The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Paradoks Beskonačnog hotela - Džef Dekofski (Jeff Dekofsky)

Prevodilac: Miloš Milosavljević Lektor: Mile Živković

In the 1920's,

Dvadesetih godina 20. veka

the German mathematician David Hilbert

nemački matematičar Dejvid Hilbert

devised a famous thought experiment

smislio je čuveni misaoni eksperiment

to show us just how hard it is

da bi nam pokazao kako je teško

to wrap our minds around the concept of infinity.

zamisliti pojam beskonačnosti.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Zamislite hotel sa beskonačnim brojem soba

and a very hardworking night manager.

i vrlo vrednim noćnim poslovođom.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Jedne noći, Beskonačni hotel je dupke pun,

totally booked up with an infinite number of guests.

ceo je popunjen beskonačnim brojem gostiju.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Čovek ulazi u hotel

i traži sobu.

Ne želeći da ga odbije,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

noćni poslovođa odlučuje da mu napravi mesta.

How?

Kako?

Easy, he asks the guest in room number 1

Lako. Zamoli gosta iz sobe broj 1

to move to room 2,

da se premesti u sobu broj 2,

the guest in room 2 to move to room 3,

gosta iz sobe 2 da pređe u sobu 3

and so on.

i tako dalje.

Every guest moves from room number "n"

Svaki gost prelazi iz sobe "n"

to room number "n+1".

u sobu "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Pošto ima beskonačan broj soba,

there is a new room for each existing guest.

postoji nova soba za svakog postojećeg gosta.

This leaves room 1 open for the new customer.

Time ostaje slobodna soba za novu mušteriju.

The process can be repeated

Ovaj proces se može ponoviti

for any finite number of new guests.

za svaki konačan broj novih gostiju.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Ako bi, na primer, autobus istovario

40 novih ljudi koji traže sobe,

then every existing guest just moves

onda svaki postojeći gost samo pređe

from room number "n"

iz sobe broj "n"

to room number "n+40",

u sobu broj "n+40"

thus, opening up the first 40 rooms.

i tako se otvori prvih 40 soba.

Ali sada, beskonačno veliki autobus

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

sa prebrojivo beskonačnim brojem putnika

pulls up to rent rooms.

pristaje pored hotela.

countably infinite is the key.

Prebrojivo beskonačno je ključna stvar.

Beskonačni autobus sa beskonačnim putnicima

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

zbunjuje poslovođu u prvi mah,

but he realizes there's a way

ali onda shvata da postoji način

to place each new person.

da smesti sve nove ljude.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Zamoli gosta u sobi 1

da pređe u sobu 2.

He then asks the guest in room 2

Onda zamoli gosta iz sobe 2

to move to room 4,

da pređe u sobu 4,

the guest in room 3 to move to room 6,

gosta iz sobe 3

da pređe u sobu 6

and so on.

i tako dalje.

Each current guest moves from room number "n"

Svaki postojeći gost prelazi iz sobe broj "n"

to room number "2n" --

u sobu broj "2n"

filling up only the infinite even-numbered rooms.

popunjavajući samo beskonačan broj parnih soba.

By doing this, he has now emptied

Uradivši ovo, on je ispraznio

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

sve neparne sobe kojih ima beskonačan broj,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

u koje su onda ušli ljudi

koji su izašli iz beskonačnog autobusa.

Svi su zadovoljni i hotel posluje

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

bolje nego ikad.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

U stvari, posluje

sa istom zaradom kao i uvek,

banking an infinite number of dollars a night.

inkasirajući beskonačan broj dolara svake noći.

Priča o ovom neverovatnom hotelu se širi.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Ljudi dolaze sa svih strana.

One night, the unthinkable happens.

Jedne noći, dešava se nezamislivo.

The night manager looks outside

Noćni poslovođa gleda napolje

and sees an infinite line of infinitely large buses,

i vidi beskonačnu kolonu

beskonačno velikih autobusa,

each with a countably infinite number of passengers.

svaki sa prebrojivo beskonačnim brojem putnika.

What can he do?

Šta može da uradi?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Ako ne nađe sobe za njih

hotel će izgubiti

on an infinite amount of money,

beskonačnu sumu novca,

and he will surely lose his job.

a on će sigurno izgubiti posao.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Srećom, seti se

da je oko 300. godine p.n.e

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euklid dokazao da postoji beskonačan broj

of prime numbers.

prostih brojeva.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Da bi ispunio ovaj naizgled nemoguć zadatak

of finding infinite beds for infinite buses

da nađe beskonačan broj kreveta za beskonačne autobuse,

of infinite weary travelers,

pune umornih putnika u beskonačnom broju,

the night manager assigns every current guest

noćni poslovođa dodeljuje svakom već postojećem gostu

prvi prost broj, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

stepenovan brojem njihove sobe.

So, the current occupant of room number 7

Tako gost iz sobe broj 7

goes to room number 2^7,

odlazi u sobu broj 2^7 (2 na sedmi),

which is room 128.

a to je soba 128.

Poslovođa zatim uzima ljude

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

iz prvog od beskonačnih autobusa

and assigns them to the room number

i dodeljuje im sobu broj:

of the next prime, 3,

sledeći prost broj, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

stepenovan brojem njihovog sedišta u autobusu.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Tako osoba na sedištu broj 7 u prvom autobusu

goes to room number 3^7

odlazi u sobu broj 3^7

or room number 2,187.

to jest u sobu 2.187.

This continues for all of the first bus.

To se nastavlja za ceo prvi autobus.

The passengers on the second bus

Putnicima iz drugog autobusa

are assigned powers of the next prime, 5.

se dodeljuju eksponenti sledećeg prostog broja, 5.

The following bus, powers of 7.

Sledećem autobusu, eksponenti broja 7.

Each bus follows:

Sledećim autobusima:

powers of 11, powers of 13,

eksponenti broja 11,

eksponenti broja 13,

powers of 17, etc.

broja 17 itd.

Since each of these numbers

Pošto svaki od ovih brojeva kao delioce ima

only has 1 and the natural number powers

samo 1 i prirodne brojeve eksponente

of their prime number base as factors,

prostog broja u osnovi,

there are no overlapping room numbers.

nema preklapanja brojeva soba.

All the buses' passengers fan out into rooms

Svi putnici se raspoređuju po sobama

using unique room-assignment schemes

koristeći jedinstvenu šemu dodeljivanja soba

based on unique prime numbers.

zasnovanu na jedinstvenim prostim brojevima.

In this way, the night manager can accommodate

Na ovaj način noćni poslovođa može da smesti

every passenger on every bus.

svakog putnika iz svakog autobusa.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Mada, ostaće mnogo nepopunjenih soba,

kao, na primer soba 6

like room 6,

jer 6 nije eksponent nijednog prostog broja.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Srećom, njegovi šefovi nisu bili dobri iz matematike,

so his job is safe.

tako da nije u opasnosti da izgubi posao.

The night manager's strategies are only possible

Strategije noćnog poslovođe su moguće jer,

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

iako je Beskonačni hotel

sigurno logistička noćna mora,

it only deals with the lowest level of infinity,

on samo operiše sa najnižim nivoom beskonačnosti,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

uglavnom sa prebrojivom beskonačnošću

prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4 itd.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Kantor je nazvao ovaj nivo beskonačnosti "alef-nula".

We use natural numbers for the room numbers

Koristimo prirodne brojeve za brojeve soba,

kao i za brojeve sedišta u autobusima.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Ako bismo operisali sa višim nivoima beskonačnosti,

such as that of the real numbers,

kao što su oni realnih brojeva,

these structured strategies would no longer be possible

ove strukturirane strategije

ne bi više bile moguće

as we have no way to systematically include every number.

jer nemamo načina

da sistematski uključimo svaki broj.

Beskonačni hotel realnih brojeva ima

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

negativne brojeve soba u podrumu,

fractional rooms,

sobe sa razlomcima,

so the guy in room 1/2 always suspects

tako da čovek u sobi broj 1/2 uvek sumnja

he has less room than the guy in room 1.

da je dobio manju sobu od osobe u sobi 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Sobe sa kvadratnim korenom, kao soba "koren iz 2"

and room pi,

i soba "pi",

where the guests expect free dessert.

gde gosti očekuju besplatnu pitu.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Koji poslovođa sa samopoštovanjem

bi hteo da radi tu,

even for an infinite salary?

čak i za beskonačnu platu?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Ali u Hilbertovom Beskonačnom hotelu, gde nikad nema praznih soba

where there's never any vacancy

and always room for more,

i uvek ima mesta za još gostiju,

the scenarios faced by the ever-diligent

scenarija sa kojima se suočava uvek marljivi

and maybe too hospitable night manager

i možda suviše gostoljubivi poslovođa

serve to remind us of just how hard it is

služe da nas podsete na to kako je teško

for our relatively finite minds

za naše relativno konačne umove

to grasp a concept as large as infinity.

da shvate tako veliki pojam kao što je beskonačnost.

Maybe you can help tackle these problems

Možda možete da se pozabavite ovim problemima

posle dobrog noćnog sna.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Ali iskreno, možda ćete morati

to change rooms at 2 a.m.

da promenite sobu u 2 sata noću.