The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Το παράδοξο του Άπειρου Ξενοδοχείου - Τζεφ Ντεκόφσκι

Μετάφραση: Panagiota Prokopi Επιμέλεια: Dimitrios Kouzas

In the 1920's,

Τη δεκαετία του 1920, ο Γερμανός μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ

the German mathematician David Hilbert

devised a famous thought experiment

επινόησε ένα νοητικό πείραμα ώστε να αποδείξει πόσο δύσκολο είναι

to show us just how hard it is

to wrap our minds around the concept of infinity.

να αντιληφθούμε την έννοια του απείρου.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωμάτιων

and a very hardworking night manager.

και έναν σκληρά εργαζόμενο νυχτερινό υπάλληλο.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Ένα βράδυ, το Άπειρο Ξενοδοχείο γέμισε εντελώς.

totally booked up with an infinite number of guests.

Άπειροι φιλοξενούμενοι έκλεισαν όλα τα δωμάτια.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Ένας άντρας μπαίνει στο ξενοδοχείο και ζητά ένα δωμάτιο.

Rather than turn him down,

Αντί να τον απορρίψει, ο υπάλληλος αποφάσισε να τον βολέψει.

the night manager decides to make room for him.

How?

Πώς; Εύκολα!

Easy, he asks the guest in room number 1

Ζήτησε από αυτόν που έμενε στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.

to move to room 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

Από αυτόν που έμενε στο δωμάτιο 2 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 3, κτλ.

and so on.

Every guest moves from room number "n"

Κάθε φιλοξενούμενος μεταφέρεται από το δωμάτιο «ν» στο δωμάτιο «ν+1».

to room number "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Εφόσον υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους.

there is a new room for each existing guest.

This leaves room 1 open for the new customer.

Έτσι το δωμάτιο 1 είναι πάντα διαθέσιμο για καινούριους πελάτες.

The process can be repeated

Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί για κάθε πεπερασμένο αριθμό πελατών.

for any finite number of new guests.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Αν για παράδειγμα, έρθει ένα τουριστικό λεωφορείο με 40 άτομα,

then every existing guest just moves

τότε κάθε υπάρχον φιλοξενούμενος

from room number "n"

θα μετακινηθεί από το δωμάτιο «ν» στο δωμάτιο «ν+40»,

to room number "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

ώστε να αποδεσμευτούν τα πρώτα 40 δωμάτια.

Αλλά τώρα φτάνει ένα άπειρα μεγάλο λεωφορείο με άπειρους επιβάτες.

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

pulls up to rent rooms.

countably infinite is the key.

Η λύση είναι η καταμέτρηση του απείρου.

Στην αρχή, ο υπάλληλος προβληματίζεται από το άπειρο λεωφορείο και τους επιβάτες

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

but he realizes there's a way

αλλά βρίσκει τρόπο να βρει δωμάτια για όλους τους νέους ενοίκους.

to place each new person.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Ζητά από τον επισκέπτη στο δωμάτιο 1 να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2.

He then asks the guest in room 2

Έπειτα, ζητά από τον επισκέπτη του δωματίου 2 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.

to move to room 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

Στον επισκέπτη του δωματίου 3 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 6, κτλ.

and so on.

Each current guest moves from room number "n"

Όλοι οι υπάρχοντες επισκέπτες μεταφέρονται από το δωμάτιο «ν» στο δωμάτιο «2ν»,

to room number "2n" --

filling up only the infinite even-numbered rooms.

γεμίζοντας μόνο τα άπειρα δωμάτια με ζυγό αριθμό,

By doing this, he has now emptied

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

Έτσι έμειναν κενά όλα τα απείρως πολλά, με μονό αριθμό, δωμάτια,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

τα οποία ύστερα δόθηκαν στους επιβάτες του άπειρου λεωφορείου.

Όλοι είναι ευχαριστημένοι και οι δουλειές πάνε καλύτερα από ποτέ.

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Για την ακρίβεια, οι δουλείες πάνε το ίδιο αφού εισπράττει άπειρα δολάρια τη νύχτα.

banking an infinite number of dollars a night.

Word spreads about this incredible hotel.

Η φήμη αυτού του καταπληκτικού ξενοδοχείου εξαπλώθηκε.

People pour in from far and wide.

Πελάτες καταφθάνουν από παντού.

One night, the unthinkable happens.

Ένα βράδυ συνέβη κάτι αδιανόητο.

The night manager looks outside

Ο υπάλληλος κοίταξε την είσοδο και είδε μια άπειρη ουρά

and sees an infinite line of infinitely large buses,

με απείρως μεγάλα λεωφορεία με άπειρους επιβάτες στο καθένα.

each with a countably infinite number of passengers.

What can he do?

Τι να έκανε!

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Αν δε βρει δωμάτια γι' αυτούς, θα ζημιώσει το ξενοδοχείο και θα απολυθεί σίγουρα.

on an infinite amount of money,

and he will surely lose his job.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Ευτυχώς, θυμήθηκε πως περίπου το 300 π.Χ., ο Ευκλείδης απέδειξε

Euclid proved that there is an infinite quantity

πως υπάρχει μια άπειρη ποσότητα πρώτων αριθμών.

of prime numbers.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Για να κατορθώσει, λοιπόν, το αδύνατο

of finding infinite beds for infinite buses

και να βρει άπειρα κρεβάτια για άπειρα λεωφορεία για άπειρους ταξιδιώτες,

of infinite weary travelers,

the night manager assigns every current guest

ο υπάλληλος τοποθετεί τους παλιούς ένοικους στον αρχικό πρώτο αριθμό,

to the first prime number, 2,

τον αριθμό 2, εις τη δύναμη του αριθμού του δωματίου που είχαν.

raised to the power of their current room number.

So, the current occupant of room number 7

Έτσι ο τωρινός ένοικος του δωματίου 7

goes to room number 2^7,

πηγαίνει στο δωμάτιο 2 εις την 7η, που είναι το 128.

which is room 128.

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

Έπειτα, ο υπάλληλος παίρνει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου

and assigns them to the room number

και τους δίνει τον αριθμό δωματίου

of the next prime, 3,

με τον επόμενο πρώτο αριθμό, το 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

εις τον αριθμό της θέσης τους στο λεωφορείο.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Έτσι, ο επιβάτης στη θέση 7 του πρώτου λεωφορείου πάει στο δωμάτιο 3 εις την 7η,

goes to room number 3^7

δηλαδή το δωμάτιο 2.187.

or room number 2,187.

This continues for all of the first bus.

Αυτό συνεχίζεται για όλους τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου.

The passengers on the second bus

Για τους επιβάτες του 2ου λεωφορείου

are assigned powers of the next prime, 5.

χρησιμοποιεί τις δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, το 5.

The following bus, powers of 7.

Για το επόμενο λεωφορείο, δυνάμεις του 7.

Each bus follows:

Για κάθε λεωφορείο που ακολουθεί, δυνάμεις του 11, του 13, του 17, κτλ.

powers of 11, powers of 13,

powers of 17, etc.

Since each of these numbers

Εφόσον κάθε αριθμός

only has 1 and the natural number powers

έχει ως βάση έναν πρώτο αριθμό εις τη δύναμη ενός φυσικού αριθμού,

of their prime number base as factors,

δεν υπάρχουν αλληλοεπικαλυπτόμενοι αριθμοί.

there are no overlapping room numbers.

All the buses' passengers fan out into rooms

Όλοι οι επιβάτες τακτοποιήθηκαν σε δωμάτια

using unique room-assignment schemes

χρησιμοποιώντας ένα μοναδικό σχέδιο εκχώρησης δωματίου,

based on unique prime numbers.

βασισμένο σε μοναδικούς πρώτους αριθμούς.

In this way, the night manager can accommodate

Έτσι ο υπάλληλος έχει πάντα διαθέσιμα δωμάτια

every passenger on every bus.

για τους επιβάτες όλων των λεωφορείων.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Αν και θα μείνουν πολλά κενά δωμάτια όπως το 6,

like room 6,

since 6 is not a power of any prime number.

αφού το 6 δεν είναι δύναμη κανενός πρώτου αριθμού.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Ευτυχώς, τα αφεντικά του δεν ξέρουν καλά μαθηματικά και έτσι είναι ήσυχος.

so his job is safe.

The night manager's strategies are only possible

Οι στρατηγικές του υπαλλήλου είναι εφικτές μόνο επειδή

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

αν και το ξενοδοχείο «Άπειρο» είναι ο εφιάλτης κάθε διαχειριστή,

it only deals with the lowest level of infinity,

διαπραγματεύεται μόνο με το απλό άπειρο,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

δηλαδή το μετρήσιμο άπειρο των φυσικών αριθμών, 1, 2, 3, 4, κτλ.

1, 2, 3, 4, and so on.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Ο Γκέοργκ Κάντορ ονόμασε αυτό το επίπεδο: Άλεφ-μηδέν.

We use natural numbers for the room numbers

Χρησιμοποιούμε φυσικούς αριθμούς για τα δωμάτια και τις θέσεις των λεωφορείων.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Εάν ασχολούμασταν με υψηλότερες τάξεις απείρου, όπως των πραγματικών αριθμών,

such as that of the real numbers,

these structured strategies would no longer be possible

δεν θα ίσχυαν οι ίδιες μεθοδευμένες στρατηγικές,

as we have no way to systematically include every number.

καθώς δεν υπάρχει τρόπος να συμπεριλάβουμε κάθε αριθμό συστηματικά.

Το Άπειρο Ξενοδοχείο Πραγματικών Αριθμών,

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

έχει δωμάτια με αρνητικούς αριθμούς στο υπόγειο, κλασματικά δωμάτια,

fractional rooms,

so the guy in room 1/2 always suspects

έτσι ο ένοικος στο δωμάτιο 1/2 υποψιάζεται

he has less room than the guy in room 1.

πως έχει μικρότερο δωμάτιο από αυτόν στο 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Δωμάτια με τετραγωνική ρίζα, όπως το δωμάτιο ρίζα 2 και το δωμάτιο π,

and room pi,

where the guests expect free dessert.

όπου οι ένοικοι απαιτούν δωρεάν επιδόρπιο.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Ποιος αξιοπρεπής υπάλληλος θα ήθελε να δουλέψει εκεί,

even for an infinite salary?

έστω και αν λάμβανε έναν άπειρα μεγάλο μισθό;

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Στο ξενοδοχείο «Άπειρο» του Χίλμπερτ, όπου είναι πάντα πλήρες αλλά χωράει και άλλους,

where there's never any vacancy

and always room for more,

the scenarios faced by the ever-diligent

τα σενάρια που έχει να αντιμετωπίσει ο πιο εργατικός και φιλόξενος υπάλληλος,

and maybe too hospitable night manager

serve to remind us of just how hard it is

μας υπενθυμίζουν πόσο δύσκολο είναι για το περιορισμένο μυαλό μας,

for our relatively finite minds

to grasp a concept as large as infinity.

να συλλάβει μια τόσο μεγάλη έννοια, όσο αυτή του απείρου.

Maybe you can help tackle these problems

Ίσως μετά από έναν καλό ύπνο να μπορέσετε να λύσετε τέτοια προβλήματα.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Αλλά για να είμαστε ειλικρινείς, μπορεί να σας αλλάξουμε δωμάτιο στις 2 τη νύχτα.

to change rooms at 2 a.m.