The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

“ 無限ホテル ”のパラドックス - ジェフ・デコフスキー

翻訳: Tomoyuki Suzuki 校正: Reiko Ogura

In the 1920's,

1920年代の事

the German mathematician David Hilbert

ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトは

devised a famous thought experiment

有名な思考実験を行いました

to show us just how hard it is

無限の概念を理解することが

to wrap our minds around the concept of infinity.

いかに 難しいことか 示そうとしたのです

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

無限の数の部屋があるホテルを 想像してみましょう

and a very hardworking night manager.

そこには とてもよく働く 夜勤のマネジャーがいます

One night, the Infinite Hotel is completely full,

ある夜 無限ホテルは 完全に満室になったとします

totally booked up with an infinite number of guests.

無限の数の予約で いっぱいになりました

A man walks into the hotel and asks for a room.

ある男性がホテルに入ってきて

一部屋空いていないか と尋ねました

それを断ることもせず

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

夜勤のマネジャーは 一部屋 空きを作ることにしました

How?

どうやって？

Easy, he asks the guest in room number 1

簡単です １号室の客に

to move to room 2,

２号室に移ってもらい

the guest in room 2 to move to room 3,

２号室の客には ３号室に移ってもらい

and so on.

そんな感じです

Every guest moves from room number "n"

ｎ号室の客が

to room number "n+1".

ｎ+１号室に移るのです

Since there are an infinite number of rooms,

無限の部屋があるので

there is a new room for each existing guest.

それぞれの客に 新たな部屋が用意されるのです

This leaves room 1 open for the new customer.

すると１号室が新しい客の部屋になります

The process can be repeated

これを続けていけば

for any finite number of new guests.

いくらでも 有限の数の 新しい客を お迎えできます

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

たとえば ツアーバスが

40人の客を連れてきて 部屋を探したとします

then every existing guest just moves

すでに部屋のある客たちが

from room number "n"

n号室から

to room number "n+40",

n+40号室に移ると

thus, opening up the first 40 rooms.

最初の40部屋が空きます

しかし 今度は無限に長いバスが

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

無限の数の客を連れてきて

pulls up to rent rooms.

泊まろうと したらどうでしょう

countably infinite is the key.

無限でも数えられること (可算無限)が鍵です

“無限バス”が無限の客を連れてきて

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

夜勤のマネジャーをちょっと困らせます

but he realizes there's a way

しかし彼は皆に部屋をあてがう

to place each new person.

解決策を見出すのです

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

１号室の部屋の客に

２号室に移って欲しいと頼み

He then asks the guest in room 2

２号室の客は

to move to room 4,

４号室に移ってもらい

the guest in room 3 to move to room 6,

３号室の客は

６号室へ

and so on.

そんな具合です

Each current guest moves from room number "n"

ｎ号室の客が

to room number "2n" --

２ｎ号室に移ると

filling up only the infinite even-numbered rooms.

無限にある偶数番号の部屋が いっぱいになります

By doing this, he has now emptied

でも こうやることによって

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

無限の奇数の部屋が空き

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

“無限バス”で連れてこられた

全ての客に 部屋が割り当てられます

皆がハッピーになって

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

ホテルも前代未聞の商売繁盛です

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

でも 実のところ

いつもと全く変わらなく

banking an infinite number of dollars a night.

一晩で 無限ドル稼ぐのです

このすごいホテルのうわさが 一気に広まり

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

人々が方々 遠方からも なだれ込みます

One night, the unthinkable happens.

ある夜 想像も出来ないようなことが起きます

The night manager looks outside

夜勤のマネジャーが外を見てみると

and sees an infinite line of infinitely large buses,

無限に並んだ“ 無限大のバス ”が

列をなして 各々が

each with a countably infinite number of passengers.

可算無限の客を 連れてきています

What can he do?

どうすれば良いでしょう？

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

部屋を準備できなければ

ホテルは無限の収益を

on an infinite amount of money,

見逃すことになります

and he will surely lose his job.

そして彼は職を 失うこと間違いありません

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

幸いにも彼は

紀元前300年頃に

Euclid proved that there is an infinite quantity

ユークリッドが証明したこと—

of prime numbers.

素数が無限に存在することを 思い出すのです

So, to accomplish this seemingly impossible task

無限の数のバスに乗った

of finding infinite beds for infinite buses

疲れた無限の旅行者のために

無限のベッドを準備するという

of infinite weary travelers,

一見不可能な問題を 解決するために

the night manager assigns every current guest

夜勤のマネジャーは宿泊中の客に

最初の素数である２を

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

部屋番号の数で累乗した 番号の部屋に移ってもらいます

So, the current occupant of room number 7

たとえば7号室の客は

goes to room number 2^7,

２の７乗 つまり

which is room 128.

128号室に移動します

次に夜勤のマネジャーは

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

最初の“ 無限バス ”の客を

and assigns them to the room number

このように案内します

of the next prime, 3,

２の次の素数である３を

raised to the power of their seat number on the bus.

バスの座席番号の数で 累乗するのです

So, the person in seat number 7 on the first bus

たとえば 座席番号７に 座っていた客なら

goes to room number 3^7

３の７乗 つまり

or room number 2,187.

2,187号室に移ります

This continues for all of the first bus.

１台目のバスは このように やっていきます

The passengers on the second bus

２台目のバスについては

are assigned powers of the next prime, 5.

その次の素数である５を 次々と累乗していきます

The following bus, powers of 7.

その次のバスは７の累乗

Each bus follows:

さらに続くバスは

powers of 11, powers of 13,

11の累乗

13の累乗

powers of 17, etc.

17の累乗　という具合です

Since each of these numbers

こうやってできた数字は

only has 1 and the natural number powers

１と素数の累乗しか

of their prime number base as factors,

約数を持たないので

there are no overlapping room numbers.

部屋が重なりません

All the buses' passengers fan out into rooms

全てのバスの客たちは

using unique room-assignment schemes

それぞれに割り当てられた 素数に基づいて

based on unique prime numbers.

それぞれ異なった部屋へと 分かれていきます

In this way, the night manager can accommodate

このようにして 夜勤のマネジャーは

every passenger on every bus.

全てのバスの全ての客に 部屋を用意できるのです

Although, there will be many rooms that go unfilled,

でも ６号室のように空き部屋が

たくさん残ります

like room 6,

６は素数の累乗ではないからです

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

幸いにも彼の上司は 数字に弱そうなので

so his job is safe.

仕事を追われることもありません

The night manager's strategies are only possible

“無限ホテル”での様々な準備が

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

悪夢であることに 間違いありませんが

夜勤マネジャーが こんなことができたのは

it only deals with the lowest level of infinity,

最も低いレベルの無限だからです

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

基本的に可算無限個 つまり

１,２,３,４・・・というように

1, 2, 3, 4, and so on.

自然数で数え上げられることです

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

ゲオルク・カントールは このレベルの無限を アレフゼロ(ℵ。)と命名しました

We use natural numbers for the room numbers

我々は部屋の番号や

バスの座席番号に 自然数を用いています

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

もし実数と言ったより高いレベルの

such as that of the real numbers,

無限を扱おうとすると

these structured strategies would no longer be possible

これまでに論じた方法では

上手く対応できません

as we have no way to systematically include every number.

というのも 全ての数字を

系統立てて組み入れることが できないからです

“ 実数無限ホテル ”には

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

地下の負数番号の部屋とか

fractional rooms,

分数番号の部屋があって

so the guy in room 1/2 always suspects

1/2号室の客は

he has less room than the guy in room 1.

１号室よりも狭いんじゃないかと 疑っています

Square root rooms, like room radical 2,

ルート２といった 平方根の部屋や

and room pi,

πの部屋などでは

where the guests expect free dessert.

客が無料サービスの デザートを期待しています

What self-respecting night manager would ever want to work there

自尊心の高い夜勤のマネジャーは

無限の給料だからと言って

even for an infinite salary?

そこで働きたがるでしょうか？

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

しかし 常に空室が無く

where there's never any vacancy

いつも もっと部屋が用意できる

and always room for more,

ヒルベルトの“ 無限ホテル ”で

とても勤勉で 過度とさえ言えるほどに 接客態度の良い

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

夜勤のマネジャーの話を聞くと

serve to remind us of just how hard it is

無限という概念を

理解することが

for our relatively finite minds

有限な知性しか持たない 我々にとって

to grasp a concept as large as infinity.

いかに大変なことか 気づかされます

Maybe you can help tackle these problems

あなたが一晩グッスリ眠ると

よい解決案が 浮かぶかもしれません

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

でも 恐縮ですが

to change rooms at 2 a.m.

２時にお部屋の移動を お願いするかもしれませんね