The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Tradutor: Rita Almeida Revisora: Isabel Vaz Belchior

In the 1920's,

Nos anos 20,

the German mathematician David Hilbert

o matemático alemão David Hilbert

devised a famous thought experiment

concebeu um famoso exercício intelectual

to show us just how hard it is

para nos mostrar como é difícil

to wrap our minds around the concept of infinity.

assimilar o conceito de infinito.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Imaginem um hotel com um número infinito de quartos

and a very hardworking night manager.

e um gerente muito diligente.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Numa noite, o Hotel Infinito está completamente cheio,

totally booked up with an infinite number of guests.

totalmente esgotado com um número infinito de hóspedes.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Um homem entra no hotel

e pede um quarto.

Em vez de o rejeitar,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

o gerente decide arranjar-lhe um quarto.

How?

Como?

Easy, he asks the guest in room number 1

É fácil. Pede ao hóspede do quarto 1

to move to room 2,

para mudar para o quarto 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

ao hóspede do quarto 2 para mudar para o quarto 3,

and so on.

e assim em diante.

Every guest moves from room number "n"

Todos os hóspedes mudam do quarto número "n"

to room number "n+1".

para o quarto número "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Uma vez que o número de quartos é infinito,

there is a new room for each existing guest.

há um novo quarto para cada um dos hóspedes existentes.

This leaves room 1 open for the new customer.

Isto deixa o quarto 1 livre para o novo cliente.

The process can be repeated

O processo pode ser repetido

for any finite number of new guests.

para qualquer número finito de novos hóspedes.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Imaginemos que um autocarro descarrega

40 novas pessoas à procura de quarto.

then every existing guest just moves

Então, cada hóspede já existente muda

from room number "n"

do quarto número "n"

to room number "n+40",

para o quarto número "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

vagando assim os primeiros 40 quartos.

Mas agora um autocarro infinitamente grande

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

com um número de passageiros infinito contável

pulls up to rent rooms.

encosta para alugar quartos.

countably infinite is the key.

Infinito contável é a chave.

O autocarro infinito de passageiros infinitos

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

deixa o gerente perplexo ao início,

but he realizes there's a way

mas ele apercebe-se de que há forma

to place each new person.

de alojar cada pessoa nova.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Ele pede ao hóspede do quarto 1

para mudar para o quarto 2.

He then asks the guest in room 2

Depois pede ao hóspede do quarto 2

to move to room 4,

para mudar para o quarto 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

ao hóspede do quarto 3

para mudar para o quarto 6,

and so on.

e assim em diante.

Each current guest moves from room number "n"

Cada hóspede actual muda do quarto número "n"

to room number "2n" --

para o quarto número "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

enchendo apenas os quartos dos números infinitos pares.

By doing this, he has now emptied

Desta forma, esvaziou

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

todos os quartos infinitos ímpares,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

que são então ocupados pelas pessoas

que saem do autocarro infinito.

Todos ficam felizes e o negócio do hotel

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

está a florescer mais que nunca.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Na verdade, está a florescer

exactamente na mesma quantidade de sempre,

banking an infinite number of dollars a night.

fazendo um número infinito de dólares por noite.

A notícia espalha-se sobre este incrível hotel.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

As pessoas chegam de toda a parte.

One night, the unthinkable happens.

Numa noite, o impensável acontece.

The night manager looks outside

O gerente olha lá para fora

and sees an infinite line of infinitely large buses,

e vê uma fila infinita

de autocarros infinitamente grandes,

each with a countably infinite number of passengers.

cada um com um número infinito contável de passageiros.

What can he do?

O que pode ele fazer?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Se não arranjar quartos para eles,

o hotel irá perder

on an infinite amount of money,

uma soma infinita de dinheiro,

and he will surely lose his job.

e ele perderá de certeza o emprego.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Felizmente, ele recorda-se

que por volta do ano 300 a.C.

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclides provou que existe uma quantidade infinita

of prime numbers.

de números primos.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Portanto, para realizar esta tarefa aparentemente impossível

of finding infinite beds for infinite buses

de encontrar camas infinitas

para autocarros infinitos

of infinite weary travelers,

de infinitos viajantes cansados,

the night manager assigns every current guest

o gerente atribui a cada actual hóspede

o primeiro número primo, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

elevado à potência do número do seu quarto actual.

So, the current occupant of room number 7

Portanto, o actual ocupante do quarto 7

goes to room number 2^7,

vai para o quarto 2^7,

which is room 128.

que é o quarto 128.

Depois o gerente pega nas pessoas

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

do primeiro autocarro infinito

and assigns them to the room number

e atribui-lhes o número de quarto

of the next prime, 3,

do primo seguinte, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

elevado à potência do número do seu assento no autocarro.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Então, a pessoa do assento 7 do primeiro autocarro

goes to room number 3^7

vai para o quarto número 3^7

or room number 2,187.

ou o quarto número 2187.

This continues for all of the first bus.

Isto continua para todo o primeiro autocarro.

The passengers on the second bus

Aos passageiros do segundo autocarro

are assigned powers of the next prime, 5.

são atribuídas potências do próximo primo, 5.

The following bus, powers of 7.

Ao autocarro seguinte, potências do 7.

Each bus follows:

Os autocarros que se seguem:

powers of 11, powers of 13,

potências do 11,

potências do 13,

powers of 17, etc.

potências do 17, etc.

Since each of these numbers

Visto que cada um destes números

only has 1 and the natural number powers

tem apenas 1 e as potências dos números naturais

of their prime number base as factors,

do seu número primo base como factores,

there are no overlapping room numbers.

não há sobreposições de números de quarto.

All the buses' passengers fan out into rooms

Todos os passageiros se dispersam pelos quartos

using unique room-assignment schemes

usando um esquema único de atribuição de quartos

based on unique prime numbers.

baseado em números primos únicos.

In this way, the night manager can accommodate

Desta forma, o gerente pode acomodar

every passenger on every bus.

cada passageiro de cada autocarro.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

No entanto, haverá muitos quartos por preencher,

como o quarto 6,

like room 6,

visto que 6 não é potência de nenhum número primo.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Felizmente, os patrões dele não são muito bons a matemática,

so his job is safe.

poranto, o emprego dele está salvo.

The night manager's strategies are only possible

As estratégias do gerente apenas são possíveis,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

porque, apesar do Hotel Infinito

ser um pesadelo logístico,

it only deals with the lowest level of infinity,

apenas lida com o nível mais baixo do infinito.

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

Sobretudo, com o infinito contável

dos número naturais:

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, e por aí em diante.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor chamou a este nível de infinito aleph-zero.

We use natural numbers for the room numbers

Usamos números naturais para os números dos quartos

bem como para os números dos assentos nos autocarros.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Se estivéssemos a lidar com ordens mais elevadas de infinito,

such as that of the real numbers,

tal como as dos números reais,

these structured strategies would no longer be possible

estas estratégias estruturadas

não seriam mais possíveis,

as we have no way to systematically include every number.

visto não termos forma

de incluir sistematicamente todos os números.

O Hotel Infinito de Números Reais tem

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

quartos com números negativos na cave,

fractional rooms,

quartos fraccionais.

so the guy in room 1/2 always suspects

Portanto, o tipo do quarto 1/2 suspeita sempre

he has less room than the guy in room 1.

que tem menos espaço que o tipo do quarto 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Quartos de raiz quadrada, como o quarto radical 2

and room pi,

e o quarto Pi,

where the guests expect free dessert.

em que os hóspedes esperam sobremesa gratuita.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Que gerente que se preze

quereria trabalhar aqui

even for an infinite salary?

mesmo por um salário infinito?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Mas no Hotel Infinito de Hilbert,

where there's never any vacancy

onde nunca há nenhuma vaga

and always room for more,

e há sempre quarto para mais um,

Os cenários enfrentados pelo sempre diligente

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

e talvez demasiado hospitaleiro gerente

serve to remind us of just how hard it is

servem para nos recordar

de como é difícil

for our relatively finite minds

para as nossas mentes relativamente finitas

to grasp a concept as large as infinity.

compreender um conceito tão grande como o infinito.

Maybe you can help tackle these problems

Talvez consigas ajudar a lidar com estes problemas

depois de uma boa noite de sono.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Mas, sinceramente, talvez precisemos

to change rooms at 2 a.m.

que mudes de quarto às 2h da manhã.