The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Das Paradoxon des Unendlichen Hotels -- Jeff Dekofsky

Übersetzung: Judith Matz Lektorat: David S

In the 1920's,

In den zwanziger Jahren

the German mathematician David Hilbert

erdachte David Hilbert, ein deutscher Mathematiker,

devised a famous thought experiment

ein berühmtes Gedankenexperiment,

to show us just how hard it is

das demonstrieren sollte, wie schwer es ist,

to wrap our minds around the concept of infinity.

das Konzept von Unendlichkeit zu verstehen.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Stellt euch ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vor

and a very hardworking night manager.

und einen sehr emsigen Nachtportier.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Eines Nachts ist das Unendliche Hotel ausgebucht,

totally booked up with an infinite number of guests.

eine unendliche Anzahl von Gästen belegt die Zimmer.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Ein Mann kommt ins Hotel

und möchte ein Zimmer.

Anstatt ihn abzuweisen,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

entschließt sich der Nachtportier, Platz für ihn zu schaffen.

How?

Wie?

Easy, he asks the guest in room number 1

Ganz einfach, er bittet den Gast in Zimmer 1,

to move to room 2,

ins Zimmer 2 umzuziehen,

the guest in room 2 to move to room 3,

der Gast in Zimmer 2 zieht ins Zimmer 3,

and so on.

und so weiter.

Every guest moves from room number "n"

Jeder Gast bewegt sich von Zimmer Nummer n

to room number "n+1".

zu Zimmer Nummer n+1.

Since there are an infinite number of rooms,

Da es unendlich viele Zimmer gibt,

there is a new room for each existing guest.

gibt es für jeden Hotelgast ein Zimmer.

This leaves room 1 open for the new customer.

Somit wird Zimmer 1 frei für den neuen Kunden.

The process can be repeated

Dieser Prozess kann für jede

for any finite number of new guests.

endliche Anzahl an Gästen wiederholt werden.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Sagen wir, ein Tourbus

kippt 40 Zimmersuchende aus,

then every existing guest just moves

dann bewegt sich jeder Hotelgast

from room number "n"

einfach von Zimmer Nummer n

to room number "n+40",

zu Zimmer Nummer n+40.

thus, opening up the first 40 rooms.

So werden die ersten 40 Zimmer frei.

Nun kommt aber ein unendlich großer Bus an

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

und bringt eine abzählbar unendliche Menge an Passagieren,

pulls up to rent rooms.

die gern ein Zimmer hätten.

countably infinite is the key.

Abzählbar unendlich ist das Schlüsselwort.

Der unendliche Bus mit unendlich vielen Passagieren

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

verwirrt den Nachtportier zuerst,

but he realizes there's a way

doch dann sieht er eine Möglichkeit,

to place each new person.

jeden neuen Gast unterzubringen.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Er bittet den Gast in Zimmer 1,

ins Zimmer 2 zu ziehen.

He then asks the guest in room 2

Dann bittet er den Gast in Zimmer 2,

to move to room 4,

ins Zimmer 4 zu ziehen,

the guest in room 3 to move to room 6,

den Gast in Zimmer 3,

in Zimmer 6 zu ziehen,

and so on.

und so weiter.

Each current guest moves from room number "n"

So zieht jeder aktuelle Gast von Zimmer Nummer n

to room number "2n" --

ins Zimmer Nummer 2n,

filling up only the infinite even-numbered rooms.

wodurch nur die unendlichen geraden Zahlen genutzt werden.

By doing this, he has now emptied

Dadurch hat er nun Platz

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

in allen unendlichen ungeraden Hotelzimmern geschaffen,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

die dann von den Leuten besetzt werden,

die aus dem unendlichen Bus strömen.

Alle sind glücklich und das Hotelgeschäft

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

blüht mehr denn je.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Na ja, es blüht eigentlich

genau so wie sonst auch,

banking an infinite number of dollars a night.

denn es bringt unendlich viele Dollars pro Nacht ein.

Dieses unglaubliche Hotel spricht sich nun herum.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Von überall her strömen die Leute.

One night, the unthinkable happens.

Eines Nachts passiert das Undenkbare.

The night manager looks outside

Der Nachtportier schaut hinaus

and sees an infinite line of infinitely large buses,

und sieht eine unendliche Schlange

unendlich großer Busse,

each with a countably infinite number of passengers.

von denen alle abzählbar unendlich viele Passagiere bringen.

What can he do?

Was kann er tun?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Wenn er keinen Platz für sie findet,

dann wird das Hotel

on an infinite amount of money,

einen unendlich hohen Geldbetrag verlieren,

and he will surely lose his job.

und sicherlich verliert er seinen Job.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Zum Glück fällt ihm ein,

dass um 300 v. u. Z.

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euklid bewies, dass es eine unendliche Menge

of prime numbers.

an Primzahlen gibt.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Um also diese scheinbar unmögliche Aufgabe zu bewältigen,

of finding infinite beds for infinite buses

unendlich viele Betten

für unendlich viele Reisende

of infinite weary travelers,

in unendlich vielen Bussen zu finden,

the night manager assigns every current guest

teilt der Nachtportier jedem Hotelgast

die erste Primzahl zu, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

mit ihrer aktuellen Zimmernummer als Exponenten.

So, the current occupant of room number 7

Der aktuelle Bewohner von Zimmer 7 also

goes to room number 2^7,

bekommt Zimmer 2 hoch 7,

which is room 128.

also Zimmer 128.

Der Nachtportier nimmt dann die Leute

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

aus dem ersten der unendlich vielen Busse

and assigns them to the room number

und gibt ihnen die Zimmerzahl

of the next prime, 3,

der nächsten Primzahl, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

mit der Sitzplatznummer im Bus als Exponenten.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Die Person auf Sitz 7 im ersten Bus also

goes to room number 3^7

bekommt Zimmer 3^7,

or room number 2,187.

also Zimmer 2187.

This continues for all of the first bus.

Das setzt sich so für den ersten Bus fort.

The passengers on the second bus

Die Passagiere im zweiten Bus

are assigned powers of the next prime, 5.

bekommen Exponenten der nächsten Primzahl, 5.

The following bus, powers of 7.

Der folgende Bus erhält Exponenten von 7.

Each bus follows:

Und so geht es weiter:

powers of 11, powers of 13,

Exponenten von 11,

Exponenten von 13,

powers of 17, etc.

Exponenten von 17 und so weiter.

Since each of these numbers

Da die Faktoren

only has 1 and the natural number powers

jeder dieser Zahlen

of their prime number base as factors,

nur 1 und ihre eigene natürliche Zahl sind,

there are no overlapping room numbers.

überlappen die Zimmernummern nicht.

All the buses' passengers fan out into rooms

Alle Passagiere in den Bussen verteilen sich mittels

using unique room-assignment schemes

einzigartiger Zuteilungsmuster auf die Räume,

based on unique prime numbers.

die auf einzigartigen Primzahlen basieren.

In this way, the night manager can accommodate

So kann der Nachtportier jeden Passagier

every passenger on every bus.

in jedem Bus unterbringen.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Es wird aber viele unbelegte Zimmer geben,

etwa Zimmer 6,

like room 6,

da 6 keine Potenz von einer Primzahl ist.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Zum Glück waren seine Chefs nicht sehr gut in Mathe,

so his job is safe.

also ist sein Job sicher.

The night manager's strategies are only possible

Die Strategien des Nachtportiers sind nur möglich,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

weil das Unendliche Hotel

zwar ein logistischer Alptraum ist,

it only deals with the lowest level of infinity,

sich aber nur mit der niedrigsten Klasse der Unendlichkeit befasst:

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

nämlich der zählbaren Unendlichkeit

der natürlichen Zahlen,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, und so weiter.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor nannte diese Klasse Aleph-Funktion.

We use natural numbers for the room numbers

Für die Zimmernummern und die Sitzplätze in den Bussen

verwenden wir natürliche Zahlen.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Würden wir uns mit höheren Klassen der Unendlichkeit befassen,

such as that of the real numbers,

wie etwa mit den reellen Zahlen,

these structured strategies would no longer be possible

wären diese strukturierten Ansätze

nicht länger möglich,

as we have no way to systematically include every number.

da wir nicht länger

jede Zahl systematisch einschließen können.

Das Unendliche Hotel der reellen Zahlen

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

hat im Keller Zimmer mit negativen Zahlen,

fractional rooms,

Räume mit Brüchen,

so the guy in room 1/2 always suspects

und der Typ in Zimmer 0,5 hat ständig Angst,

he has less room than the guy in room 1.

weniger Platz zu haben als der in Zimmer 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Quadratwurzelzimmer, also Zimmer Wurzel 2

and room pi,

und Zimmer Pi,

where the guests expect free dessert.

das möglicherweise kreisrund ist.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Welcher Nachtportier,

der etwas auf sich hält, würde selbst

even for an infinite salary?

für ein unendliches Gehalt so etwas auf sich nehmen?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Aber in Hilberts Unendlichem Hotel,

where there's never any vacancy

in dem es nie freie Zimmer gibt,

and always room for more,

und jeder Gast noch einen Platz findet,

helfen uns die Situationen, denen der eifrige

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

und vielleicht auch zu gastfreundliche Nachtportier

serve to remind us of just how hard it is

ausgesetzt ist,

als Erinnerungshilfe dafür,

for our relatively finite minds

wie schwer es für unsere recht endlichen Gemüter ist,

to grasp a concept as large as infinity.

ein Konzept von unendlicher Größe zu verstehen.

Maybe you can help tackle these problems

Vielleicht könnt ihr beim Lösen dieser Probleme helfen,

nach einer Mütze voller Schlaf.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Aber seid gewarnt: Vielleicht müsst ihr

to change rooms at 2 a.m.

morgens um 2 das Zimmer wechseln.