and sees an infinite line of infinitely large buses,

và thấy một hàng xe buýt

lớn vô hạn, dài vô hạn.

each with a countably infinite number of passengers.

Mỗi xe có một số khách vô hạn.

What can he do?

Làm gì bây giờ? Nếu không xếp được phòng cho tất cả bọn họ,

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

khách sạn sẽ thất thoát

on an infinite amount of money,

một số tiền lớn vô hạn,

and he will surely lose his job.

chắc chắn, ông ta sẽ mất việc.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

May mắn thay, ông nhớ ra

vào khoảng năm 300 TCN,

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclid đã chứng minh rằng số số nguyên tố

of prime numbers.

là vô tận.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Để hoàn thành nhiệm vụ tưởng như không thể này

of finding infinite beds for infinite buses

tìm số giường vô hạn

cho số khách vô hạn

of infinite weary travelers,

trên số xe buýt vô hạn này,

the night manager assigns every current guest

người quản lý đưa cho mỗi khách trong khách sạn

số nguyên tố đầu tiên: 2

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

với số mũ là số phòng mà họ đang ở.

So, the current occupant of room number 7

Như vậy, người khách ở căn phòng số 7

goes to room number 2^7,

sẽ chuyển đến phòng số 2^7,

which is room 128.

nghĩa là phòng số 128.

Người quản lý đưa tất cả khách

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

trên chiếc xe buýt lớn vô hạn đầu tiên

and assigns them to the room number

số nguyên tố tiếp theo: 3

of the next prime, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

với số mũ là số ghế của họ trên xe buýt.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Như vậy, khách ngồi ghế số 7 trên chiếc xe đầu tiên

goes to room number 3^7

nhận phòng số 3^7,

or room number 2,187.

nghĩa là phòng số 2.187.

This continues for all of the first bus.

Người quản lý tiếp tục xếp phòng.

The passengers on the second bus

Khách trên xe thứ hai được đưa cho

are assigned powers of the next prime, 5.

số nguyên tố tiếp theo: 5 với số mũ là số ghế của họ trên xe.

The following bus, powers of 7.

Tương tự là số 7 với khách trên xe thứ ba.

Each bus follows:

Tiếp tục với

powers of 11, powers of 13,

số 11,

số 13,

powers of 17, etc.

số 17, v.v....

Since each of these numbers

Bởi vì mỗi số này

only has 1 and the natural number powers

chỉ có thể chia hết cho 1

of their prime number base as factors,

và chính nó,

there are no overlapping room numbers.

không có khách nào phải thuê chung phòng cả.

All the buses' passengers fan out into rooms

Tất cả các khách xuống xe buýt, vào khách sạn,

using unique room-assignment schemes

và tìm số phòng

based on unique prime numbers.

người quản lý đã xếp cho mình.

In this way, the night manager can accommodate

Bằng cách này, ông có thể xếp phòng

every passenger on every bus.

cho từng hành khách trên từng xe.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Tuy nhiên, khách sạn sẽ có một số phòng trống,

ví dụ như phòng số 6,

like room 6,

bởi 6 không được tạo ra bởi số nguyên tố cùng số mũ nào cả.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

May mắn thay, sếp của ông ta không giỏi Toán,

so his job is safe.

và ông không bị đuổi việc.

The night manager's strategies are only possible

Phương pháp của người quản lý chỉ thành công

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

khi mà, tuy rằng Khách sạn Vô hạn

là cơn ác mộng về lô-gíc,

it only deals with the lowest level of infinity,

lại chỉ ở mức độ đơn giản nhất của khái niệm vô cực,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

chủ yếu là số số tự nhiên vô cực

đếm được:

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, v.v....

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

George Cantor gọi đây là mức độ 0-apleph của vô cực.

We use natural numbers for the room numbers

Ta dùng số tự nhiên để chỉ số phòng

và số ghế trên xe buýt.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Nếu phải đối mặt với những bậc cao hơn của vô cực,

such as that of the real numbers,

ví dụ như tập số thực,

these structured strategies would no longer be possible

cách sắp xếp như trên

sẽ không còn khả thi,

as we have no way to systematically include every number.

bởi không có cách nào

có thể bao gồm tất cả các số theo hệ thống.

Khách sạn Vô hạn Số thực có

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

số phòng âm trong tầng hầm, và

fractional rooms,

số phòng là phân số,

so the guy in room 1/2 always suspects

nghĩa là khách phòng số 1/2 luôn nghi rằng

he has less room than the guy in room 1.

phòng của anh ta bé hơn phòng số 1 bên cạnh.

Square root rooms, like room radical 2,

Nếu ta lấy căn của số phòng, ví dụ như căn 2 và phòng số pi,

and room pi,

nơi khách thuê phòng mong chờ món tráng miệng miễn phí.

where the guests expect free dessert.

Quản lý ca đêm có lòng tự trọng nào lại muốn làm ở một nơi như thế,

What self-respecting night manager would ever want to work there

even for an infinite salary?

dù lương của anh ta là vô hạn?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Tại Khách sạn Vô hạn của Hilbert, không bao giờ có phòng trống

where there's never any vacancy

and always room for more,

và luôn còn phòng cho khách mới,

the scenarios faced by the ever-diligent

những tình huống mà người quản lý cần mẫn

and maybe too hospitable night manager

vì quá hiếu khách phải giải quyết

serve to remind us of just how hard it is

nhắc nhở chúng ta

rằng thật khó khăn

for our relatively finite minds

khi dùng trí óc có hạn của mình

to grasp a concept as large as infinity.

để hiểu thấu một khái niệm rộng lớn như vô cực.

Bạn có thể giúp chúng tôi giải quyết bài toán này, sau một giấc ngủ ngon.

Maybe you can help tackle these problems

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Nhưng thành thực mà nói, chúng tôi có thể sẽ cần bạn

to change rooms at 2 a.m.

thức dậy và chuyển phòng vào lúc 2 giờ sáng.