The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

La paradoja del Hotel Infinito - Jeff Dekofsky

Traductor: Jenny Lam-Chowdhury Revisor: Sebastian Betti

In the 1920's,

En la década de 1920,

the German mathematician David Hilbert

el matemático alemán David Hilbert

devised a famous thought experiment

creó un famoso ejercicio mental

to show us just how hard it is

para mostrarnos lo difícil que es

to wrap our minds around the concept of infinity.

entender el concepto de infinito.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Imaginen un hotel con una cantidad infinita de habitaciones

and a very hardworking night manager.

y un gerente nocturno muy eficiente.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Una noche, el Hotel Infinito está completamente lleno,

totally booked up with an infinite number of guests.

totalmente ocupado con una cantidad infinita de huéspedes.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Un hombre llega al hotel

y pide una habitación.

En vez de despacharlo,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

el gerente nocturno decide conseguirle una habitación.

How?

¿Cómo?

Easy, he asks the guest in room number 1

Fácil... le pide al huésped de la habitación núm. 1

to move to room 2,

que se pase a la habitación núm. 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

al huésped de la habitación núm. 2 a la habitación núm. 3,

and so on.

y así sucesivamente.

Every guest moves from room number "n"

Todos los huéspedes se mueven de la habitación número "n"

to room number "n+1".

a la habitación número "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Como hay una cantidad infinita de habitaciones,

there is a new room for each existing guest.

hay una habitación para cada huésped.

This leaves room 1 open for the new customer.

Esto deja la habitación núm. 1 vacía para el nuevo huésped.

The process can be repeated

El proceso puede repetirse

for any finite number of new guests.

para cualquier número infinito de nuevos huéspedes.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Si, digamos, llega un autobús

con 40 nuevos huéspedes en busca de habitaciones,

then every existing guest just moves

entonces todos los huéspedes alojados se pasan

from room number "n"

de la habitación número "n"

to room number "n+40",

a la habitación número "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

vaciando así las 40 primeras habitaciones.

Pero ahora un autobús infinitamente largo

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

con un infinito numerable de pasajeros

pulls up to rent rooms.

llega para alquilar cuartos.

countably infinite is the key.

Infinito numerable es la clave.

Ahora, el bus infinito con cantidad de pasajeros infinita

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

deja inicialmente atónito al gerente nocturno,

but he realizes there's a way

pero este se da cuenta de que hay una forma

to place each new person.

de darle hospedaje a todos.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Le pide al huésped de la habitación núm. 1

que se pase a la habitación núm. 2.

He then asks the guest in room 2

Luego le pide al huésped de la habitación núm. 2

to move to room 4,

que se pase a la habitación núm. 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

al huésped de la habitación 3

que se pase a la habitación 6,

and so on.

y así sucesivamente.

Each current guest moves from room number "n"

Todos los huéspedes se pasan de la habitación número "n"

to room number "2n" --

a la habitación número "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

llenando únicamente las habitaciones con número infinitos pares.

By doing this, he has now emptied

Al hacer esto, se han vaciado

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

todas las habitaciones con números infinitos impares,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

que son ocupados por las personas

que venían en el bus infinito.

Todo el mundo está feliz y el negocio del hotel

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

prospera más que nunca.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Bueno, de hecho está prosperando

exactamente de la misma forma que siempre,

banking an infinite number of dollars a night.

cobrando una suma infinita de dólares por noche.

Se corre la voz sobre este hotel increíble.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Viene gente de todas partes.

One night, the unthinkable happens.

Una noche ocurre lo más inesperado.

The night manager looks outside

El gerente nocturno mira hacia afuera

and sees an infinite line of infinitely large buses,

y ve una cola infinita

de buses infinitamente largos,

each with a countably infinite number of passengers.

todos con una cantidad numerable infinita de pasajeros.

What can he do?

¿Qué puede hacer?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Si no puede conseguirles habitaciones

el hotel perderá

on an infinite amount of money,

una cantidad infinita de dinero,

and he will surely lose his job.

y él ciertamente perderá el trabajo.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Con suerte se acuerda

que alrededor del año 300 a.C.

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclides demostró que hay una cantidad infinita

of prime numbers.

de números primos.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Así que para lograr lo que parece una tarea imposible

of finding infinite beds for infinite buses

de conseguir camas infinitas

para los buses infinitos

of infinite weary travelers,

con una cantidad infinita de viajeros cansados,

the night manager assigns every current guest

el gerente nocturno le asigna a todos los huéspedes existentes

el primer número primo, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

elevado al número de la habitación en la que están hospedados.

So, the current occupant of room number 7

Así que el huésped de la habitación 7

goes to room number 2^7,

se pasa a la habitación 2^7,

which is room 128.

que es la habitación 128.

El gerente nocturno toma a todas las personas

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

en el primero de los buses infinitos

and assigns them to the room number

y le asigna las habitaciones

of the next prime, 3,

del próximo número primo, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

elevado al número correspondiente a sus asientos en el bus.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Así que la persona del asiento 7 del primer bus,

goes to room number 3^7

se hospedará en la habitación 3^7

or room number 2,187.

o la habitación 2187.

This continues for all of the first bus.

Así continúa para todos en el primer bus.

The passengers on the second bus

A los pasajeros del segundo bus

are assigned powers of the next prime, 5.

se les asignan según los exponentes de 5, el próximo número primo.

The following bus, powers of 7.

El siguiente bus, según los exponentes de 7.

Each bus follows:

Así continúa con los buses que siguen:

powers of 11, powers of 13,

según los exponentes de 11,

los exponentes de 13,

powers of 17, etc.

los exponentes de 17, etc.

Since each of these numbers

Como cada uno de estos números

only has 1 and the natural number powers

solo tienen el 1 y números naturales

of their prime number base as factors,

como exponentes de estos números primos que funcionan como base,

there are no overlapping room numbers.

no hay una superposición en los números.

All the buses' passengers fan out into rooms

A todos los pasajeros de los buses se les asigna una habitación

using unique room-assignment schemes

empleando un sistema de asignación único,

based on unique prime numbers.

basados en números primos únicos.

In this way, the night manager can accommodate

De esta forma, el gerente nocturno puede alojar

every passenger on every bus.

a todos los pasajeros en todos los buses.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Sin embargo, habrá habitaciones que quedarán vacías,

como la habitación 6,

like room 6,

porque el 6 no es la potencia de ningún número primo.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Con suerte sus jefes no eran muy buenos en matemáticas,

so his job is safe.

así que su trabajo está asegurado.

The night manager's strategies are only possible

Las estrategias del gerente nocturno son solo posibles

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

porque aunque el Hotel Infinito

es ciertamente una pesadilla logística,

it only deals with the lowest level of infinity,

solo tiene que lidiar con números infinitos bajos,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

principalmente, los infinitos contables

de los números naturales,

1, 2, 3, 4, and so on.

como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor denominó este nivel de infinito álef-cero.

We use natural numbers for the room numbers

Usamos número naturales en las habitaciones,

así como en los asientos de los buses.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Si tuviésemos que lidiar con niveles de infinito más altos,

such as that of the real numbers,

como el de los números reales,

these structured strategies would no longer be possible

estas estrategias estructuradas

no serían posible

as we have no way to systematically include every number.

porque no hay manera

de que podamos incluir sistemáticamente todos los números.

El Hotel Infinito de los Números Reales tendría

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

habitaciones con números negativos en el sótano,

fractional rooms,

habitaciones con fracciones,

so the guy in room 1/2 always suspects

de modo que el huésped de la habitación 1/2 siempre sospechará

he has less room than the guy in room 1.

que tiene menos espacio que el huésped en la habitación número 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Habitaciones a la raíz cuadrada, como la habitación radical de 2,

and room pi,

la habitación pi,

where the guests expect free dessert.

donde los huéspedes esperan recibir postres gratis.

What self-respecting night manager would ever want to work there

¿Qué gerente nocturno que se respete

querría trabajar allí

even for an infinite salary?

así sea por un salario infinito?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,

where there's never any vacancy

donde nunca hay una vacante,

and always room for more,

y siempre hay más cuartos,

los escenarios que enfrenta el siempre muy diligente

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

y quizás demasiado hospitalario gerente nocturno

serve to remind us of just how hard it is

nos sirve para recordarnos

lo difícil que es

for our relatively finite minds

para nuestras mentes relativamente finitas

to grasp a concept as large as infinity.

entender un concepto tan grande como el infinito.

Maybe you can help tackle these problems

Quizás puedan ayudar a abordar estos problemas

después de una buena noche de descanso.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Aunque honestamente, quizás tengamos

to change rooms at 2 a.m.

que cambiarlos de habitación a las 2 de la mañana.