The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Tal Dekkers

In the 1920's,

בשנות ה 20,

the German mathematician David Hilbert

המתמטיקאי הגרמני דייויד הילברט

devised a famous thought experiment

הגה ניסוי מחשבתי מפורסם

to show us just how hard it is

כדי להראות כמה קשה זה

to wrap our minds around the concept of infinity.

להבין את מושג האינסוף.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

דמיינו מלון עם מספר אין סופי של חדרים

and a very hardworking night manager.

ומנהל לילה מאוד חרוץ.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

לילה אחד, המלון האינסופי מלא לגמרי,

totally booked up with an infinite number of guests.

מלא לגמרי עם מספר אין סופי של אורחים.

A man walks into the hotel and asks for a room.

אדם נכנס למלון

ומבקש חדר.

במקום לדחות אותו,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

מנהל הלילה מחליט ליצור מקום בשבילו.

How?

איך?

Easy, he asks the guest in room number 1

בקלות, הוא מבקש מהאורח בחדר 1

to move to room 2,

לעבור לחדר 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

האורח בחדר 2 לעבור לחדר 3,

and so on.

וכך הלאה.

Every guest moves from room number "n"

כל אורח עובר מחדר מספר "n"

to room number "n+1".

לחדר מספר "n+1"..

Since there are an infinite number of rooms,

מאחר ויש מספר אין סופי של חדרים,

there is a new room for each existing guest.

יש חדר חדש לכל אורח.

This leaves room 1 open for the new customer.

זה משאיר את חדר 1 פנוי ללקוח החדש.

The process can be repeated

התהליך יכול לחזור על עצמו

for any finite number of new guests.

עם מספר אין סופי של אורחים חדשים.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

אם, נגיד, אוטובוס תיירים מגיע

עם 40 אנשים שמבקשים חדרים,

then every existing guest just moves

אז כל אורח קיים פשוט זז

from room number "n"

מחדר מספר "n"

to room number "n+40",

לחדר "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

וכך, מתפנים 40 החדרים הראשונים.

אבל עכשיו מגיע אוטובוס גדול אינסופית

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

עם מספר אין סופי בר ספירה של נוסעים

pulls up to rent rooms.

שבאים לשכור חדרים.

countably infinite is the key.

אינסוף בר ספירה זה המפתח.

עכשיו, האוטובוס האין סופי

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

מבלבל את מנהל הלילה בהתחלה,

but he realizes there's a way

אבל הוא מבין שיש דרך

to place each new person.

למקם כל אדם חדש.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

הוא מבקש מהאורח בחדר 1

לעבור לחדר 2.

He then asks the guest in room 2

אז הוא מבקש מהאורח בחדר 2

to move to room 4,

לעבור לחדר 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

האורח בחדר 3

לעבור לחדר 6,

and so on.

וכך הלאה.

Each current guest moves from room number "n"

כל אורח זז עכשיו מחדר מספר "n"

to room number "2n" --

לחדר מספר "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

וממלאים רק את החדרים הזוגיים האינסופיים.

By doing this, he has now emptied

בכך, הוא רוקן עכשיו

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

את אין סוף החדרים עם המספרים האי זוגיים,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

שאז נלקחים על ידי האנשים

שממלאים את האוטובוס האין סופי.

כולם שמחים והעסקים במלון

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

מצליחים יותר מתמיד.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

ובכן, למען האמת, הם מצליחים

באותו סכום כמו תמיד,

banking an infinite number of dollars a night.

ומכניסים מספר אין סופי של דולרים ללילה.

השמועות מתפשטות לגבי המלון המדהים הזה.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

אנשים מגיעים מכל העולם.

One night, the unthinkable happens.

לילה אחד, הבלתי אפשרי קורה.

The night manager looks outside

מנהל הלילה מביט החוצה

and sees an infinite line of infinitely large buses,

ורואה תור אין סופי

של אינסוף אוטובוסים אין סופיים,

each with a countably infinite number of passengers.

כל אחד עם מספר אינסופי של אנשים שאינו ניתן לספירה.

What can he do?

מה הוא יכול לעשות?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

אם הוא לא יוכל למצוא חדרים בשבילם,

המלון יפסיד

on an infinite amount of money,

כמות אין סופית של כסף,

and he will surely lose his job.

והוא בוודאי יאבד את עבודתו.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

למרבה המזל, הוא זוכר

שבסביבות השנה 300 לפני הספירה,

Euclid proved that there is an infinite quantity

אוקלידס הוכיח שיש כמות אינסופית

of prime numbers.

של מספרים ראשוניים.

So, to accomplish this seemingly impossible task

אז, כדי להשיג את המטרה שנראית בלתי אפשרית

of finding infinite beds for infinite buses

של למצוא אין סוף מיטות

לאין סוף אוטובוסים

of infinite weary travelers,

של אין סוף נוסעים עייפים,

the night manager assigns every current guest

מנהל הלילה נותן לכל אחד מהאורחים הנוכחיים

את המספר הראשוני הראשון, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

בחזקת החדר הנוכחי שלהם.

So, the current occupant of room number 7

אז, האורח הנוכחי של חדר 7

goes to room number 2^7,

עובר לחדר 7^2,

which is room 128.

שהוא חדר 128.

מנהל הלילה לוקח אז את האנשים

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

באוטובוס האין סופי הראשון

and assigns them to the room number

ומקצה להם את מספר החדר

of the next prime, 3,

של המספר הראשוני השני, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

בחזקת מספר המושב שלהם באוטובוס.

So, the person in seat number 7 on the first bus

אז, האדם במושב מספר 7 באוטובוס הראשון

goes to room number 3^7

הולך לחדר 7^3

or room number 2,187.

שהוא חדר 2,187.

This continues for all of the first bus.

זה ממשיך לכל האוטובוס הראשון.

The passengers on the second bus

הנוסעים של האוטובוס השני

are assigned powers of the next prime, 5.

מקבלים חזקות של המספר הראשוני הבא, 5.

The following bus, powers of 7.

האוטובוס הבא, את החזקות של 7.

Each bus follows:

כל אוטובוס לאחר מכן:

powers of 11, powers of 13,

חזקות של 11,

חזקות של 13,

powers of 17, etc.

חזקות של 17, וכו'.

Since each of these numbers

מאחר ולכל אחד מהמספרים האלה

only has 1 and the natural number powers

יש רק את 1 וחזקות המספרים הטבעיים

of their prime number base as factors,

של בסיסי המספרים הראשונים שלהם כחזקות,

there are no overlapping room numbers.

אין חדרים חופפים.

All the buses' passengers fan out into rooms

כל נוסעי האוטובוסים מתפזרים לחדרים

using unique room-assignment schemes

על ידי שימוש בסכמת השמת חדרים

based on unique prime numbers.

שמבוססת על מספרים ראשוניים.

In this way, the night manager can accommodate

בדרך זו, מנהל הלילה יכול לארח

every passenger on every bus.

כל נוסע על כל אוטובוס.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

למרות שיהיו הרבה חדרים ריקים,

כמו חדר 6

like room 6,

מאחר ו 6 הוא לא חזקה של אף מספר ראשוני.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

למרבה המזל, הבוסים שלו לא טובים במתמטיקה,

so his job is safe.

אז העבודה שלו בטוחה.

The night manager's strategies are only possible

אסטרטגיות מנהל הלילה אפשריות

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

רק בגלל שבעוד המלון האין סופי

הוא בהחלט סיוט לוגיסטי,

it only deals with the lowest level of infinity,

הוא רק מתעסק עם הרבדים הנמוכים של האינסוף,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

בעיקר, האין סוף בר הספירה

של המספרים הטבעיים,

1, 2, 3, 4, and so on.

1,2,3,4, וכך הלאה.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

גאורג קאנטור קראה לרמה הזו של אינסוף אלף-אפס.

We use natural numbers for the room numbers

אנחנו משתמשים במספרים הראשוניים למספרי החדרים

כמו גם למספרי המושבים באוטובוסים.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

אם היינו מתעסקים עם רמות גבוהות יותר של אינסוף,

such as that of the real numbers,

כמו זו של מספרים אמיתיים,

these structured strategies would no longer be possible

האסטרטגיות המובנות האלו

לא היו אפשריות יותר

as we have no way to systematically include every number.

מאחר ואין לנו דרך

לכלול סיסטמטית כל מספר.

למלון המספרים האמיתיים האין סופי יש

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

מספרי חדרים שליליים במרתף,

fractional rooms,

חדרים חלקיים,

so the guy in room 1/2 always suspects

אז האדם בחדר 1/2 תמיד חושד

he has less room than the guy in room 1.

שיש לו פחות מקום מהאדם בחדר 1.

Square root rooms, like room radical 2,

חדרים שורשים מרובעים, כמו חדר שורש 2

and room pi,

וחדר פיי,

where the guests expect free dessert.

שם האורחים מצפים לקינוחים חינם.

What self-respecting night manager would ever want to work there

איזה מנהל לילה שמכבד את עצמו

אי פעם ירצה לעבוד שם

even for an infinite salary?

אפילו עבור משכורת אין סופית?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

אבל במלון האין סופי של הילברט,

where there's never any vacancy

שם לעולם אין מקום פנוי

and always room for more,

ותמיד יש מקום ליותר,

המקרים שעומדים לפני מנהל הלילה

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

התמיד מוכן ואולי מסביר פנים מדי

serve to remind us of just how hard it is

נמצאים כדי להזכיר לנו

כמה קשה זה

for our relatively finite minds

למוחות הדי סופיים שלנו

to grasp a concept as large as infinity.

כדי להבין רעיון גדול כמו האין סוף.

Maybe you can help tackle these problems

אולי אתם יכולים לעזור לטפל בבעיות האלו

אחרי שינה טובה.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

אבל בכנות, אולי נצטרך אתכם

to change rooms at 2 a.m.

להחליף חדרים ב 2 בלילה.