The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky

Il Paradosso dell'Hotel Infinito - Jeff Dekofsky

Traduttore: Giuseppina Arpaia Revisore: Claudia Pane

In the 1920's,

Negli anni '20,

the German mathematician David Hilbert

il matematico tedesco David Hilbert

devised a famous thought experiment

ideò un famoso esperimento

to show us just how hard it is

per mostrarci quanto sia difficile

to wrap our minds around the concept of infinity.

capire a pieno il concetto di infinito.

Imagine a hotel with an infinite number of rooms

Immaginate un hotel con un infinito numero di stanze

and a very hardworking night manager.

e un direttore notturno che si dà molto da fare.

One night, the Infinite Hotel is completely full,

Una notte, l'Hotel Infinito è completamente pieno,

totally booked up with an infinite number of guests.

prenotazioni al completo, con un infinito numero di ospite.

A man walks into the hotel and asks for a room.

Un uomo entra nell'hotel

e chiede una stanza.

Invece di mandarlo via,

Rather than turn him down,

the night manager decides to make room for him.

il direttore decide di trovargli un posto.

How?

Come?

Easy, he asks the guest in room number 1

Facile, chiede all'ospite della stanza n° 1

to move to room 2,

di spostarsi nella stanza n°2,

the guest in room 2 to move to room 3,

all'ospite della n°2 di spostarsi nella n°3,

and so on.

e così via.

Every guest moves from room number "n"

Ogni ospite si sposta dalla stanza numero "n"

to room number "n+1".

alla "n+1".

Since there are an infinite number of rooms,

Poiché c'è un numero infinito di stanze,

there is a new room for each existing guest.

c'è una stanza nuova per ogni ospite che esiste.

This leaves room 1 open for the new customer.

Questo lascia la stanza n°1 libera per il nuovo cliente.

The process can be repeated

Il processo può essere ripetuto

for any finite number of new guests.

per ogni numero finito di nuovi ospiti.

If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms,

Se, per esempio, un autobus turistico scarica

40 nuove persone in cerca di stanze,

then every existing guest just moves

allora ogni ospite presente, si sposta semplicemente

from room number "n"

dalla stanza numero "n"

to room number "n+40",

alla numero "n+40",

thus, opening up the first 40 rooms.

lasciando così libere le prime 40 stanze.

Ma ora un bus inifinitamente grande

But now an infinitely large bus

with a countably infinite number of passengers

con un numero di passeggeri infinito numerabile

pulls up to rent rooms.

si ferma per affittare stanze.

countably infinite is the key.

Infinito numerabile è il punto.

Ora, il bus infinito di passeggeri infiniti

Now, the infinite bus of infinite passengers

perplexes the night manager at first,

all'inizio lascia il direttore perplesso,

but he realizes there's a way

ma poi si rende conto che c'è un modo

to place each new person.

per sistemare ogni persona nuova.

He asks the guest in room 1 to move to room 2.

Chiede all'ospite della stanza n°1

di spostarsi nella n°2

He then asks the guest in room 2

Poi chede all'ospite della n°2

to move to room 4,

di spostarsi nella n°4,

the guest in room 3 to move to room 6,

all'ospite della n°3

di spostarsi nella n°6

and so on.

e così via.

Each current guest moves from room number "n"

Ogni ospite attuale si sposta dalla stanza numero "n"

to room number "2n" --

a quella numero "2n",

filling up only the infinite even-numbered rooms.

riempiendo solo le stanze di numero pari.

By doing this, he has now emptied

Facendo così, gli restano vuote

all of the infinitely many odd-numbered rooms,

tutte le stanze di numero dispari infinito,

which are then taken by the people filing off the infinite bus.

che vengono quindi occupate dalle persone

che scendono dal bus infinito.

Tutti sono felici e il business dell'hotel

Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.

cresce pù che mai.

Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever,

Beh, in realtà, cresce

esattamente come sempre,

banking an infinite number of dollars a night.

incassando un numero infinito di dollari a notte.

Le voci su questo hotel incredibile si spargono.

Word spreads about this incredible hotel.

People pour in from far and wide.

Le persone si riversano da ogni dove.

One night, the unthinkable happens.

Una notte, accade l'impensabile.

The night manager looks outside

Il direttore notturno guarda fuori

and sees an infinite line of infinitely large buses,

e vede una fila infinita

di bus infinitamente grandi,

each with a countably infinite number of passengers.

ognuno con un numero di passeggeri infiniti numerabili.

What can he do?

Cosa può fare?

If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out

Se non può trovare stanze per loro,

l'hotel perderà

on an infinite amount of money,

una cifra infinita di soldi,

and he will surely lose his job.

e lui perderà sicuramente il lavoro.

Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E.,

Fortunatamente, si ricorda

che intorno al 300 a.C.,

Euclid proved that there is an infinite quantity

Euclide provò che esiste una quantità infinita

of prime numbers.

di numeri primi.

So, to accomplish this seemingly impossible task

Dunque, per svolgere questo compito apparentemente impossibile

of finding infinite beds for infinite buses

di trovare letti infiniti

per bus infiniti

of infinite weary travelers,

di infiniti viaggiatori esausti,

the night manager assigns every current guest

il direttore notturno assegna ogni ospite attuale

al primo numero primo, 2,

to the first prime number, 2,

raised to the power of their current room number.

elevato alla potenza del loro numero di stanza attuale.

So, the current occupant of room number 7

Quindi, l'attuale occupante della stanza n°7

goes to room number 2^7,

va alla numero 2^7,

which is room 128.

che è la stanza 128.

Il direttore notturno poi porta le persone

The night manager then takes the people on the first of the infinite buses

del primo dei bus infiniti

and assigns them to the room number

e li assegna al numero di stanza

of the next prime, 3,

del numero primo successivo, 3,

raised to the power of their seat number on the bus.

elevato alla potenza del loro numero di sedile sul bus.

So, the person in seat number 7 on the first bus

Quindi, la persona del sedile n°7 del primo bus

goes to room number 3^7

va nella stanza n° 3^7

or room number 2,187.

o stanza 2187.

This continues for all of the first bus.

Ciò continua per tutto il primo bus.

The passengers on the second bus

Ai passeggeri del secondo bus

are assigned powers of the next prime, 5.

vengono assegnate le potenze del numero primo successivo, 5.

The following bus, powers of 7.

Al bus successivo, le potenze del 7.

Each bus follows:

Ogni bus come segue:

powers of 11, powers of 13,

potenze dell'11,

potenze del 13,

powers of 17, etc.

potenze del 17, ecc.

Since each of these numbers

Poiché ognuno di questi numeri

only has 1 and the natural number powers

è in base uno elevato

of their prime number base as factors,

alla potenza di un numero naturale,

there are no overlapping room numbers.

non ci sono numeri di stanze che si sovrappongono.

All the buses' passengers fan out into rooms

Tutti i passegeri dei bus si recano alle stanze

using unique room-assignment schemes

tramite uno schema d'assegnazione unico

based on unique prime numbers.

basato su numeri primi unici.

In this way, the night manager can accommodate

In questo modo, il direttore può sistemare

every passenger on every bus.

ogni passeggero di ogni bus.

Although, there will be many rooms that go unfilled,

Tuttavia, rimarranno molte stanze vuote,

come la n°6

like room 6,

poiché 6 non è la potenza di nessun numero primo.

since 6 is not a power of any prime number.

Luckily, his bosses weren't very good in math,

Fortunatamente, i suoi capi non erano molto bravi in matematica,

so his job is safe.

quindi il suo lavoro è salvo.

The night manager's strategies are only possible

Le strategie del direttore notturno sono possibili solo

because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare,

perché mentre l'Hotel Infinito

è sicuramente un incubo logistico,

it only deals with the lowest level of infinity,

si occupa solo del livello iniziale d'infinito,

mainly, the countable infinity of the natural numbers,

cioè l'infinito numerabile

dei numeri naturali,

1, 2, 3, 4, and so on.

1, 2, 3, 4, e così via.

Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero.

Georg Cantor ha chiamato questo livello di infinito aleph-zero.

We use natural numbers for the room numbers

Usiamo i numeri naturali per i numeri delle stanze

così come i numeri di sedile sui bus.

as well as the seat numbers on the buses.

If we were dealing with higher orders of infinity,

Se avessimo a che fare con ordini d'infinito superiori,

such as that of the real numbers,

come quello dei numeri reali,

these structured strategies would no longer be possible

queste strategie articolate

non sarebbero più possibili

as we have no way to systematically include every number.

poiché non c'è modo

di includere sistematicamente ogni numero.

L'Hotel dei Numeri Reali Infiniti ha

The Real Number Infinite Hotel

has negative number rooms in the basement,

stanze dai numeri negativi in cantina,

fractional rooms,

stanze frazionali,

so the guy in room 1/2 always suspects

quindi il tizio della stanza 1/2 sospetta sempre

he has less room than the guy in room 1.

di avere meno spazio di quello della stanza 1.

Square root rooms, like room radical 2,

Stanze a radice quadrata, come la stanza a radicale 2

and room pi,

e stanza pi greco,

where the guests expect free dessert.

dove gli ospiti s'aspettano dessert gratis.

What self-respecting night manager would ever want to work there

Quale direttore che si rispetti

vorrebbe mai lavorare lì

even for an infinite salary?

anche con uno stipendio infinito?

But over at Hilbert's Infinite Hotel,

Ma all'Hotel Infinito di Hilbert,

where there's never any vacancy

dove non c'è mai posto

and always room for more,

ma sempre spazio per altri,

gli scenari affrontati dal sempre diligente

the scenarios faced by the ever-diligent

and maybe too hospitable night manager

e forse troppo ospitale direttore notturno

serve to remind us of just how hard it is

servono a ricordarci

quanto sia difficile

for our relatively finite minds

per le nostre menti relativamente finite

to grasp a concept as large as infinity.

afferrare un concetto tanto vasto quanto l'infinito.

Maybe you can help tackle these problems

Forse puoi riuscire ad affrontare questi problemi

dopo una buona notte di sonno.

after a good night's sleep.

But honestly, we might need you

Ma onestamente, potresti dover

to change rooms at 2 a.m.

cambiare le stanze alle 2 di notte.