The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Paradoks nieskończonego hotelu - Jeff Dekofsky

Tłumaczenie: Kasia Żarnowska Korekta: Rysia Wand

In the 1920's,

W latach 20. XX wieku

the German mathematician David Hilbert

niemiecki matematyk, David Hilbert,

devised a famous thought experiment

opracował słynny eksperyment myślowy,

to show us just how hard it is

w którym pokazał, jak trudno jest

to wrap our minds around the concept of infinity.

ogarnąć rozumem nieskończoność.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Wyobraźcie sobie hotel z nieskończoną liczbą pokoi

and a very hardworking night manager.

oraz bardzo pracowitego kierownika nocnej zmiany.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Pewnej nocy wszystkie pokoje nieskończonego hotelu są zajęte

totally booked up with an infinite number of guests.

przez nieskończoną liczbę gości.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Do hotelu wchodzi człowiek,

pytając o wolny pokój.

Zamiast mu odmówić,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

kierownik postanawia znaleźć dla niego miejsce.

How?

Jak?

Easy, he asks the guest in room number 1

To proste: prosi gościa z pokoju numer 1,

to move to room 2,

żeby przeniósł się do pokoju numer 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

gościa z dwójki przenosi do trójki

and so on.

i tak dalej.

Every guest moves from room number "n"

Każdy gość przenosi się z pokoju o numerze "n"

to room number "n+1".

do pokoju o numerze "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Ponieważ liczba pokoi jest nieskończona,

there is a new room for each existing guest.

dla każdego gościa znajdzie się miejsce.

This leaves room 1 open for the new customer.

W ten sposób pokój numer 1 będzie wolny dla nowego gościa.

The process can be repeated

Proces można powtórzyć

for any finite number of new guests.

dla dowolnej, skończonej liczby gości.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Jeżeli z autobusu wysiądzie

40 osób szukających wolnego pokoju,

then every existing guest just moves

wtedy każdy zameldowany gość

from room number "n"

przeniesie się z pokoju "n"

to room number "n+40",

do pokoju "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

zwalniając w ten sposób pierwsze 40 pokoi.

Następnie pod hotel podjeżdża

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

nieskończenie długi autobus

pulls up to rent rooms.

z przeliczalnie nieskończoną liczbą pasażerów.

countably infinite is the key.

Przeliczalna nieskończoność jest tu ważna.

Now, the infinite bus of infinite passengers

Nieskończony autobus z nieskończoną ilością pasażerów

perplexes the night manager at first,

początkowo zaskakuje menedżera,

but he realizes there's a way

ale szybko znajduje on sposób

to place each new person.

na pomieszczenie nowych gości.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Gościa z pokoju 1

przenosi do pokoju 2,

He then asks the guest in room 2

gościa z pokoju 2,

to move to room 4,

do pokoju 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

a tego z pokoju 3,

do pokoju 6,

and so on.

i tak dalej.

Each current guest moves from room number "n"

Każdy zameldowany gość przenosi się z pokoju "n"

to room number "2n" --

do pokoju "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

zapełniając tylko parzyste numery pokoi.

W ten sposób kierownik opróżnił nieskończenie wiele pokoi

By doing this, he has now emptied

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

o numerach nieparzystych,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

które teraz może przydzielić gościom

wysypującym się z nieskończenie długiego autobusu.

Wszyscy są zadowoleni, a biznes kręci się w najlepsze.

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

W zasadzie kręci się tak samo jak zwykle,

banking an infinite number of dollars a night.

przynosząc co noc nieskończony dochód.

Hotel staje się sławny.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Zewsząd zjeżdżają się goście.

One night, the unthinkable happens.

Pewnej nocy wydarza się coś niewyobrażalnego.

The night manager looks outside

Kierownik wygląda przez okno

and sees an infinite line of infinitely large buses,

i widzi nieskończenie długą kolejkę

nieskończenie długich autobusów,

each with a countably infinite number of passengers.

z nieskończenie dużą liczbą pasażerów.

What can he do?

Co ma zrobić?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Jeśli nie znajdzie dla nich pokoi,

hotel straci

on an infinite amount of money,

nieskończenie wiele pieniędzy,

and he will surely lose his job.

a on może stracić pracę.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Kierownik pamięta jednak,

że około 300 roku p.n.e.

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euklides udowodnił istnienie

of prime numbers.

nieskończonej ilości liczb pierwszych.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Żeby znaleźć nieskończoną liczbę łóżek

of finding infinite beds for infinite buses

dla nieskończonej liczby

zmęczonych pasażerów wszystkich autobusów,

of infinite weary travelers,

the night manager assigns every current guest

kierownik przenosi każdego obecnego gościa do pokoju o numerze

to the first prime number, 2,

2 do potęgi równej numerowi ich obecnego pokoju.

raised to the power of their current room number.

So, the current occupant of room number 7

Obecny mieszkaniec pokoju 7

goes to room number 2^7,

przeniesie się do pokoju 2^7,

which is room 128.

czyli 128.

Następnie kierownik zaprasza gości

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

z pierwszego autobusu

and assigns them to the room number

i przydziela im pokoje o numerze

of the next prime, 3,

równym kolejnej liczbie pierwszej,

raised to the power of their seat number on the bus.

3 do potęgi równej numerowi ich fotela w autobusie.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Osoba z fotela 7

goes to room number 3^7

zamieszka w pokoju 3^7,

or room number 2,187.

czyli 2187.

This continues for all of the first bus.

W ten sposób rozmieszcza wszystkich pasażerów pierwszego autobusu.

The passengers on the second bus

Ci z drugiego autobusu zajmą pokoje

are assigned powers of the next prime, 5.

oznaczone potęgami kolejnej liczby pierwszej, 5.

The following bus, powers of 7.

Pasażerowie następnego - liczby 7,

Each bus follows:

a kolejnych autobusów

powers of 11, powers of 13,

liczby 11, liczby 13,

powers of 17, etc.

liczby 17 i tak dalej

Since each of these numbers

Ponieważ potęgowane są liczby

only has 1 and the natural number powers

o takiej samej podstawie potęgi,

of their prime number base as factors,

a wykładnikami są kolejne liczby naturalne,

there are no overlapping room numbers.

numery pokoi się nie powtarzają.

All the buses' passengers fan out into rooms

Pasażerowie autobusów zajmują pokoje

using unique room-assignment schemes

przydzielone według unikatowego schematu

based on unique prime numbers.

opartego na niepowtarzalnych liczbach pierwszych.

In this way, the night manager can accommodate

W ten sposób kierownik może pomieścić

every passenger on every bus.

pasażerów wszystkich autobusów.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Wiele pokoi pozostanie pustych,

na przykład pokój 6,

like room 6,

ponieważ 6 nie jest potęgą żadnej liczby pierwszej.

since 6 is not a power of any prime number.

Na szczęście szefowie kierownika są słabi z matematyki,

Luckily, his bosses weren't very good in math,

so his job is safe.

więc jego posada jest bezpieczna.

The night manager's strategies are only possible

Strategię kierownika można zastosować tylko dlatego,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

że Nieskończony Hotel,

choć trudny w zarządzaniu,

it only deals with the lowest level of infinity,

opiera się jedynie na najprostszym rodzaju nieskończoności,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

czyli nieskończoności policzalnej

liczb naturalnych

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, i tak dalej.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor nazwał ten poziom nieskończoności alef-zero.

We use natural numbers for the room numbers

Do oznaczenia numerów pokoi oraz siedzeń w autobusie

as well as the seat numbers on the buses.

używamy liczb naturalnych.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Gdybyśmy mieli do czynienia z nieskończonością wyższego rzędu,

such as that of the real numbers,

na przykład związaną z liczbami rzeczywistymi,

these structured strategies would no longer be possible

taka strategia na nic by się nie zdała,

as we have no way to systematically include every number.

bo nie da się uwzględnić wszystkich liczb.

Nieskończony Hotel Liczb Rzeczywistych

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

ma w piwnicy pokoje o numeracji ujemnej,

fractional rooms,

a także ułamkowej,

so the guy in room 1/2 always suspects

więc mieszkaniec pokoju 1/2 podejrzewa,

he has less room than the guy in room 1.

że ma mniej miejsca niż mieszkaniec pokoju 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Są pokoje pierwiastków kwadratowych, jak pierwiastek z 2

and room pi,

oraz pokój o numerze Pi,

where the guests expect free dessert.

którego mieszkańcy dostają darmowy deser.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Jaki szanujący się kierownik

chciałby tam pracować,

even for an infinite salary?

nawet za nieskończenie wysoką pensję?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Ale w Nieskończonym Hotelu Hilberta,

where there's never any vacancy

gdzie nigdy nie ma wolnych pokoi

and always room for more,

lecz zawsze znajdzie się miejsce dla gości,

the scenarios faced by the ever-diligent

sytuacje, którym musi sprostać

and maybe too hospitable night manager

nasz pracowity i zbyt gościnny kierownik,

serve to remind us of just how hard it is

przypominają o tym,

jak ciężko jest objąć

for our relatively finite minds

naszym skończonym umysłem

to grasp a concept as large as infinity.

tak rozległą koncepcję, jaką jest nieskończoność.

Maybe you can help tackle these problems

Może łatwiej będzie ci to ogarnąć,

kiedy porządnie się wyśpisz.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Ale uważaj - być może będziesz musiał

to change rooms at 2 a.m.

zmienić pokój o 2 nad ranem.