The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

A Végtelen Szálló paradoxona - Jeff Dekofsky

Fordító: Sándor Nagy Lektor: Laszlo Kereszturi

In the 1920's,

Az 1920-as években

the German mathematician David Hilbert

David Hilbert német matematikus

devised a famous thought experiment

kitalált egy híres gondolatkísérletet,

to show us just how hard it is

hogy megmutassa, milyen nehéz is

to wrap our minds around the concept of infinity.

befogadni az agyunknak a végtelen fogalmát.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Képzelj el egy szállodát végtelen számú szobával

and a very hardworking night manager.

és egy rátermett éjszakai recepcióssal.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Egy éjjel éppen teltház van a Végtelen Szállóban:

totally booked up with an infinite number of guests.

az összes szobát kiadták végtelen számú vendégnek.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Egy férfi besétál a szállodába,

és kér egy szobát.

Ahelyett, hogy elküldené,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

a recepciós elhatározza, hogy helyet szorít neki.

How?

Igen, de hogy?

Easy, he asks the guest in room number 1

Egyszerű: megkéri az 1-es számú szoba lakóját, hogy

to move to room 2,

költözzön át a 2-es szobába,

the guest in room 2 to move to room 3,

a 2-es szoba lakóját, hogy költözzön a 3-as szobába,

and so on.

és így tovább.

Every guest moves from room number "n"

Minden vendég átköltözik tehát az "n"-es számú szobából

to room number "n+1".

az "n+1"-es számú szobába.

Since there are an infinite number of rooms,

Mivel végtelen számú szoba van,

there is a new room for each existing guest.

akad új szoba minden eddigi vendég számára.

This leaves room 1 open for the new customer.

Így aztán az 1-es szoba felszabadul az új vendégnek.

The process can be repeated

Az eljárás megismételhető

for any finite number of new guests.

akárhány véges számú új vendég kedvéért.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Ha mondjuk egy turistabusz hoz

40 embert, akinek szoba kell,

then every existing guest just moves

akkor minden eddigi vendég egyszerűen átköltözik

from room number "n"

az "n"-es számú szobából

to room number "n+40",

az "n+40"-es szobába,

thus, opening up the first 40 rooms.

és így felszabadul az első 40 szoba.

Csakhogy most egy végtelenül nagy busz érkezik

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

megszámlálhatóan végtelen számú utassal,

pulls up to rent rooms.

és mindenki külön szobát akar.

countably infinite is the key.

A megoldás kulcsa a megszámlálhatóság.

A végtelen busz végtelen sok utasa

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

egy pillanatra meghökkenti a recepcióst,

but he realizes there's a way

de aztán rájön, hogy volna egy mód arra,

to place each new person.

hogy minden új vendég helyet kapjon.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Megkéri az 1-es szoba lakóját, hogy

költözzön át a 2-es szobába.

He then asks the guest in room 2

A 2-es szoba lakóját megkéri, hogy

to move to room 4,

költözzön a 4-es szobába,

the guest in room 3 to move to room 6,

a 3-as szoba vendégét, hogy

költözzön a 6-os szobába,

and so on.

és így tovább.

Each current guest moves from room number "n"

Minden korábbi vendég átköltözik az "n"-edik számú szobából

to room number "2n" --

a "2n"-es számú szobába,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

miáltal csak a végtelen sok páros számú szoba lesz betöltve.

By doing this, he has now emptied

Így tehát felszabadította

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

a végtelen sok páratlan számú szoba mindegyikét,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

amelyeket aztán elfoglalhatnak azok,

akik a végtelen buszról sorolnak befelé.

Mindenki elégedett, és a szálloda forgalma

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

jobb, mint valaha.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Azazhogy a forgalom

pontosan akkora, amekkora volt,

banking an infinite number of dollars a night.

végtelen sok dollárnyi bevételt hozva éjjelente.

Terjed a híre a hihetetlen szállodának.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Emberek özönlenek oda közelről-távolról.

One night, the unthinkable happens.

Egy éjjel aztán hihetetlen dolog történik.

The night manager looks outside

A recepciós kinéz az a szálloda elé,

and sees an infinite line of infinitely large buses,

és látja: végtelen sorban állnak odakint

a végtelen nagy buszok,

each with a countably infinite number of passengers.

mindegyiken megszámlálhatóan végtelen utassal.

What can he do?

Mit lehet itt tenni?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Ha nem talál helyet nekik,

a szálloda elmaradt haszna

on an infinite amount of money,

végtelenül nagy lesz,

and he will surely lose his job.

ami az állásába fog kerülni.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Szerencsére eszébe jut,

hogy Kr. e. 300 körül

Euclid proved that there is an infinite quantity

Eukleidész bebizonyította, hogy végtelenül sok

of prime numbers.

prímszám létezik.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Így hát, a látszólag lehetetlen feladatnak, hogy

of finding infinite beds for infinite buses

végtelen sok szobát találjon

végtelen sok busznyi

of infinite weary travelers,

végtelen sok fáradt utasnak,

the night manager assigns every current guest

úgy tesz eleget a recepciós, hogy az addigi vendégeket átteszi

az első prímszám, azaz a 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

annyiadik hatványának megfelelő számú szobába, amennyi az eredeti szobaszáma volt.

So, the current occupant of room number 7

Tehát az a vendég, aki eddig a 7-es szobában lakott,

goes to room number 2^7,

most átmegy a 2^7-es számú szobába,

which is room 128.

vagyis a 128-as szobába.

Aztán a recepciós fogja azokat,

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

akik az első végtelen busszal jöttek,

and assigns them to the room number

és odaadja nekik azt a szobát, melynek száma

of the next prime, 3,

a következő prímszám, azaz a 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

annyiadik hatványa, amennyi az utas ülésszáma volt a buszon.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Tehát az a vendég, aki az első busz 7-es ülésén utazott,

goes to room number 3^7

a 3^7-es számú szobát kapja,

or room number 2,187.

más szóval a 2178-as számú szobát.

This continues for all of the first bus.

És így tovább, az első busz minden utasára.

The passengers on the second bus

A második busz utasai

are assigned powers of the next prime, 5.

a következő prímszám, az 5, hatványai szerint kapnak szobát.

The following bus, powers of 7.

A következő buszé a 7 hatványai szerint.

Each bus follows:

Aztán jön sorra a többi busz:

powers of 11, powers of 13,

11 hatvánayi,

13 hatványai,

powers of 17, etc.

17 hatványai stb.

Since each of these numbers

Mivel ezeknek a számoknak

only has 1 and the natural number powers

a törzstényezős alakja csak az 1-et és az adott

of their prime number base as factors,

prímszám természetes kitevőjű hatványait tartalmazza,

there are no overlapping room numbers.

nincs átfedés a kiadott szobaszámokban.

All the buses' passengers fan out into rooms

Az összes busz utasa elindulhat hát a maga szobájába

using unique room-assignment schemes

az egyértelmű szoba-hozzárendelési séma szerint,

based on unique prime numbers.

mely egyedi prímszámokon alapul.

In this way, the night manager can accommodate

Ily módon a recepciós elszállásolhatja

every passenger on every bus.

az összes busz összes utasát.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Emellett sok szoba még kihasználatlanul is marad,

ahogy a 6-os szoba is,

like room 6,

mivel a 6 nem hatványa egyik prímszámnak sem.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Szerencsére a főnökség nem túl erős matekból,

so his job is safe.

ezért az állás nincs veszélyben.

The night manager's strategies are only possible

A recepciós stratégiái csak azért működnek,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

mert a Végtelen Szálló,

akármilyen logisztikai rémálom is,

it only deals with the lowest level of infinity,

csak a legalacsonyabb szintű végtelenről kapta a nevét,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

tudniillik a megszámlálhatóan végtelenről,

mely a természetes számok --

1, 2, 3, 4, and so on.

az 1, 2, 3, 4 és így tovább -- sajátja.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor a végtelennek ezt a szintjét alef-nullnak nevezte el.

We use natural numbers for the room numbers

A szobák számozására természetes számokat használunk,

ahogy a buszülések számozására is.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Ha magasabb rendű végtelennel akad dolgunk,

such as that of the real numbers,

mint a valós számoké,

these structured strategies would no longer be possible

ezek a rendezett stratégiák

már nem működnek,

as we have no way to systematically include every number.

mert nem lehetséges

szisztematikusan sorra keríteni minden számot.

A Végtelen Szálló a Valós Számhoz épületében

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

negatív szobaszámok vannak az alagsorban,

fractional rooms,

vannak tört szobaszámok is,

so the guy in room 1/2 always suspects

ezért az 1/2-es szoba lakója azt gyanítja,

he has less room than the guy in room 1.

hogy fele akkora helyen szorong, mint az, aki az 1-est kapta.

Square root rooms, like room radical 2,

Vannak négyzetgyökös szobák, mint a gyök 2,

and room pi,

és ott a pi szoba is,

where the guests expect free dessert.

melynek lakói π-rítóst kapnak reggelire.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Melyik magára adó recepciós

szeretne ilyen helyen dolgozni

even for an infinite salary?

akár végtelen nagy fizetésért is?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

De odaát a Hilbert-féle Végtelen Szállóban,

where there's never any vacancy

ahol soha nincs üres szoba,

and always room for more,

de mégis akad hely az új vendégnek,

azok a helyzetek, amelyeket kezelnie kell a szorgos

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

de talán túlontúl vendégszerető recepciósnak,

serve to remind us of just how hard it is

arra emlékeztetnek minket,

milyen nehéz is

for our relatively finite minds

viszonylag véges agyvelőnkkel

to grasp a concept as large as infinity.

felfogni akkora fogalmat, mint a végtelen.

Maybe you can help tackle these problems

Segíthetnél esetleg te is a problémamegoldásban

egy kiadós alvás után.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Ha nem zavar, ha hajnali 2-kor

to change rooms at 2 a.m.

átköltöztetünk egy másik szobába.