The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Translator: Nuchapong Wongrajit Reviewer: Rawee Ma

In the 1920's,

ในทศวรรษ 1920

the German mathematician David Hilbert

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันนาม เดวิด ฮิลเบิร์ต

devised a famous thought experiment

ได้สร้างการทดลองด้วยความคิดอันโด่งดังขึ้น

to show us just how hard it is

เพื่อแสดงให้เห็นว่า ยากแค่ไหน

to wrap our minds around the concept of infinity.

ที่เราจะทำความเข้าใจ แนวคิดเกี่ยวกับค่าอนันต์

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

ลองจินตนาการว่ามีโรงแรม ที่มีจำนวนห้องเป็นอนันต์

and a very hardworking night manager.

มีผู้จัดการกะกลางคืน ผู้ขยันขันแข็ง

One night, the Infinite Hotel is completely full,

คืนหนึ่ง โรงแรมอนันต์เต็มเสียแล้ว

totally booked up with an infinite number of guests.

ถูกจองไว้ทุกห้อง โดยแขกจำนวนเป็นอนันต์

A man walks into the hotel and asks for a room.

แต่แล้วมีชายผู้หนึ่งแวะเข้ามาขอพัก

Rather than turn him down,

แทนที่จะปฏิเสธแขกรายนี้ไป

the night manager decides to make room for him.

ผู้จัดการตัดสินใจหาห้องให้เขา

How?

ทำยังไงล่ะ?

Easy, he asks the guest in room number 1

ง่ายมาก ผู้จัดการขอให้แขกห้อง 1

to move to room 2,

ย้ายไปพักห้อง 2

the guest in room 2 to move to room 3,

แขกห้อง 2 ย้ายไปห้อง 3

and so on.

เช่นนี้ทุกห้อง

Every guest moves from room number "n"

แขกทุกคนย้ายจากห้องหมายเลข "n"

to room number "n+1".

ไปยังห้องหมายเลข "n+1"

Since there are an infinite number of rooms,

เนื่องจากมีห้องอยู่เป็นอนันต์

there is a new room for each existing guest.

จึงมีห้องใหม่ให้กับแขกที่พักอยู่เดิมทุกราย

This leaves room 1 open for the new customer.

ห้องหมายเลข 1 จึงว่าง ให้ลูกค้าใหม่เข้าพัก

The process can be repeated

สามารถใช้วิธีการนี้ซ้ำ

for any finite number of new guests.

เมื่อมีแขกใหม่มาเพิ่มในจำนวนจำกัด จะกี่คนก็ได้

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

สมมติถ้ามีรถทัวร์หอบนักท่องเที่ยวมา 40 คน

then every existing guest just moves

แขกที่พักอยู่เดิมก็แค่ย้าย

from room number "n"

จากห้องหมายเลข "n"

to room number "n+40",

ไปยังห้องหมายเลข "n+40"

thus, opening up the first 40 rooms.

40 ห้องแรกก็จะว่าง พร้อมให้เข้าพัก

But now an infinitely large bus

แต่ถ้ามีรถทัวร์ใหญ่เป็นอนันต์

with a countably infinite number of passengers

พร้อมด้วยผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

pulls up to rent rooms.

เข้ามาถามหาห้องพักล่ะ

countably infinite is the key.

ความเป็นอนันต์นับได้ เป็นประเด็นสำคัญ

Now, the infinite bus of infinite passengers

รถทัวร์อนันต์ พร้อมผู้โดยสารจำนวนอนันต์

perplexes the night manager at first,

ทำให้ผู้จัดการโรงแรมถึงกับอึ้งไปในตอนแรก

but he realizes there's a way

แต่ผู้จัดการก็คิดออก

to place each new person.

ว่าจะรับแขกใหม่ได้อย่างไร

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

เขาขอให้แขกห้อง 1 ย้ายไปห้อง 2

He then asks the guest in room 2

และให้แขกห้อง 2

to move to room 4,

ย้ายไปห้อง 4

the guest in room 3 to move to room 6,

แขกห้อง 3 ย้ายไปห้อง 6

and so on.

เช่นนี้ทุกห้อง

Each current guest moves from room number "n"

แขกปัจจุบันแต่ละคน ย้ายจากห้อง "n"

to room number "2n" --

ไปยังห้องหมายเลข "2n"

filling up only the infinite even-numbered rooms.

ห้องเลขคู่ จำนวนอนันต์ จึงถูกจับจองหมด

By doing this, he has now emptied

ซึ่งก็จะทำให้ห้องเลขคี่ทั้งหมด

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

จำนวนมากมายเป็นอนันต์ว่างลง

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

ให้แขกจากรถทัวร์อนันต์ได้เข้าพัก

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

ทุกคนมีความสุข ธุรกิจโรงแรมก็คึกคักยิ่งขึ้นไปอีก

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

แต่ที่จริงแล้วยอดรายได้เท่ากันเป๊ะทุกคืน

banking an infinite number of dollars a night.

มีเงินเข้าธนาคารจำนวนอนันต์ดอลล่าร์ทุกคืน

Word spreads about this incredible hotel.

คนกล่าวขวัญถึงโรงแรมอันน่าเหลือเชื่อนี้

People pour in from far and wide.

ผู้คนแห่กันมาพักจากทั่วสารทิศ

One night, the unthinkable happens.

คืนหนึ่ง เรื่องไม่คาดฝันก็เกิดขึ้น

The night manager looks outside

ผู้จัดการมองออกไปข้างนอก

and sees an infinite line of infinitely large buses,

เห็นแถวรถทัวร์ใหญ่อนันต์ เข้ามาอนันต์คัน

each with a countably infinite number of passengers.

แต่ละคัน มีผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

What can he do?

เขาจะทำอย่างไรดีล่ะ?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

ถ้าหาห้องให้แขกไม่ได้ ก็จะเสียลูกค้า

on an infinite amount of money,

เสียรายได้เป็นปริมาณอนันต์

and he will surely lose his job.

และผู้จัดการก็จะตกงานด้วย

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

โชคดีที่เขานึกขึ้นได้ว่า ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

Euclid proved that there is an infinite quantity

ยูคลิดได้พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะ

of prime numbers.

มีปริมาณเป็นอนันต์

So, to accomplish this seemingly impossible task

เพื่อจะทำในสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้

of finding infinite beds for infinite buses

โดยหาเตียงจำนวนอนันต์ ให้นักท่องเที่ยวที่เหนื่อยล้า

of infinite weary travelers,

จำนวนเป็นอนันต์ จากรถทัวร์อนันต์คัน

the night manager assigns every current guest

ผู้จัดการขอให้ผู้พักเดิมแต่ละคน

to the first prime number, 2,

ย้ายไปห้องหมายเลข 2 (จำนวนเฉพาะตัวแรก)

raised to the power of their current room number.

ยกกำลังด้วยเลขห้องเดิม

So, the current occupant of room number 7

เช่น ผู้ที่เดิมพักอยู่ห้องหมายเลข 7

goes to room number 2^7,

ก็ย้ายไปห้อง 2 ยกกำลัง 7

which is room 128.

หรือห้องหมายเลข 128 นั่นเอง

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

แล้วผู้จัดการก็ให้คนจากรถทัวร์อนันต์คันแรก

and assigns them to the room number

เข้าพักในห้องที่มีหมายเลขเท่ากับ

of the next prime, 3,

จำนวนเฉพาะถัดไป คือ 3

raised to the power of their seat number on the bus.

ยกกำลังด้วยเลขเบาะนั่งของรถทัวร์

So, the person in seat number 7 on the first bus

เช่น คนที่นั่งเบาะหมายเลข 7 ของรถคันแรก

goes to room number 3^7

ก็เข้าพักห้องหมายเลข 3 ยกกำลัง 7

or room number 2,187.

หรือห้อง 2,187 นั่นเอง

This continues for all of the first bus.

ทำเช่นนี้จนครบทุกคน ที่มากับรถคันแรก

The passengers on the second bus

สำหรับผู้โดยสารรถทัวร์คันที่สอง

are assigned powers of the next prime, 5.

ก็ให้เข้าพักห้องจำนวนเฉพาะถัดไป คือ 5

The following bus, powers of 7.

คันถัดไป ก็ใช้เลข 7 เป็นฐานยกกำลัง

Each bus follows:

คันถัด ๆ ไป ก็จะเข้าพักห้อง

powers of 11, powers of 13,

กำลังของ 11 กำลังของ 13

powers of 17, etc.

กำลังของ 17 ไปเรื่อย ๆ

Since each of these numbers

เนื่องจากเลขเหล่านี้แต่ละตัว

only has 1 and the natural number powers

มีแค่ 1 และ เลขจำนวนเฉพาะแต่ละตัว

of their prime number base as factors,

ยกกำลังด้วยจำนวนนับ เป็นตัวประกอบ

there are no overlapping room numbers.

จึงไม่มีเลขห้องที่ซ้ำซ้อนกัน

All the buses' passengers fan out into rooms

ผู้โดยสารจากรถทุกคัน แยกย้ายกันเข้าห้อง

using unique room-assignment schemes

ตามกลวิธีจัดห้องพักที่ไม่เหมือนใคร

based on unique prime numbers.

โดยอิงจากจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน

In this way, the night manager can accommodate

ด้วยวิธีนี้ ผู้จัดการก็สามารถหาที่พัก

every passenger on every bus.

ให้กับแขกทุกคน จากรถทุกคัน

Although, there will be many rooms that go unfilled,

ถึงแม้วิธีนี้จะทำให้มีหลายห้องไม่มีคนพัก

like room 6,

อย่างเช่น ห้องหมายเลข 6

since 6 is not a power of any prime number.

เพราะ 6 ไม่ใช่เลขยกกำลัง ของจำนวนเฉพาะ

Luckily, his bosses weren't very good in math,

แต่โชคยังดีที่เจ้านายของเขา ไม่ค่อยเก่งเลขเท่าไหร่

so his job is safe.

อาชีพของเขาจึงยังมั่นคงอยู่

The night manager's strategies are only possible

ผู้จัดการสามารถใช้กลยุทธ์ดังกล่าวได้

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

เพราะถึงแม้ว่าการจัดการโรงแรมอนันต์ จะยุ่งยากซับซ้อนสุด ๆ

it only deals with the lowest level of infinity,

แต่ก็เป็นการจัดการกับค่าอนันต์ ในระดับที่ต่ำที่สุด

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

หลัก ๆ คือความเป็นอนันต์นับได้ ของจำนวนนับ

1, 2, 3, 4, and so on.

1 2 3 4 เรื่อยไป

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

จอร์จ แคนเทอร์ เรียกระดับความเป็นอนันต์ นี้ว่า อาเลพ-ซีโร่ aleph-zero

We use natural numbers for the room numbers

เราใช้จำนวนนับกับหมายเลขห้อง

as well as the seat numbers on the buses.

รวมถึงเลขเบาะที่นั่งบนรถทัวร์

If we were dealing with higher orders of infinity,

หากเราจัดการกับ ความเป็นอนันต์ระดับสูงกว่านี้

such as that of the real numbers,

อย่างกรณีของจำนวนจริง

these structured strategies would no longer be possible

กลยุทธ์ดังกล่าวก็จะใช้ไม่ได้

as we have no way to systematically include every number.

เพราะไม่มีวิธีที่เป็นระบบระเบียบ ที่จะนับเลขให้ครอบคลุมทุกตัว

The Real Number Infinite Hotel

โรงแรมอนันต์เลขจำนวนจริง

has negative number rooms in the basement,

มีห้องเลขติดลบ อยู่ชั้นใต้ดิน

fractional rooms,

ห้องเลขเศษส่วน

so the guy in room 1/2 always suspects

คนที่อยู่ห้อง 1/2 จึงเฝ้าสงสัยว่า

he has less room than the guy in room 1.

ได้ห้องเล็กกว่าคนที่ห้องหมายเลข 1 รึเปล่า

Square root rooms, like room radical 2,

ห้องเลขรากที่สอง เช่น ห้องรูทสอง

and room pi,

และห้องค่าพาย

where the guests expect free dessert.

ซึ่งผู้เข้าพักหวังจะได้ของหวานฟรี

What self-respecting night manager would ever want to work there

จะมีผู้จัดการที่เชื่อมั่นในตัวเองคนไหน อยากจะมาทำงานให้

even for an infinite salary?

ต่อให้เงินเดือนเป็นอนันต์ก็ตามที

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

แต่จากโรงแรมอนันต์ของฮิลเบิร์ต

where there's never any vacancy

ซึ่งไม่เคยมีห้องว่าง

and always room for more,

และมีห้องให้ผู้มาใหม่ได้เสมอ

the scenarios faced by the ever-diligent

สถานการณ์ที่ผู้จัดการคนขยัน

and maybe too hospitable night manager

แถมดูจะชอบต้อนรับแขกเกินไปสักหน่อย

serve to remind us of just how hard it is

เป็นสิ่งที่เตือนให้เรารู้ว่า ยากแค่ไหน

for our relatively finite minds

ที่กรอบความคิดที่ค่อนข้างจำกัดของเรา

to grasp a concept as large as infinity.

จะเข้าใจแนวคิดอันมโหฬารอย่างค่าอนันต์ได้

Maybe you can help tackle these problems

ไม่แน่คุณอาจช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

after a good night's sleep.

หลังจากหลับเติมอิ่มสักคืน

But honestly, we might need you

แต่พูดตรง ๆ เราอาจจะต้องให้คุณ

to change rooms at 2 a.m.

ย้ายห้องตอนตีสองก็เป็นได้