The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Le paradoxe de l'Hôtel Infini - Jeff Dekofsky

Traducteur: Berengere Cortade Relecteur: Alexandre Jeanneau

In the 1920's,

Dans les années 20,

the German mathematician David Hilbert

le mathématicien allemand David Hilbert

devised a famous thought experiment

conçut une célèbre expérience de l'esprit

to show us just how hard it is

pour nous montrer comme il est difficile

to wrap our minds around the concept of infinity.

d'appréhender le concept d'infini.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Imaginons un hôtel avec un nombre de chambres infini

and a very hardworking night manager.

et un réceptionniste très travailleur.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Un soir, l'Hôtel Infini est plein,

totally booked up with an infinite number of guests.

complètement réservé par un nombre infini de clients.

Un homme arrive à l'hôtel

A man walks into the hotel and asks for a room.

et demande une chambre.

Plutôt que de le renvoyer,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

le réceptionniste décide de lui faire de la place.

How?

Comment ?

Easy, he asks the guest in room number 1

Facile : il demande au client de la chambre 1

to move to room 2,

de passer dans la chambre 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

au client de la chambre 2 de passer dans la chambre 3,

etc.

and so on.

Every guest moves from room number "n"

Chaque client passe de la chambre numéro « n »

to room number "n+1".

à la chambre numéro « n+1 ».

Since there are an infinite number of rooms,

Comme il y a un nombre infini de chambres,

there is a new room for each existing guest.

il existe une nouvelle chambre pour chaque client déjà installé.

This leaves room 1 open for the new customer.

Cela laisse la chambre 1 disponible pour le nouveau client.

The process can be repeated

Le procédé peut être répété

for any finite number of new guests.

pour tout nombre fini de nouveaux clients.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Si, par exemple, un bus déverse

40 personnes à la recherche de chambres,

then every existing guest just moves

alors chaque client existant passe simplement

from room number "n"

de la chambre numéro « n »

to room number "n+40",

à la chambre numéro « n+40 »,

thus, opening up the first 40 rooms.

libérant ainsi les 40 premières chambres.

But now an infinitely large bus

Mais imaginons qu'un bus infiniment grand

with a countably infinite number of passengers

amène un nombre infini dénombrable de passagers

pulls up to rent rooms.

à la recherche d'une chambre.

countably infinite is the key.

Infini dénombrable est le mot-clé ici.

Now, the infinite bus of infinite passengers

Le bus infiniment long avec un nombre infini de passagers

perplexes the night manager at first,

rend le réceptionniste perplexe,

but he realizes there's a way

puis il réalise qu'il y a un moyen

de trouver une chambre pour chaque nouveau client.

to place each new person.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Il demande au client de la chambre 1

de passer dans la chambre 2.

He then asks the guest in room 2

Puis il demande au client de la chambre 2

to move to room 4,

de passer dans la chambre 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

au client de la chambre 3

de passer dans la chambre 6,

and so on.

et ainsi de suite.

Chaque client existant passe de la chambre « n »

Each current guest moves from room number "n"

to room number "2n" --

à la chambre « 2n »,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

n'occupant ainsi que les chambres infinies de numéro pair.

By doing this, he has now emptied

Ainsi, le réceptionniste a libéré

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

toutes les chambres infinies de numéro impair,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

qui sont alors données aux gens

provenant du bus infiniment long.

Tout le monde est content et le business de l'hôtel

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

progresse mieux que jamais.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Enfin, il progresse exactement

au même rythme que d'habitude,

banking an infinite number of dollars a night.

encaissant un nombre infini de dollars chaque nuit.

La rumeur se répand à propos de cet hôtel incroyable.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Les gens affluent des quatre coins du monde.

One night, the unthinkable happens.

Un soir, l'inimaginable arrive.

The night manager looks outside

Le réceptionniste de nuit regarde dehors

and sees an infinite line of infinitely large buses,

et voit une ligne infinie

de bus infiniment longs,

each with a countably infinite number of passengers.

chacun contenant un nombre de passagers infini dénombrable.

What can he do?

Que faire?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

S'il ne leur trouve pas de chambres,

l'hôtel va perdre

on an infinite amount of money,

un montant infini d'argent,

and he will surely lose his job.

et lui va sûrement perdre son emploi.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Heureusement, il se souvient

que vers l'année 300 avant J.C.,

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclide a prouvé qu'il existe une quantité infinie

of prime numbers.

de nombres premiers.

Et donc, pour accomplir ce qui semble impossible -

So, to accomplish this seemingly impossible task

of finding infinite beds for infinite buses

trouver une infinité de chambres

pour une infinité de bus

of infinite weary travelers,

contenant une infinité de voyageurs fatigués -

the night manager assigns every current guest

le réceptionniste alloue à chaque client existant

une nouvelle chambre dont le numéro est le premier nombre premier, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

à la puissance du numéro de leur chambre existante.

So, the current occupant of room number 7

Ainsi l'occupant actuel de la chambre 7

goes to room number 2^7,

déménage dans la chambre 2 puissance 7,

which is room 128.

soit la chambre 128.

Le réceptionniste prend ensuite les passagers

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

du premier des bus infinis

and assigns them to the room number

et leur alloue le numéro de chambre

of the next prime, 3,

3, nombre premier suivant,

raised to the power of their seat number on the bus.

à la puissance du numéro de leur siège dans le bus.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Ainsi le voyageur assis au siège 7 du premier bus

goes to room number 3^7

va dans la chambre 3 puissance 7,

or room number 2,187.

soit la chambre 2187.

This continues for all of the first bus.

Et ainsi de suite pour l'ensemble du premier bus.

The passengers on the second bus

Aux passagers du deuxième bus

are assigned powers of the next prime, 5.

sont donnés les numéros de chambre de la puissance du nombre premier 5.

The following bus, powers of 7.

Pour le bus suivant, les puissances de 7.

Each bus follows:

Chaque bus suit :

powers of 11, powers of 13,

puissances de 11,

puissances de 13,

powers of 17, etc.

puissances de 17, etc.

Since each of these numbers

Comme chacun de ces nombres

only has 1 and the natural number powers

a comme facteurs unique 1 et les puissances

of their prime number base as factors,

de nombre entier de leur nombre premier,

there are no overlapping room numbers.

il n'y a pas duplication de numéro de chambre.

All the buses' passengers fan out into rooms

Tous les passagers des bus se répandent dans les chambres

using unique room-assignment schemes

utilisant des méthodes uniques d'allocation de chambres

based on unique prime numbers.

basées sur des nombre premiers uniques.

In this way, the night manager can accommodate

Ainsi, le réceptionniste peut trouver une chambre

every passenger on every bus.

pour chaque passager de chaque bus.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Mais de nombreuses chambres vont rester libres,

like room 6,

comme la chambre 6,

since 6 is not a power of any prime number.

puisque 6 n'est pas la puissance d'un nombre premier.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Heureusement, ses patrons ne sont pas très doués en maths,

so his job is safe.

donc le réceptionniste n'a rien à craindre pour son travail !

The night manager's strategies are only possible

Les stratégies du réceptionniste ne sont possibles

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

que parce que l'Hôtel Infini,

un véritable cauchemar logistique,

it only deals with the lowest level of infinity,

n'a affaire qu'au plus bas niveau de l'infini,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

l'infini que l'on peut compter,

celui des nombres entiers naturels,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4 etc.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor appelle ce niveau d'infini l'aleph-zéro.

We use natural numbers for the room numbers

Les numéros de chambre sont des nombres entiers

comme les numéros de siège dans les bus.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Si on avait affaire à des ordres d'infini plus élevés,

such as that of the real numbers,

comme celui des nombres rééls,

these structured strategies would no longer be possible

ces stratégies structurées

ne seraient plus possibles

as we have no way to systematically include every number.

puisque l'on n'a aucun moyen

d'inclure systématiquement tous les nombres.

L'Hôtel Infini des Nombres Réels possède

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

des chambres de numéro négatif au sous-sol,

fractional rooms,

des chambres fractionnelles -

so the guy in room 1/2 always suspects

l'hôte de la chambre 1/2 pense toujours

he has less room than the guy in room 1.

qu'il a moins de place que celui dans la chambre 1 -

Square root rooms, like room radical 2,

et des chambres racine carrée, comme la chambre racine de deux

and room pi,

et la chambre pi,

where the guests expect free dessert.

dans laquelle les clients s'attendent à du lait gratuit.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Quel réceptionniste qui se respecte

voudrait y travailler,

even for an infinite salary?

même pour un salaire infini ?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Mais à l'Hôtel Infini de Hilbert,

where there's never any vacancy

où il n'y a jamais de chambre libre

and always room for more,

mais toujours de la place disponible,

les scénarios auxquels est confronté le réceptionniste,

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

toujours assidu et peut-être trop accueillant,

serve to remind us of just how hard it is

nous rappellent

combien il est toujours difficile

for our relatively finite minds

pour nos esprits relativement finis

to grasp a concept as large as infinity.

d'appréhender un concept aussi vaste que l'infini.

Maybe you can help tackle these problems

Peut-être vous pourrez aider à résoudre ce problème

après une bonne nuit de sommeil.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Mais honnêtement, nous aurons peut-être besoin

to change rooms at 2 a.m.

que vous changiez de chambre à deux heures du matin...