The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Парадокс Бесконечного отеля — Джефф Декофски

Переводчик: Lera Chumachenko Редактор: Inna Kobylnik

In the 1920's,

В 1920-е годы

the German mathematician David Hilbert

немецкий математик Дэвид Гильберт

devised a famous thought experiment

придумал известный мысленный эксперимент,

to show us just how hard it is

чтобы показать,

как сложно осознать концепцию бесконечности.

to wrap our minds around the concept of infinity.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Представьте отель с бесконечным количеством комнат

and a very hardworking night manager.

и очень трудолюбивым ночным менеджером.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Как-то ночью Бесконечный отель оказался полностью заполнен —

totally booked up with an infinite number of guests.

всё было занято бесконечным количеством гостей.

A man walks into the hotel and asks for a room.

В отель входит мужчина и просит комнату.

Rather than turn him down,

Вместо отказа

the night manager decides to make room for him.

ночной менеджер решает освободить для него комнату.

How?

Как?

Easy, he asks the guest in room number 1

Просто. Он просит гостя из комнаты №1

to move to room 2,

переместиться в комнату №2,

the guest in room 2 to move to room 3,

гостя из комнаты №2 — в комнату №3

and so on.

и так далее.

Every guest moves from room number "n"

Каждый гость переезжает из комнаты n

to room number "n+1".

в комнату n+1.

Since there are an infinite number of rooms,

Поскольку количество комнат бесконечно,

there is a new room for each existing guest.

для каждого постояльца найдётся новая комната.

This leaves room 1 open for the new customer.

А первая комната освободится для нового клиента.

The process can be repeated

Действия могут повторяться

for any finite number of new guests.

для любого конечного числа новых гостей.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Если, скажем, туристический автобус привезёт 40 человек для размещения,

then every existing guest just moves

тогда каждый постоялец просто переедет

from room number "n"

из комнаты n

to room number "n+40",

в комнату n+40,

thus, opening up the first 40 rooms.

таким образом освобождая первые 40 комнат.

But now an infinitely large bus

Теперь приезжает бесконечно большой автобус

with a countably infinite number of passengers

со счётным бесконечным количеством пассажиров,

pulls up to rent rooms.

желающих снять комнаты.

countably infinite is the key.

«Счётное бесконечное» — ключевое понятие.

Now, the infinite bus of infinite passengers

Автобус с бесконечным количеством пассажиров

perplexes the night manager at first,

сначала сбивает с толку менеджера,

but he realizes there's a way

но он находит способ разместить новых гостей.

to place each new person.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Он просит гостя из комнаты № 1 перейти во комнату № 2.

He then asks the guest in room 2

Потом он просит гостя из комнаты № 2

to move to room 4,

переместиться в комнату № 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

гостя из комнаты № 3 — в комнату № 6

and so on.

и так далее.

Each current guest moves from room number "n"

Каждый постоялец переезжает из комнаты n

to room number "2n" --

в комнату 2n,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

заполняя только бесконечное количество чётных комнат.

By doing this, he has now emptied

Таким образом он освободил бесконечное количество

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

нечётных номеров,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

которые потом занимают пассажиры бесконечного автобуса.

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

Все счастливы и гостиничный бизнес процветает лучше, чем когда-либо.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Вообще, он процветает так же, как и всегда,

banking an infinite number of dollars a night.

принося бесконечное количество долларов за ночь.

Word spreads about this incredible hotel.

О потрясающем отеле разносятся слухи.

People pour in from far and wide.

Люди съезжаются отовсюду.

One night, the unthinkable happens.

Как-то ночью происходит невообразимое.

The night manager looks outside

Ночной менеджер смотрит на улицу

and sees an infinite line of infinitely large buses,

и видит нескончаемую череду бесконечно больших автобусов

each with a countably infinite number of passengers.

со счётным бесконечным количеством пассажиров.

What can he do?

Что же ему делать?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Если он не найдёт для них комнат,

on an infinite amount of money,

отель понесёт бесконечные убытки,

and he will surely lose his job.

и он точно лишится работы.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

К счастью, он вспоминает, что примерно в 300 году до нашей эры

Euclid proved that there is an infinite quantity

Евклид доказал существование бесконечного количества

of prime numbers.

простых чисел.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Чтобы выполнить, казалось бы, невозможное —

of finding infinite beds for infinite buses

найти бесконечные кровати для бесконечных автобусов

of infinite weary travelers,

с бесконечно усталыми путешественниками —

the night manager assigns every current guest

ночной менеджер определяет каждого постояльца в комнату

to the first prime number, 2,

с номером первого простого числа — 2,

raised to the power of their current room number.

возведённым в степень, равную номеру их настоящей комнаты.

So, the current occupant of room number 7

Так, постоялец из седьмой комнаты

goes to room number 2^7,

переходит в комнату 2^7,

which is room 128.

то есть в комнату № 128.

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

Ночной менеджер определяет пассажиров первого бесконечного автобуса

and assigns them to the room number

в комнату с номером

of the next prime, 3,

следующего простого числа — 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

возведённым в степень, равную номеру их автобусного места.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Так, человек на месте с номером 7 в первом автобусе

goes to room number 3^7

перейдёт в комнату с номером 3^7,

or room number 2,187.

то есть в комнату № 2 187.

This continues for all of the first bus.

Так происходит со всеми в первом автобусе.

The passengers on the second bus

Пассажиры второго автобуса

are assigned powers of the next prime, 5.

определяются в комнаты со степенями следующего простого числа — 5.

The following bus, powers of 7.

Следующий автобус — со степенями 7.

Each bus follows:

Каждый следующий автобус —

powers of 11, powers of 13,

со степенями 11, степенями 13,

powers of 17, etc.

степенями 17 и так далее.

Since each of these numbers

Так как в каждом таком числе

only has 1 and the natural number powers

только единица и степень с натуральным показателем простого числа

of their prime number base as factors,

могут быть множителями,

there are no overlapping room numbers.

то номерá комнат не совпадают.

All the buses' passengers fan out into rooms

Все пассажиры автобусов распределяются по комнатам

using unique room-assignment schemes

с помощью уникальной схемы определения комнат,

based on unique prime numbers.

основанной на уникальных простых числах.

In this way, the night manager can accommodate

Так ночной менеджер может расселить

every passenger on every bus.

каждого пассажира из каждого автобуса.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Хотя останется множество незанятых комнат,

like room 6,

таких как шестой номер,

since 6 is not a power of any prime number.

поскольку 6 не является степенью простого числа.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

К счастью, начальники не так хороши в математике,

so his job is safe.

поэтому его должность в безопасности.

The night manager's strategies are only possible

Схемы ночного менеджера возможны только потому,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

что хотя Бесконечный отель похож на логистический кошмар,

it only deals with the lowest level of infinity,

он сталкивается с наименьшим уровнем бесконечности,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

главным образом со счётным бесконечным множеством натуральных чисел —

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4 и так далее.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Георг Кантор назвал этот уровень бесконечности алеф-нуль.

We use natural numbers for the room numbers

Мы используем натуральные числа для комнат

as well as the seat numbers on the buses.

и для номеров мест в автобусах.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Используя высшие порядки бесконечности,

such as that of the real numbers,

такие как действительные числа,

these structured strategies would no longer be possible

эти упорядоченные схемы были бы невозможны,

as we have no way to systematically include every number.

потому что нельзя было бы всегда включать каждое число.

The Real Number Infinite Hotel

Бесконечный отель действительных чисел имеет «отрицательные» комнаты в подвале,

has negative number rooms in the basement,

fractional rooms,

дробные комнаты,

so the guy in room 1/2 always suspects

поэтому мужчина в комнате № 1/2 подозревает,

he has less room than the guy in room 1.

что него комната меньше, чем у гостя в комнате № 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Комнаты квадратного корня, например, комната корня из двух,

and room pi,

и комната Пи,

where the guests expect free dessert.

где гости ожидают бесплатный пирог.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Какой уважающий себя ночной менеджер вообще захочет там работать,

even for an infinite salary?

даже за бесконечную зарплату?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Но в Бесконечном отеле Гильберта,

where there's never any vacancy

где никогда нет свободных мест,

and always room for more,

но всегда есть ещё одно —

the scenarios faced by the ever-diligent

ситуации,

с которыми сталкивается добросовестный и, возможно, слишком радушный менеджер,

and maybe too hospitable night manager

serve to remind us of just how hard it is

напоминают нам,

как сложно нашим относительно ограниченным умам

for our relatively finite minds

to grasp a concept as large as infinity.

осознать такое огромное понятие, как бесконечность.

Maybe you can help tackle these problems

Может, вы поможете решить эти проблемы

after a good night's sleep.

после хорошего ночного сна.

But honestly, we might need you

Но, если честно, нам может понадобиться

to change rooms at 2 a.m.

поменять комнаты в 2 часа ночи.