The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

O Paradoxo do Hotel Infinito - Jeff Dekofsky

Tradutor: Ruy Lopes Pereira Revisor: Adriane Miller

In the 1920's,

Por volta de 1920,

the German mathematician David Hilbert

o matemático alemão David Hilbert

devised a famous thought experiment

imaginou um famoso experimento de lógica matemática

to show us just how hard it is

para mostrar como é difícil

to wrap our minds around the concept of infinity.

compreender o conceito de infinito.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Imagine um hotel com um número infinito de quartos

and a very hardworking night manager.

e um gerente noturno muito trabalhador.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Certa noite, o Hotel Infinito está completamente lotado,

totally booked up with an infinite number of guests.

com um número infinito de hóspedes.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Um homem entra no hotel

e solicita uma vaga.

Em vez de recusar o hóspede,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

o gerente da noite decide acomodá-lo.

How?

Como?

Easy, he asks the guest in room number 1

É fácil. Ele pede ao hóspede do quarto número 1

to move to room 2,

que se mude para o quarto número 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

o hóspede do apartamento 2 vai para o quarto 3

and so on.

e assim por diante.

Every guest moves from room number "n"

Cada hóspede muda-se do quarto número "n"

to room number "n+1".

para o quarto "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Já que há um número infinito de apartamentos,

there is a new room for each existing guest.

haverá uma nova vaga para cada hóspede existente.

This leaves room 1 open for the new customer.

Isto deixa o quarto 1 livre para um novo cliente.

The process can be repeated

O processo pode ser repetido

for any finite number of new guests.

para qualquer número finito de novos hóspedes.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Se, digamos, um ônibus de turismo trouxer

40 novas pessoas procurando acomodação,

then every existing guest just moves

então, cada hóspede existente terá apenas que se mudar

from room number "n"

do quanto número "n"

to room number "n+40",

para o quarto número "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

liberando assim os primeiros 40 quartos.

Mas agora um número infinito de ônibus

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

trazendo um número infinito contável de passageiros

pulls up to rent rooms.

chega à procura de vagas.

countably infinite is the key.

O infinito contável é a chave da questão.

Agora, o ônibus infinito com infinitos passageiros

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

deixa o gerente da noite inicialmente perplexo,

but he realizes there's a way

mas ele se dá conta de que há uma solução

para acomodar cada nova pessoa.

to place each new person.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Ele pede ao hóspede do quarto 1

para se mudar para o quarto 2.

He then asks the guest in room 2

A seguir, pede ao hóspede do quarto 2

to move to room 4,

que passe para o quarto 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

o hóspede do quarto 3

para deslocar-se para o quarto 6,

and so on.

e assim por diante.

Each current guest moves from room number "n"

Cada hóspede atual muda-se do quarto número "n"

to room number "2n" --

para o quarto "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

ocupando apenas os quartos dos infinitos números pares.

By doing this, he has now emptied

Assim procedendo, ele desocupou

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

todos os infinitos quartos dos números ímpares.

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

que serão ocupados pelas pessoas

que chegaram no ônibus infinito.

Todo mundo fica feliz e os negócios do hotel

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

prosperam mais do que nunca.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Para falar a verdade, prosperam

exatamente no mesmo montante de sempre,

banking an infinite number of dollars a night.

faturando um número infinito de dólares a cada noite.

Word spreads about this incredible hotel.

As notícias sobre este incrível hotel se espalham.

People pour in from far and wide.

Chegam pessoas de lugares distantes, de toda a parte.

One night, the unthinkable happens.

Uma noite acontece o inpensável.

The night manager looks outside

O gerente noturno olha para fora

and sees an infinite line of infinitely large buses,

e vê uma fila infinita

de ônibus infinitamente grandes,

each with a countably infinite number of passengers.

cada qual com um número contável de infinitos passageiros.

What can he do?

O que ele pode fazer?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Se ele não puder hospedá-los,

o hotel perderá

on an infinite amount of money,

uma quantidade infinita de dinheiro

and he will surely lose his job.

e ele certamente perderá seu emprego.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Por sorte, ele lembra

que, por volta do ano 300 A.C.,

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclides provou que existe uma quantidade infinita

of prime numbers.

de números primos.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Então, para realizar a tarefa aparentemente impossível

of finding infinite beds for infinite buses

de encontrar infinitos leitos

para infinitos ônibus

of infinite weary travelers,

com infinitos passageiros cansados,

the night manager assigns every current guest

o gerente noturno reserva a cada hóspede atual

to the first prime number, 2,

o primeiro número primo, 2,

raised to the power of their current room number.

elevado à potência do número do seu quarto atual.

So, the current occupant of room number 7

Assim, o atual ocupante do quarto número 7

goes to room number 2^7,

vai para o quarto número 2^7,

which is room 128.

que é o quarto 128.

O gerente noturno a seguir leva as pessoas

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

do primeiro dos ônibus infinitos

and assigns them to the room number

e as acomoda no quarto cujo número

of the next prime, 3,

é o número primo seguinte, o 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

elevado à potência do número do seu assento no ônibus.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Então, a pessoa no assento de número 7 no primeiro ônibus

goes to room number 3^7

vai para o quarto número 3^7,

or room number 2,187.

ou o quarto número 2.187.

This continues for all of the first bus.

Isto continua para todos os do primeiro ônibus.

The passengers on the second bus

Aos passageiros do segundo ônibus

are assigned powers of the next prime, 5.

são associadas potências do número primo seguinte, o 5.

The following bus, powers of 7.

O próximo ônibus, potências de 7.

Each bus follows:

Segue para cada ônibus:

powers of 11, powers of 13,

potências de 11,

potências de 13,

powers of 17, etc.

potências de 17, etc.

Since each of these numbers

Tendo em vista que cada um destes números

only has 1 and the natural number powers

tem apenas 1 valor único para as potências dos números naturais

of their prime number base as factors,

de seus números primos tomados como base,

there are no overlapping room numbers.

não há superposição do número de quartos.

All the buses' passengers fan out into rooms

Todos os passageiros dos ônibus distribuem-se pelos quartos

using unique room-assignment schemes

usando esquemas de reservas únicos,

based on unique prime numbers.

baseados em números primos únicos.

In this way, the night manager can accommodate

Desta forma, o gerente da noite pode acomodar

every passenger on every bus.

cada passageiro de cada ônibus,

Although, there will be many rooms that go unfilled,

embora muitos quartos permanecerão vazios,

como o quarto 6,

like room 6,

já que 6 não é uma potência de nenhum número primo.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Felizmente, seus patrões não eram muito bons de matemática,

so his job is safe.

de modo que seu emprego está a salvo.

The night manager's strategies are only possible

As estratégias do gerente noturno são possíveis apenas

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

porque, embora o Hotel Infinito

seja com certeza um pesadelo logístico,

it only deals with the lowest level of infinity,

ele lida apenas com o nível mais baixo do infinito,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

principalmente, o infinito contável

dos números naturais,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4 e assim por diante.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor chamou este nível de infinito aleph-zero.

We use natural numbers for the room numbers

Usamos números naturais para os números dos quartos

bem como para os números dos assentos dos ônibus.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Se trabalharmos com ordens superiores de infinito,

such as that of the real numbers,

como aquela dos números reais,

these structured strategies would no longer be possible

estas estratégias estruturadas

não serão mais possíveis

as we have no way to systematically include every number.

por não termos meios

de incluir sistematicamente cada número.

O Hotel Infinito do Número Real tem

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

quartos com números negativos no subsolo,

fractional rooms,

quartos com número fracionários,

so the guy in room 1/2 always suspects

de modo que o cara do quarto 1/2 sempre desconfia

he has less room than the guy in room 1.

que ele tem menos espaço do que aquele do quarto 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Quartos numerados com raiz quadrada, como o quarto radical 2

and room pi,

e o quarto pi,

where the guests expect free dessert.

onde os hóspedes esperam ter sobremesa grátis.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Qual gerente que se preza

desejaria trabalhar ali,

even for an infinite salary?

mesmo com um salário infinito?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Mas no Hotel Infinito de Hilbert,

where there's never any vacancy

onde nunca nunca existe vaga

and always room for more,

e há sempre quarto para mais gente,

the scenarios faced by the ever-diligent

os cenários enfrentados pelo gerente sempre esforçado

and maybe too hospitable night manager

e talvez excessivamente hospitaleiro

serve to remind us of just how hard it is

servem para nos lembrar

do quanto é difícil

for our relatively finite minds

para as nossas mentes relativamente finitas

to grasp a concept as large as infinity.

entender um conceito tão amplo como o infinito.

Maybe you can help tackle these problems

Talvez você possa ajudar a resolver estes problemas

depois de uma boa noite de sono.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Mas, honestamente, talvez seja preciso

to change rooms at 2 a.m.

que você troque de quarto às 2 horas da madrugada.