The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

무한 호텔의 역설 - 제프 데코프스키 (Jeff Dekofsky)

번역: 은지 고 검토: Sujin Byeon

In the 1920's,

1920년대,

the German mathematician David Hilbert

독일 수학자인 데이비드 힐베르트는

devised a famous thought experiment

유명한 사고 실험을 고안해 냈습니다.

to show us just how hard it is

이 실험은 우리가 무한의 개념을 이해하는 것이

to wrap our minds around the concept of infinity.

얼마나 힘든 도전인지를 보여주죠.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

무한개의 방을 가진 호텔, 그리고 매우 근면한

and a very hardworking night manager.

야간 근무 지배인을 상상해 봅시다.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

어느날 밤, 이 무한 호텔이 꽉 차게 되었습니다.

totally booked up with an infinite number of guests.

무한히 많은 손님들이 모두 예약을 했던거죠.

A man walks into the hotel and asks for a room.

이 때 손님 한명이 걸어 들어와

방을 요구합니다.

그를 돌려보내는 대신

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

이 호텔 지배인은 빈방을 만들어내기로 했습니다.

How?

어떻게 일까요?

Easy, he asks the guest in room number 1

쉽습니다. 그는 1호실 손님에게

to move to room 2,

2호실로 옮겨달라고 양해를 구했습니다.

the guest in room 2 to move to room 3,

2호실 손님은 3호실으로

and so on.

그렇게 나아갔죠.

Every guest moves from room number "n"

n호실에 있던 손님들이 모두

to room number "n+1".

n+1호실으로 옮겨 주었습니다.

Since there are an infinite number of rooms,

무한개의 방이 있었기 때문에

there is a new room for each existing guest.

호텔에 묵던 각각의 손님들에게 새로운 방이 주어졌고

This leaves room 1 open for the new customer.

이제 1호실은 비어서, 새로운 손님을 맞았죠.

The process can be repeated

이 과정은 유한한 숫자의 손님이

for any finite number of new guests.

새로 들어올 때 반복할 수 있어요.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

만약 관광버스가

빈 방을 찾는 40명의 손님을 태우고 왔다면

then every existing guest just moves

원래 묵고 있던 손님들에게

from room number "n"

n호실에서

to room number "n+40",

n+40호실로 옮겨달라고 하면 되죠.

thus, opening up the first 40 rooms.

그러면 맨 앞의 40개의 빈 방이 생깁니다.

그런데 이번엔 무한히 긴 버스가

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

무한히 셀 수 있는 숫자의

pulls up to rent rooms.

승객들을 내려 놓고 떠났네요?

countably infinite is the key.

무한히 "셀 수 있다" 는 것이 핵심입니다.

무한한 승객들이 탄 무한한 버스가

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

이 지배인을 당황시켰지만,

but he realizes there's a way

새로운 손님을 맞이할 방법을 생각해냈습니다.

to place each new person.

무한한 손님이 두배가 되었으니까

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

그는 1호실 손님에게

2호실로,

He then asks the guest in room 2

2호실 손님에게는

to move to room 4,

4호실로,

the guest in room 3 to move to room 6,

3호실 손님에게는

6호실로 옮겨달라고 요청합니다.

and so on.

그렇게 나아갔죠.

Each current guest moves from room number "n"

각각의 투숙객은 n호실에서

to room number "2n" --

2n호실로 옮겨갔습니다.

filling up only the infinite even-numbered rooms.

오직 짝수 호실만 채워졌기 떄문에

By doing this, he has now emptied

이제 무한히 많은 수의 홀수 객실이

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

비게 되었습니다.

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

바로 무한한 버스의

승객들이 투숙할 방이죠.

모두들 행복해 했고, 호텔 사업은

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

그 어느때보다 호황을 누리게 되었습니다.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

네 정말로 호황을 누렸어요.

지금까지 한번도 이런 호텔은 없었어요.

banking an infinite number of dollars a night.

하룻밤에 무한한 양의 돈을 벌어들였죠.

이 믿기 힘든 호텔은 명성이 자자해져서

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

아주 먼 곳에서부터 사람들이 쏟아져 들어왔습니다.

One night, the unthinkable happens.

하루는 생각지도 못한 일이 벌어졌어요.

The night manager looks outside

호텔 지배인이 밖을 내다보는데,

and sees an infinite line of infinitely large buses,

무한히 큰 버스들이

무한히 줄을 서있었답니다.

each with a countably infinite number of passengers.

각각은 무한히 셀 수 있는 숫자의 승객들을 싣고 있었죠.

What can he do?

이제 어떻게 해야 하죠?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

그들을 위한 방을 어떻게 만들어내지요?

이제 호텔은 무한한 양의 돈을

on an infinite amount of money,

잃게 되고 말겁니다.

and he will surely lose his job.

물론 그는 직장에서 쫓겨날테죠.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

운좋게도 그는

기원전 300년 유클리드의 증명을 기억해냈습니다.

Euclid proved that there is an infinite quantity

소수는 그 개수가

of prime numbers.

무한하다는 것이죠.

So, to accomplish this seemingly impossible task

그래서, 지친 여행자들이 탄

of finding infinite beds for infinite buses

무한한 버스의 무한한 승객들에게

무한히 많은 방을 제공하는,

of infinite weary travelers,

성공 불가능해 보이는 일을 시작했어요.

the night manager assigns every current guest

지금 호텔에 묵고있는 숙박객들에게

첫번째 소수인 2에

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

지금 묵고 있는 방의 숫자를 제곱합니다.

So, the current occupant of room number 7

그러니까 지금 7호실에 묵고있는 손님은

goes to room number 2^7,

2의 7제곱번째 객실로 가게되죠.

which is room 128.

128호실이에요.

그리고 나서 호텔 관리인은 첫째 무한 버스의

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

승객들을 맞이하면서

and assigns them to the room number

그들에게

of the next prime, 3,

그 다음 소수인 3을 부여하고

raised to the power of their seat number on the bus.

3에 그들의 좌석 번호를 제곱합니다.

So, the person in seat number 7 on the first bus

7번 좌석에 앉았던 승객은

goes to room number 3^7

3의 7제곱 호실로 갑니다.

or room number 2,187.

2187호실이죠.

This continues for all of the first bus.

이렇게 첫번째 버스의 승객들을 투숙시키고,

The passengers on the second bus

두번째 버스의 승객들은

are assigned powers of the next prime, 5.

다음 소수인 5에 제곱을 하고,

The following bus, powers of 7.

그 다음은 7의 제곱을 하죠.

Each bus follows:

각각의 버스는 이어서

powers of 11, powers of 13,

11의 제곱

13의 제곱

powers of 17, etc.

17의 제곱 등등으로 곱합니다.

Since each of these numbers

이 숫자들은

only has 1 and the natural number powers

그들의 소수에

of their prime number base as factors,

오로지 1과 자연수의 제곱만 하기 때문에

there are no overlapping room numbers.

방 숫자가 겹칠 일은 없습니다.

All the buses' passengers fan out into rooms

모든 버스 승객들은 고유의 소수를 이용해

using unique room-assignment schemes

방을 배정 받는 전략을 통해

based on unique prime numbers.

방으로 흩어져 들어가게 됩니다.

In this way, the night manager can accommodate

이 방법으로 호텔 지배인은

every passenger on every bus.

모든 버스의 모든 승객들을 수용할 수 있습니다.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

많은 빈방이 생겨났지만 말이죠.

6호실 처럼요.

like room 6,

6은 어떤 소수의 제곱도 아니죠.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

그의 상사가 수학을 못하길 천만 다행이죠?

so his job is safe.

그는 직업을 지켜냈습니다.

The night manager's strategies are only possible

이 호텔 지배인의 "무한 호텔"은

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

분명히 논리학의 악몽이라 할 수 있을 정도인데요,

이것이 가능했던 것은

it only deals with the lowest level of infinity,

낮은 급의 무한에 관해서만 다루기 때문입니다.

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

즉, 주로 셀 수 있는 무한인

자연수에 관해서죠.

1, 2, 3, 4, and so on.

1,2,3,4,그리고 계속 나아가요.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

조지 칸토어는 이러한 급의 무한을 '알레프 0' 이라 불렀습니다.

We use natural numbers for the room numbers

우리는 자연수를 방 번호로 사용하고

버스의 좌석 번호에도 사용하죠.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

우리가 더 높은 수준의 무한을 다룬다면,

such as that of the real numbers,

즉, '실수'를 예로 들면

these structured strategies would no longer be possible

호텔 지배인의 구조화된 전략은

모든 수를 조직적으로 포함할 수 있는

as we have no way to systematically include every number.

방법이 없기 때문에

더 이상 가능하지 않습니다.

무한한 '실수' 호텔에는

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

지하의 음수 호실과

fractional rooms,

분수 호실이 생겨납니다.

so the guy in room 1/2 always suspects

2분의 1호실에 있는 투숙객은 자신이

he has less room than the guy in room 1.

1호실 보다 작은 방을 받았는지 의심하고

Square root rooms, like room radical 2,

제곱근 방, 예를 들어 2의 거듭제곱근 호실,

and room pi,

파이(π) 호실,

where the guests expect free dessert.

이 곳은 공짜 후식이 제공되는 방이죠.

What self-respecting night manager would ever want to work there

아무리 무한한 월급을 받는다 하더라도

자존심이 있는 호텔 관리인이라면

even for an infinite salary?

이런 호텔에서 일하고 싶겠어요?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

하지만 절대로 빈방이 없고

where there's never any vacancy

언제나 더 많은 방이 있는

and always room for more,

힐베르트의 무한 호텔을 찾는다면,

지금껏 맛보지 못한 기쁨을 얻게 될겁니다.

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

그리고 아마도 친절한 호텔 지배인은

serve to remind us of just how hard it is

우리에게

상대적으로 한정된 사고로

for our relatively finite minds

무한과 같은 큰 개념을 이해하는것이

to grasp a concept as large as infinity.

얼마나 힘든지 알려줄 겁니다.

Maybe you can help tackle these problems

어쩌면 여러분은 한숨 깊이 잔 다음에

이 문제들을 해결할 수도 있겠죠.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

그러고 보니 지금 새벽 두시인데

to change rooms at 2 a.m.

방 좀 다른 곳으로 옮겨주시겠어요?