The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

De Paradox van het Oneindige Hotel - Jeff Dekofsky

Vertaald door: Romi Rellum Nagekeken door: Els De Keyser

In the 1920's,

Tijdens de jaren twintig

the German mathematician David Hilbert

bedacht de Duitse wiskundige David Hilbert

devised a famous thought experiment

een beroemd gedachte-experiment

to show us just how hard it is

om ons te laten zien hoe moeilijk het is

to wrap our minds around the concept of infinity.

om grip te krijgen op het concept van oneindigheid.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Stel je een hotel voor met een oneindig aantal kamers

and a very hardworking night manager.

en een hardwerkende nachtportier.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Op een nacht is het Oneindige Hotel helemaal vol,

totally booked up with an infinite number of guests.

geheel volgeboekt door een oneindig aantal gasten.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Een man loopt het hotel in

en vraagt naar een kamer.

In plaats van de man weg te sturen,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

besluit de nachtportier plek voor hem te maken.

How?

Hoe?

Easy, he asks the guest in room number 1

Makkelijk. Hij vraagt de gast in kamer 1

to move to room 2,

te verhuizen naar kamer 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

de gast in kamer 2 te verhuizen naar kamer 3,

and so on.

enzovoort.

Every guest moves from room number "n"

Elke gast verhuist van kamer 'n'

to room number "n+1".

naar kamer 'n+1'.

Since there are an infinite number of rooms,

Aangezien er een oneindig aantal kamers is,

there is a new room for each existing guest.

is er een nieuwe kamer voor elke bestaande gast.

This leaves room 1 open for the new customer.

Zo is er in kamer 1 ruimte voor de nieuwe gast.

The process can be repeated

Dit proces kan herhaald worden

for any finite number of new guests.

voor elk eindig aantal nieuwe gasten.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Stel dat een tourbus aan komt rijden

met 40 nieuwe mensen die een kamer zoeken,

then every existing guest just moves

dan kan elke bestaande gast

from room number "n"

van kamer 'n'

to room number "n+40",

naar kamer 'n+40' verhuizen.

thus, opening up the first 40 rooms.

waardoor de eerste 40 kamers vrij worden gemaakt.

Maar nu komt een oneindig grote bus aan

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

met een aftelbaar oneindig aantal passagiers

pulls up to rent rooms.

die kamers willen huren.

countably infinite is the key.

'Aftelbaar oneindig' is de sleutel.

In eerste instantie staat de nachtportier perplex

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

van het oneindige aantal passagiers,

but he realizes there's a way

maar hij realiseert zich dat er een manier is

to place each new person.

elke gast een kamer te geven.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Hij vraagt de gast in kamer 1

naar kamer 2 te verhuizen.

He then asks the guest in room 2

Daarna vraagt hij de gast in kamer 2

to move to room 4,

naar kamer 4 te verhuizen,

the guest in room 3 to move to room 6,

de gast in kamer 3

te verhuizen naar kamer 6,

and so on.

enzovoort.

Each current guest moves from room number "n"

Elke huidige gast verhuist van kamer 'n'

to room number "2n" --

naar kamer '2n',

filling up only the infinite even-numbered rooms.

waardoor alleen de oneindig vele kamers met even nummers gevuld worden.

By doing this, he has now emptied

Zo maakt hij de oneindig vele kamers

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

met oneven nummers vrij,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

waar vervolgens de mensen in kunnen

die uit de oneindige bus komen.

Iedereen is blij en het hotel

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

heeft nog nooit zo goed zaken gedaan.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Nou, eigenlijk staan de zaken

er precies zo goed voor als altijd

banking an infinite number of dollars a night.

met elke nacht oneindig veel dollars aan inkomsten.

Het nieuws van dit ongelooflijke hotel verspreidt zich snel.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Mensen komen vanuit alle windstreken.

One night, the unthinkable happens.

Op een nacht gebeurt het ondenkbare.

The night manager looks outside

De nachtportier kijkt naar buiten

and sees an infinite line of infinitely large buses,

en ziet een oneindige rij

van oneindig lange bussen,

each with a countably infinite number of passengers.

elk met een telbaar oneindig aantal passagier.

What can he do?

Wat kan hij doen?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Als hij geen kamers voor ze kan vinden,

zal het hotel

on an infinite amount of money,

een oneindige hoeveelheid geld mislopen,

and he will surely lose his job.

en zal hij zeker ontslagen worden.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Gelukkig herinnert hij zich

dat rond het jaar 300 voor Christus

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclides bewees dat er een oneindige hoeveelheid

of prime numbers.

priemgetallen bestaat.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Voor deze schijnbaar onmogelijke taak

of finding infinite beds for infinite buses

om oneindig veel bedden te vinden

voor oneindig veel bussen

of infinite weary travelers,

gevuld met oneindig veel vermoeide reizigers

the night manager assigns every current guest

wijst de nachtportier elke huidige gast

toe aan het eerste priemgetal, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

verheven tot de macht van hun huidige kamernummer.

So, the current occupant of room number 7

De huidige bewoner van kamer 7

goes to room number 2^7,

gaat dus naar kamer 2^7,

which is room 128.

namelijk kamer 128.

De nachtportier wijst dan alle mensen

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

in de eerste oneindige bus toe

and assigns them to the room number

aan de kamer met

of the next prime, 3,

het volgende priemgetal, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

verheven tot de macht van hun stoelnummer in de bus.

So, the person in seat number 7 on the first bus

De passagier van stoelnummer 7 in de eerste bus

goes to room number 3^7

gaat dus naar kamer 3^7

or room number 2,187.

oftewel kamer 2.187.

This continues for all of the first bus.

Dat gaat zo door voor alle passagiers in de eerste bus.

The passengers on the second bus

De passagiers in de tweede bus

are assigned powers of the next prime, 5.

verheffen het volgende priemgetal, 5, tot een bepaalde macht.

The following bus, powers of 7.

De volgende bus doet hetzelfde met 7.

Each bus follows:

Elke bus volgt:

powers of 11, powers of 13,

machten van 11,

machten van 13,

powers of 17, etc.

machten 17, etc.

Since each of these numbers

aangezien al deze nummers

only has 1 and the natural number powers

alleen 1 en de natuurlijke machten

of their prime number base as factors,

van hun priemgetalbasis als factor hebben,

there are no overlapping room numbers.

zijn er geen overlappende kamernummers.

All the buses' passengers fan out into rooms

Alle passagiers van alle bussen krijgen op deze manier

using unique room-assignment schemes

een kamer toegewezen

based on unique prime numbers.

op basis van unieke priemgetallen.

In this way, the night manager can accommodate

Zo kan de nachtportier elke passagier in elke bus

every passenger on every bus.

van een kamer voorzien.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Wel zullen er nu veel lege kamers zijn,

zoals kamer 6

like room 6,

aangezien 6 geen macht van een priemgetal is.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Gelukkig waren zijn bazen niet zo goed in wiskunde,

so his job is safe.

dus is zijn baan veilig.

The night manager's strategies are only possible

De strategieën van de nachtportier zijn alleen mogelijk

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

omdat er in het Oneindige Hotel,

hoewel het een logistieke nachtmerrie is,

it only deals with the lowest level of infinity,

alleen sprake is van het laagste niveau van oneindigheid,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

namelijk de aftelbare oneindigheid

van de natuurlijke getallen

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, enzovoort.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor noemde dit niveau van oneindigheid alef-nul.

We use natural numbers for the room numbers

Zowel de kamernummers

als de stoelnummers in de bussen zijn natuurlijke getallen.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Bij een hogere orde van oneindigheid,

such as that of the real numbers,

zoals die van reële getallen,

these structured strategies would no longer be possible

zouden deze gestructureerde strategieën

niet mogelijk zijn

as we have no way to systematically include every number.

aangezien er geen manier is

om op systematische wijze elk getal mee te tellen.

Het Oneindige Hotel van de Reële Getallen

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

heeft kamers met negatieve getallen in de kelder,

fractional rooms,

breukkamers,

so the guy in room 1/2 always suspects

waardoor degene in kamer 1/2 altijd vermoedt

he has less room than the guy in room 1.

dat hij minder ruimte heeft dan degene in kamer 1,

Square root rooms, like room radical 2,

vierkantswortelkamers, zoals kamer √ 2,

and room pi,

en kamer pi,

where the guests expect free dessert.

waar de gasten gratis 'pie' (taart) verwachten.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Welke nachtportier met zelfrespect

zou daar ooit willen werken

even for an infinite salary?

al is het voor een oneindig salaris?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Maar in Hilberts Oneindige Hotel,

where there's never any vacancy

waar nooit een kamer vrij is

and always room for more,

en er altijd ruimte is voor meer gasten,

herinneren de perikelen van de steeds ijverige

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

en misschien te gastvrije nachtportier

serve to remind us of just how hard it is

ons eraan

hoe moeilijk het is

for our relatively finite minds

voor onze relatief eindige geest

to grasp a concept as large as infinity.

om grip te krijgen op een concept zo groot als oneindigheid.

Maybe you can help tackle these problems

Misschien kun jij dit aanpakken na een goede nachtrust.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Maar misschien moet je wel

to change rooms at 2 a.m.

om 2 uur 's nachts van kamer verhuizen.