The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Sonsuz Otel Çelişkisi - Jeff Dekofsky

Çeviri: Mehmet Bostancı Gözden geçirme: Emre Kocahan

In the 1920's,

1920'lerde,

the German mathematician David Hilbert

Alman matematikçi David Hilbert

devised a famous thought experiment

sonsuzluk kavramını anlamamızın

to show us just how hard it is

ne kadar zor olduğunu bize göstermek için

to wrap our minds around the concept of infinity.

ünlü bir düşünce deneyi tasarladı.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Sonsuz sayıda odası olan bir otel

and a very hardworking night manager.

ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla

totally booked up with an infinite number of guests.

tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Otele bir adam girer

ve bir oda ister.

Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

ona bir oda açmaya karar verir.

How?

Nasıl mı?

Easy, he asks the guest in room number 1

Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan

to move to room 2,

2 numaralı odaya taşınmasını,

the guest in room 2 to move to room 3,

2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder,

and so on.

ve böyle devam eder.

Every guest moves from room number "n"

Bütün konuklar "n" oda numarasından

to room number "n+1".

"n+1" oda numarasına taşınır.

Since there are an infinite number of rooms,

Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için

there is a new room for each existing guest.

oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır.

This leaves room 1 open for the new customer.

Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır.

The process can be repeated

Bu işlem her sınırlı sayıda

for any finite number of new guests.

yeni müşteri için tekrarlanabilir.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele

oda isteyen 40 yeni kişi getirse,

then every existing guest just moves

otelde olan bütün konuklar sadece

from room number "n"

"n" numaralı odadan

to room number "n+40",

"n+40" numaralı odaya taşınırlar,

thus, opening up the first 40 rooms.

böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.

Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

sayısal olarak sonsuz yolcuyla

pulls up to rent rooms.

oda tutmak için otele yanaşır.

countably infinite is the key.

"Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir.

Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır

but he realizes there's a way

ama gece müdürü her yeni kişiyi

to place each new person.

yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

1 numaralı odadaki konuktan

2 numaralı odaya geçmesini rica eder.

He then asks the guest in room 2

Sonra 2 numaralı odadaki konuktan

to move to room 4,

4 numaralı odaya geçmesini,

the guest in room 3 to move to room 6,

3 numaralı odadaki konuktan

6 numaraya geçmesini ister,

and so on.

ve böyle devam eder.

Each current guest moves from room number "n"

Her mevcut konuk "n" numaralı odadan

to room number "2n" --

"2n" numaralı odaya taşınır,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar.

By doing this, he has now emptied

Bu sayede gece müdürü

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

ve bu odalara da

sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir.

Herkes mutludur ve otelin işleri de

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

her zamankinden daha tıkırındadır.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Yani, aslında tamamen her zamankiyle

aynı miktarda kazanmaktadırlar,

banking an infinite number of dollars a night.

zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.

Bu inanılmaz otelin şanı yayılır.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Uzaktan yakından insanlar akın eder.

One night, the unthinkable happens.

Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir.

The night manager looks outside

Gece müdürü dışarı bakar ve

and sees an infinite line of infinitely large buses,

sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan

sonsuz büyüklükte otobüslerden

each with a countably infinite number of passengers.

sonsuz bir sıra görür.

What can he do?

Ne yapabilir?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Eğer hepsine birer oda bulamazsa

otel sonsuz miktarda

on an infinite amount of money,

para kaybedecektir

and he will surely lose his job.

ve kendisi kesin işini kaybedecektir.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Neyse ki

M.Ö. 300 yılı civarında

Euclid proved that there is an infinite quantity

Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu

of prime numbers.

kanıtladığını hatırlıyordur.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Sonsuz sayıda otobüs dolusu

of finding infinite beds for infinite buses

sonsuz sayıda yorgun yolcuya

sonsuz sayıda yatak bulmak gibi

of infinite weary travelers,

neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için

the night manager assigns every current guest

gece müdürü bütün mevcut konukları

ilk asal sayı olan 2'nin

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir.

So, the current occupant of room number 7

Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini

goes to room number 2^7,

2^7 numaralı odaya,

which is room 128.

yani 128 numaralı odaya gider.

Sonra, gece müdürü

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları

and assigns them to the room number

bir sonraki asal olan 3'ü

of the next prime, 3,

otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek

raised to the power of their seat number on the bus.

sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi

goes to room number 3^7

3^7 numaralı odaya gider,

or room number 2,187.

yani 2,187 numaralı oda.

This continues for all of the first bus.

Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder.

The passengers on the second bus

İkinci otobüsteki yolcular

are assigned powers of the next prime, 5.

bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir.

The following bus, powers of 7.

Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine.

Each bus follows:

Her otobüs bunu takip eder:

powers of 11, powers of 13,

11'in üsleri,

13'ün üsleri,

powers of 17, etc.

17'nin üsleri, vs.

Since each of these numbers

Bu sayıların her biri çarpan olarak

only has 1 and the natural number powers

sadece 1 ve asal sayılarının

of their prime number base as factors,

doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için,

there are no overlapping room numbers.

çakışan hiçbir oda numarası yoktur..

All the buses' passengers fan out into rooms

Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara

using unique room-assignment schemes

dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle

based on unique prime numbers.

odalarına dağılır.

In this way, the night manager can accommodate

Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki

every passenger on every bus.

her yolcuyu ağırlayabilir.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır

Örneğin, 6 numaralı oda,

like room 6,

çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil,

so his job is safe.

yani işi güvende.

The night manager's strategies are only possible

Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

Sonsuz Otel her ne kadar

mantıksal bir kabus olsa da,

it only deals with the lowest level of infinity,

sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor.

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

Esas olarak, doğal sayıların

sayılabilir sonsuzluğu bu,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2 ,3, 4 ve devamı.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir.

We use natural numbers for the room numbers

Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için

doğal sayılar kullanılır.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık,

such as that of the real numbers,

örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk,

these structured strategies would no longer be possible

sistematik olarak her sayıyı dahil edecek

bir yöntemimiz olmadığı için

as we have no way to systematically include every number.

bu yapılandırılmış stratejiler

artık mümkün olmazdı.

Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

bodrum katta negatif sayılı odaları,

fractional rooms,

kesirli odaları vardır,

so the guy in room 1/2 always suspects

yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı

he has less room than the guy in room 1.

odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir.

Square root rooms, like room radical 2,

Kök 2 veya pi gibi numaralı

and room pi,

karekök odalarda

where the guests expect free dessert.

konuklar ikram tatlı bekler.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Hangi özsaygısı olan gece müdürü

sonsuz bir maaşa rağmen

even for an infinite salary?

orada çalışmak ister ki?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Fakat asla boş odası olmayan

where there's never any vacancy

ve her zaman yer bulabileceğiniz

and always room for more,

Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde,

her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

gece müdürünün karşılaştığı durumlar

serve to remind us of just how hard it is

bize nispeten sonlu akıllarımızın

sonsuzluk kadar büyük bir kavramı

for our relatively finite minds

anlamasının ne kadar zor

to grasp a concept as large as infinity.

olduğunu hatırlatır.

Maybe you can help tackle these problems

Belki de güzel bir uykudan sonra

bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Ama doğrusu, sabahın 2'sinde

to change rooms at 2 a.m.

odanızı değiştirmemiz gerekebilir.