The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Překladatel: Tomáš Hotový Korektor: Honza Prokes

In the 1920's,

Ve 20. letech 20. století přišel německý matematik David Hilbert

the German mathematician David Hilbert

devised a famous thought experiment

se slavným myšlenkovým experimentem,

to show us just how hard it is

jímž dokládá, jak je náročné

to wrap our minds around the concept of infinity.

úplně porozumět konceptu nekonečna.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Představte si hotel s nekonečným počtem pokojů

and a very hardworking night manager.

a velmi pracovitým recepčním.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Jednou se stane, že hotel "Nekonečno" je dočista plný,

totally booked up with an infinite number of guests.

kompletně obsazený nekonečným počtem hostů.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Do hotelu však vejde další člověk a žádá o pokoj.

Rather than turn him down,

Nežli by ho zklamal,

the night manager decides to make room for him.

recepční se rozhodne najít pro něj volný pokoj.

How?

Jak?

Easy, he asks the guest in room number 1

Jednoduše.

Požádá hosta v pokoji číslo 1,

to move to room 2,

aby se přesunul do pokoje 2;

the guest in room 2 to move to room 3,

hosta v pokoji 2, aby se přesunul do pokoje 3;

and so on.

a tak dále.

Every guest moves from room number "n"

Každý host se přesune z pokoje číslo "n"

to room number "n+1".

do pokoje číslo "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Pokojů je nekonečno,

there is a new room for each existing guest.

a tak se najde místo pro každého stávajícího hosta

This leaves room 1 open for the new customer.

a pokoj 1 se uvolní pro nového zákazníka.

The process can be repeated

Tentýž postup lze uplatnit na libovolný konečný počet nových hostů.

for any finite number of new guests.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Když třeba přijede autobus se 40 dalšími lidmi, kteří chtějí pokoj,

then every existing guest just moves

tak se každý stávající host přesune

from room number "n"

z pokoje číslo "n"

to room number "n+40",

do pokoje číslo "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

čímž se uvolní prvních 40 pokojů.

But now an infinitely large bus

Ale co když najednou přijíždí

with a countably infinite number of passengers

nekonečně velký autobus

pulls up to rent rooms.

se spočetně nekonečným počtem pasažérů?

countably infinite is the key.

Klíčem je "spočetné nekonečno".

Now, the infinite bus of infinite passengers

Nekonečný autobus s nekonečnem cestujících

perplexes the night manager at first,

zpočátku zamotá recepčnímu hlavu,

but he realizes there's a way

ale nakonec si poradí a každého ubytuje.

to place each new person.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Požádá hosta v pokoji 1, aby se přesunul do pokoje 2.

He then asks the guest in room 2

Poté požádá hosta v pokoji 2,

to move to room 4,

aby se přesunul do pokoje 4;

the guest in room 3 to move to room 6,

hosta v pokoji 3 do pokoje 6;

and so on.

a tak dále.

Each current guest moves from room number "n"

Každý stávající host se přesune z pokoje číslo "n"

to room number "2n" --

do pokoje číslo "2n".

filling up only the infinite even-numbered rooms.

Zaplní se tak pouze sudé pokoje, i když jich bude nekonečno.

By doing this, he has now emptied

Tím se zároveň vyprázdní všechny liché pokoje, jichž je také nekonečno.

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

A tak je mohou zabrat lidi proudící z nekonečného autobusu.

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

Každý je spokojený a hotel vzkvétá jako nikdy.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

No, vlastně vzkvétá úplně stejně jako vždycky,

banking an infinite number of dollars a night.

protože vydělává nekonečno dolarů za noc.

Word spreads about this incredible hotel.

Brzy se zpráva o tomto úžasném hotelu rozšíří

People pour in from far and wide.

a lidé se hrnou ze všech koutů světa.

One night, the unthinkable happens.

A pak se stane něco bláznivého.

The night manager looks outside

Recepční se podívá ven

and sees an infinite line of infinitely large buses,

a vidí nekonečně dlouhou řadu nekonečně velkých autobusů.

each with a countably infinite number of passengers.

V každém z nich sedí spočetné nekonečno pasažérů.

What can he do?

Co má dělat?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Pokud pro ně nedokáže najít pokoje, hotel přijde

on an infinite amount of money,

o nekonečně mnoho peněz

and he will surely lose his job.

a on určitě přijde o práci.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Naštěstí si vzpomene, že okolo roku 300 př. n. l.

Euclid proved that there is an infinite quantity

Eukleidés dokázal, že existuje nekonečně mnoho prvočísel.

of prime numbers.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Takže aby zvládl zdánlivě nemožný úkol

of finding infinite beds for infinite buses

a nalezl nekonečno postelí pro nekonečno autobusů

of infinite weary travelers,

s nekonečnem unavených cestujících,

the night manager assigns every current guest

přidělí recepční všem stávajícím hostům pokoje tak,

to the first prime number, 2,

že vezme první prvočíslo, 2,

raised to the power of their current room number.

a umocní ho číslem současného pokoje.

So, the current occupant of room number 7

Takže současný majitel pokoje číslo 7

goes to room number 2^7,

se přestěhuje do pokoje číslo "2 na sedmou",

which is room 128.

což odpovídá pokoji 128.

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

Recepční pak vezme všechny lidi z prvního nekonečného autobusu

and assigns them to the room number

a přiřadí jim pokojová čísla tak,

of the next prime, 3,

že vezme další prvočíslo, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

a umocní ho číslem sedadla každého pasažéra v autobuse.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Osoba se sedadlem číslo 7 v prvním autobuse

goes to room number 3^7

tudíž půjde do pokoje číslo "3 na sedmou",

or room number 2,187.

neboli do pokoje číslo 2187.

This continues for all of the first bus.

A tak se pokračuje s celým autobusem.

The passengers on the second bus

Cestující ve druhém autobuse

are assigned powers of the next prime, 5.

mají přiděleny mocniny dalšího prvočísla, 5.

The following bus, powers of 7.

Následující autobus má mocniny 7.

Each bus follows:

Další autobusy pak:

powers of 11, powers of 13,

mocniny 11, mocniny 13,

powers of 17, etc.

mocniny 17, atd.

Since each of these numbers

Obdržená čísla lze dělit jen jedničkou

only has 1 and the natural number powers

a prvočíslem, jehož mocninou vznikly,

of their prime number base as factors,

there are no overlapping room numbers.

a tak se čísla pokojů nemohou překrývat.

All the buses' passengers fan out into rooms

Všichni autobusoví cestující se rozptýlí do pokojů

using unique room-assignment schemes

díky jedinečnému systému přidělování pokojů,

based on unique prime numbers.

který je založen na jedinečnosti prvočísel.

In this way, the night manager can accommodate

Tímto způsobem dokáže recepční ubytovat

every passenger on every bus.

všechny cestující ze všech autobusů.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Spousta pokojů ovšem zbude prázdných,

like room 6,

například pokoj 6,

since 6 is not a power of any prime number.

neboť 6 není mocninou žádného prvočísla.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Naštěstí vedoucím hotelu matematika moc nejde,

so his job is safe.

a tak se recepční nemusí bát vyhazovu.

The night manager's strategies are only possible

Uvedené strategie lze použít

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

jen proto, že i když je hotel Nekonečno logistickou noční můrou,

it only deals with the lowest level of infinity,

má co do činění jen s nejnižším řádem nekonečna,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

totiž se spočetným nekonečnem přirozených čísel,

1, 2, 3, 4, and so on.

jako jsou 1, 2, 3, 4 atd.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor nazval tuto úroveň nekonečna "alef nula".

We use natural numbers for the room numbers

Čísla, která označují pokoje

as well as the seat numbers on the buses.

či sedadla v autobusech, jsou přirozená.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Kdybychom se však zabývali vyššími úrovněmi nekonečna,

such as that of the real numbers,

například reálnými čísly,

these structured strategies would no longer be possible

tyto strukturované strategie by se nedaly použít,

as we have no way to systematically include every number.

jelikož všechna čísla nelze systematicky pojmout.

The Real Number Infinite Hotel

Nekonečný hotel reálných čísel

has negative number rooms in the basement,

má v suterénu záporná čísla pokojů.

fractional rooms,

Má také zlomkové pokoje,

so the guy in room 1/2 always suspects

takže se chlápek v pokoji 1/2 cítí oproti chlápkovi z pokoje 1 dost stísněně.

he has less room than the guy in room 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Jsou tu pokoje druhé odmocniny, například pokoj √2,

and room pi,

a pokoj pí,

where the guests expect free dessert.

kde hosti očekávají zákusek zdarma.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Který recepční s trochou sebeúcty by tam chtěl pracovat,

even for an infinite salary?

i kdyby měl nekonečnou výplatu?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Ale v Hilbertově nekonečném hotelu,

where there's never any vacancy

kde není nikdy prázdno

and always room for more,

a vždy se najde místo pro další,

the scenarios faced by the ever-diligent

čelí náš pracovitý a možná příliš pohostinný recepční problémům,

and maybe too hospitable night manager

serve to remind us of just how hard it is

které nám připomínají, jak těžké je,

for our relatively finite minds

aby naše relativně konečná mysl

to grasp a concept as large as infinity.

pochopila tak ohromný pojem, jako je nekonečno.

Maybe you can help tackle these problems

Třeba nám s tím pomůžete, když se u nás dobře prospíte.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Možná se ale ve dvě ráno budete muset přesunout do jiného pokoje.

to change rooms at 2 a.m.