The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Translator: sadegh zabihi Reviewer: soheila Jafari

In the 1920's,

در دهه ۱۹۲۰،

the German mathematician David Hilbert

ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت

devised a famous thought experiment

یک آزمایش ذهنی معروف ابداع کرد

to show us just how hard it is

تا به ما نشان دهد چقدر دشوار است

to wrap our minds around the concept of infinity.

که ذهنمان را با مفهوم بی نهایت درگیر کنیم.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

یک هتل را در نظر بگیرید که بی نهایت اتاق دارد

and a very hardworking night manager.

و یک مدیر شب سخت کوش در آن کار می کند.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

یک شب، هتل بی نهایت کاملا پر می شود،

totally booked up with an infinite number of guests.

تمام اتاق ها توسط بی نهایت مسافر پر شده اند.

A man walks into the hotel and asks for a room.

مردی وارد هتل می شود و تقاضای اتاق می کند.

Rather than turn him down,

مدیر شب به جای اینکه او را رد کند،

the night manager decides to make room for him.

تصمیم می گیرد اتاقی برای او مهیا کند.

How?

چطور؟

Easy, he asks the guest in room number 1

به راحتی، از مسافر اتاق ۱ می خواهد

to move to room 2,

که به اتاق ۲ برود،

the guest in room 2 to move to room 3,

و از مهمان اتاق ۲ می خواهد که به اتاق ۳ برود،

and so on.

و به همین ترتیب.

Every guest moves from room number "n"

هر مهمان از اتاق شماره "n"

to room number "n+1".

به اتاق "n+۱" منتقل می شود.

Since there are an infinite number of rooms,

از آنجا که تعداد اتاق ها بی نهایت است،

there is a new room for each existing guest.

اتاقی جدید برای همه مهمان قبلی وجود دارد.

This leaves room 1 open for the new customer.

این مسئله اتاق ۱ را برای مشتری جدید خالی می کند.

The process can be repeated

این روند می تواند

for any finite number of new guests.

برای هر تعداد متناهی از مهمانان ادامه پیدا کند.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

اگر، مثلا، یک اتوبوس با چهل مسافر به هتل بیایند و اتاق بخواهند،

then every existing guest just moves

همه مهمانان هتل فقط باید

from room number "n"

از اتاق "n"

to room number "n+40",

به اتاق"n+۴۰" بروند،

thus, opening up the first 40 rooms.

به این ترتیب، ۴۰ اتاق اول خالی می شوند.

But now an infinitely large bus

اما یک اتوبوس بی نهایت بزرگ

with a countably infinite number of passengers

با تعداد نا متناهی مسافر

pulls up to rent rooms.

برای کرایه اتاق مراجعه می کند.

countably infinite is the key.

کلید در تعداد نا متناهی است.

Now, the infinite bus of infinite passengers

حالا، اتوبوس بی نهایت با بی نهایت مسافر

perplexes the night manager at first,

ابتدا مدیر را سر در گم می کند،

but he realizes there's a way

اما او متوجه می شود که راهی هست

to place each new person.

تا به همه مسافران اتاق بدهد.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

او از مسافر اتاق ۱ می خواهد تا به اتاق ۲ برود.

He then asks the guest in room 2

بعد از مسافر اتاق ۲ می خواهد

to move to room 4,

تا به اتاق ۴ برود،

the guest in room 3 to move to room 6,

و از مسافر اتاق ۳ می خواهد تا به اتاق ۶ برود،

and so on.

و به همین ترتیب.

Each current guest moves from room number "n"

هر کدام از مسافران از اتاق "n"

to room number "2n" --

به اتاق "۲n" نقل مکان می کنند --

filling up only the infinite even-numbered rooms.

و به این ترتیب بی نهایت اتاق که شماره زوج دارند، اشغال خواهند بود.

By doing this, he has now emptied

با این کار، او حالا

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

بی نهایت اتاق با شماره فرد را خالی کرده است،

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

که بعد توسط مسافران اتوبوس بی نهایت پر می شوند.

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

همه خوشحال هستند و کار و بار هتل از فرط رونق در حال انفجار است.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

خوب، در واقع، به اندازه همیشه رونق گرفته است،

banking an infinite number of dollars a night.

با در آمد بی نهایت دلار در یک شب.

Word spreads about this incredible hotel.

آوازه این هتل باور نکردنی همه جا می پیچد.

People pour in from far and wide.

مردم از راههای دور و نزدیک به آنجا سرازیر می شوند.

One night, the unthinkable happens.

یک شب، اتفاقی غیر منتظره می افتد.

The night manager looks outside

مدیر شب بیرون را نگاه می کند

and sees an infinite line of infinitely large buses,

و صفی بی نهایت از اتوبوس های بی نهایت بزرگ می بیند،

each with a countably infinite number of passengers.

که هر کدام بی نهایت مسافر دارند.

What can he do?

چه می تواند بکند؟

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

اگر نتواند آنها را بپذیرد، هتل مقدار بی نهایتی

on an infinite amount of money,

پول را از دست می دهد.

and he will surely lose his job.

و او قطعا کارش را از دست می دهد.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

خوشبختانه، به یاد می آورد که در حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد،

Euclid proved that there is an infinite quantity

اقلیدس ثابت کرد که بی نهایت

of prime numbers.

عدد اول وجود دارند.

So, to accomplish this seemingly impossible task

خوب، برای به انجام رساندن کار به ظاهر ناممکن

of finding infinite beds for infinite buses

پیدا کردن بی نهایت تخت برای بی نهایت اتوبوس

of infinite weary travelers,

با بی نهایت مسافر خسته،

the night manager assigns every current guest

مدیر شب هر مسافر هتل را

to the first prime number, 2,

به اتاق با شماره اولین عدد اول، ۲،

raised to the power of their current room number.

به توان شماره اتاق فعلی آنها منتقل می کند.

So, the current occupant of room number 7

بنابراین، مسافر فعلی اتاق شماره ۷

goes to room number 2^7,

به اتاق ۲ به توان ۷ فرستاده می شود،

which is room 128.

که می شود اتاق ۱۲۸.

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

بعد از آن مدیر مسافران اتوبوس بی نهایت اول را می پذیرد

and assigns them to the room number

و آنها را به اتاق هایی با شماره

of the next prime, 3,

عدد اول بعدی، ۳،

raised to the power of their seat number on the bus.

به توان شماره صندلی آنها در اتوبوس می فرستد.

So, the person in seat number 7 on the first bus

پس، کسی که روی صندلی شماره ۷ در اتوبوس اول نشسته بود

goes to room number 3^7

به اتاق ۳ به توان ۷ فرستاده می شود

or room number 2,187.

یا همان اتاق ۲،۱۸۷.

This continues for all of the first bus.

همین کار برای تمام مسافران اتوبوس اول انجام می شود.

The passengers on the second bus

مسافران اتوبوس دوم

are assigned powers of the next prime, 5.

به اتاقهای با شماره توان های عدد اول بعدی، ۵، فرستاده می شوند.

The following bus, powers of 7.

اتوبوس بعدی، به توان های ۷.

Each bus follows:

اتوبوس های بعدی:

powers of 11, powers of 13,

توان های ۱۱، توان های ۱۳،

powers of 17, etc.

توان های ۱۷ و به همین ترتیب.

Since each of these numbers

از آنجا که هر کدام از این عدد ها

only has 1 and the natural number powers

تنها دارای عوامل ۱ و توان های طبیعی

of their prime number base as factors,

عدد اول پایه خود هستند،

there are no overlapping room numbers.

هیچ هم پوشانی بین شماره اتاق ها وجود نخواهد داشت.

All the buses' passengers fan out into rooms

همه مسافران اتوبوس ها

با استفاده از روش اختصاص اتاق واحد

using unique room-assignment schemes

بر اساس اعداد اول خاص، در اتاق ها گنجانده می شوند

based on unique prime numbers.

In this way, the night manager can accommodate

به این طریق، مدیر شب می تواند

every passenger on every bus.

همه مسافران همه اتوبوس ها را اسکان دهد.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

با این حال، تعداد زیادی از اتاق ها خالی می مانند،

like room 6,

مانند اتاق 6،

since 6 is not a power of any prime number.

چون ۶ توان هیچ عدد اولی نیست.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

خوشبختانه، روسای او در ریاضی زیاد خوب نیستند،

so his job is safe.

پس شغل او در امان است.

The night manager's strategies are only possible

روش استفاده شده توسط مدیرهتل تنها به این دلیل امکان پذیر است

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

که هتل بی نهایت در واقع یک کابوس منطقی است

it only deals with the lowest level of infinity,

و تنها با پایین ترین درجه بی نهایت سر و کار دارد،

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

به طور کلی، بی نهایت قابل شمارش اعداد طبیعی

1, 2, 3, 4, and so on.

۱، ۲، ۳، ۴ و به همین ترتیب.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

گئورگ کانتور این درجه بی نهایت را الف-صفر می خواند.

We use natural numbers for the room numbers

ما برای شماره اتاق ها از اعداد طبیعی استفاده می کنیم

as well as the seat numbers on the buses.

همانطور که برای صندلی اتوبوس ها.

If we were dealing with higher orders of infinity,

اگر با درجه بالاتری از بی نهایت سر و کار داشتیم،

such as that of the real numbers,

مثل بی نهایت در اعداد حقیقی،

these structured strategies would no longer be possible

این روش های ساختاری دیگر پاسخگو نخواهند بود

as we have no way to systematically include every number.

و هیچ روش قاعده مندی برای در بر گرفتن همه اعداد وجود نخواهد داشت.

The Real Number Infinite Hotel

هتل بی نهایت عدد حقیقی

has negative number rooms in the basement,

دارای اتاقهایی با شماره منفی در زیر زمین،

fractional rooms,

و اتاق های کسری است،

so the guy in room 1/2 always suspects

پس کسی که در اتاق ۱/۲ قرار دارد

he has less room than the guy in room 1.

همیشه مشکوک است که اتاقش کوچک تر از اتاق ۱ است.

Square root rooms, like room radical 2,

اتاقهای رادیکالی، مثل اتاق رادیکال ۲،

and room pi,

و اتاق عدد پی،

where the guests expect free dessert.

جایی است که مهمان ها توقع دسر مجانی دارند.

What self-respecting night manager would ever want to work there

کدام مدیر هتلی که به خودش احترام بگذارد حاضر می شود آنجا کار کند

even for an infinite salary?

حتی با حقوق بی نهایت؟

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

اما گذشته از هتل بی نهایت هیلبرت،

where there's never any vacancy

که هیچ وقت هیچ جای خالی ندارد

and always room for more,

و همیشه اتاق برای مسافر بیشتر هست،

the scenarios faced by the ever-diligent

داستان با یک مدیر هتل همیشه سخت کوش

and maybe too hospitable night manager

و شاید بیش از حد مهمان نواز همراه بود

serve to remind us of just how hard it is

تا به ما یادآوری کند که چقدر سخت است

for our relatively finite minds

که ما ذهن نسبتا متناهی خود را

to grasp a concept as large as infinity.

با مفهومی به بزرگی بی نهایت درگیر کنیم.

Maybe you can help tackle these problems

شاید شما بعد از یک خواب شبانه خوب

after a good night's sleep.

بتوانید در حل این مسائل کمک کنید.

But honestly, we might need you

اما صادقانه، ما احتمالا به شما

to change rooms at 2 a.m.

برای عوض کردن اتاق ها ساعت ۲ صبح احتیاج داریم.