How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Наскільки великим є нескінченно велике число?

Перекладач: Julia Dankovych Утверджено: Hanna Leliv

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Одного разу, коли я був у четвертому класі, мій вчитель сказав нам:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Парних чисел існує стільки ж, як і звичайних".

"Really?", I thought.

"Справді?" - подумав я. Ну, так, справді, існує безмежна кількість як і парних чисел, так і звичайних, тому я припускаю, що їхня кількість однакова.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Проте парні числа входять до цілих чисел, а усі непарні числа - ні,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

тому цілих чисел має бути більше ніж парних, чи не так?

To see what my teacher was getting at,

Щоб зрозуміти, що мій учитель хотів сказати, спочатку поміркуймо, що таке дві множини одного розміру.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

Що я маю на увазі, коли кажу, що у мене така ж кількість пальців на правій руці, як і на лівій?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Звичайно, у мене є п'ять пальців на кожній руці, але насправді все простіше.

Я не мушу рахувати, а тільки пересвідчитися, що я можу зіставити їх, один до одного.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

Ми вважаємо, що деякі древні народи, які говорили мовами, котрі не мали слів для позначення

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

чисел, більших за три, використовували цей вид магії. Наприклад, якщо ви випустите овець на пашу,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

ви можете відстежити, скільки овець вийшло, відкладаючи один камінь для кожної з них,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

а потім покласти ці камені назад по одному, коли вівці повернуться,

so you know if any are missing without really counting.

щоб дізнатися, чи є відсутні, навіть не рахуючи.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Ще один приклад зіставлення, вагоміший за підрахунок:

if I'm speaking to a packed auditorium,

якщо я говорю в переповненому залі, де кожне сидіння заняте, і ніхто не стоїть,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

я знаю, що там є така ж кількість стільців, як і людей в аудиторії,

even though I don't know how many there are of either.

хоча я не знаю, скільки там людей чи крісел.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Отже, коли ми говоримо, що дві множини однакового розміру, ми маємо на увазі,

is that the elements in those sets

що елементи в цих множинах можна певним чином співставити.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

Мій учитель виклав у ряд цілі числа, а під кожне з них - його подвійне значення.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Як бачите, нижній ряд містить усі парні числа - і все сходиться.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Тобто парних чисел існує стільки ж, як і звичайних.

But what still bothers us is our distress

Але нас турбує, що парні числа є лише частиною цілих чисел.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

Та хіба це переконає вас, що я не мають однакової кількості пальців на правій та лівій руках?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

Звичайно,ні. Навіть якщо ви спробуєте співставити елементи, і вам нічого не вийде,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

вас це так легко не переконає.

that doesn't convince us of anything.

Якщо ви зможете знайти чудовий спосіб, згідно з яким елементи двох множин збігатимуться,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

тоді ми скажемо, що ці дві множини мають однакову кількість елементів.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Чи ви можете скласти список усіх можливих дробів? Це дуже важко, адже дробів чимало!

This might be hard, there are a lot of fractions!

І не ясно, який дріб має йти першим. А як упевнитися, що всі дроби є в списку?

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

Однак існує дуже розумний спосіб, завдяки якому ми можемо скласти список усіх дробів.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

Цей спосіб розробив Георг Кантор наприкінці 18 століття.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

По-перше, ми формуємо із дробів сітку. Із усіх дробів. Наприклад, ви можете знайти 117/243,

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

у 117-му рядку та 223-му стовпці.

Now we make a list out of this

Ми складемо список, починаючи з верхнього лівого кута і повертаючись назад по діагоналі,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

пропускаючи будь-які дроби, як-от 2/2, які представляють те ж саме число, котре ми вже вибрали.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

Так ми отримали список усіх дробів, тобто співставили

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

цілі числа та дроби, хоча ми думали, що дробів має бути більше.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

Гаразд, а зараз стане справді цікаво.

OK, here's where it gets really interesting.

Ви мабуть знаєте, що не всі дійсні числа - тобто не всі числа на числовій вісі - є дроби.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

Наприклад, квадратний корінь з двійки та числа пі.

Any number like this is called irrational.

Будь-яке число на кшталт цього називається ірраціональним. Не тому, що воно божевільне, а тому, що дроби

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

є коефіцієнтами цілих чисел, і їх називають раціональними числами; а всі інші числа - нераціональні, тобто ірраціональні.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Ірраціональні числа представлені нескінченними, неперіодичними десятковими числами.

So, can we make a one-to-one match

Чи можна співставити цілі числа та множину усіх десяткових чисел,

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

і раціональних, і ірраціональних? Тобто чи можна скласти список усіх десяткових чисел?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Кантор довів, що не можна. Ми не тільки не знаємо як, а й узагалі не можемо цього зробити.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Припустимо, що ви стверджуєте, що ви склали список усіх десяткових чисел. Я доведу, що у вас нічого не вийшло:

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

я покажу вам десяткове число, яке не входить до вашого списку.

I'll construct my decimal one place at a time.

Я почну з одного десяткового розряду.

For the first decimal place of my number,

Для першого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на перший десятковий розряд вашого першого числа.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Якщо це одиниця, я зроблю двійку; якщо ні - то одиницю.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Для другого десяткового розряду мого числа я подивлюсь на другий десятковий розряд вашого другого числа.

I'll look at the second place of your second number.

Знову ж таки, якщо у вас одиниця, в мене буде двійка, якщо ж ні, то одиниця.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

Бачите, як це відбувається? Десяткове число, яке я утворив, не може бути в вашому списку.

The decimal I've produced can't be on your list.

Чому? Чи може це бути ваше 143-тє число? Ні, тому що 143 розряд мого десяткового числа

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

відрізняється від 143-го розряду вашого 143 числа. Я так це зробив.

I made it that way.

Your list is incomplete.

Ваш список ще не завершений. Він не містить мого десяткового числа.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Хоч який список ви мені дасте, я утворю десяткове число, якого ще немає в цьому списку.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Так ми дійшли неймовірного висновку:

The decimal numbers cannot be put on a list.

з десяткових чисел не можна укласти список. Вони утворюють більшу нескінченність, ніж цілі числа.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Тому хоча ми знайомі з кількома ірраціональними числами, як-от квадратним коренем двійки та числа пі,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

нескінченність всіх iрраціональних чисел більша за нескінченність дробів.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Хтось сказав, що раціональні числа - дроби - це немов зірки в нічному небі;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

а ірраціональні - немов темрява.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Кантор також пояснив, що у будь-якій нескінченній множині формування нової множини з підмножин початкової множини

forming a new set made of all the subsets of the original set

представлятиме більшу нескінченність, ніж початкова множина. Це означає, що як тільки у вас з'явилась одна нескінченність,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

ви завжди можете зробити більшу нескінченність, створивши множину з усіх підмножин першої множини. А потім ще більшу,

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

створивши множину з усіх підмножин тієї множини. І так далі.

And so on.

Отож існує нескінченне число нескінченно великих чисел різних розмірів.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Якщо ця теорія збиває вас з пантелику, то ви не одні такі. Деякі найвидатніші математики часів Кантора

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

були дуже засмучені через це. Вони намагалися зробити різні нескінченні числа зайвими, щоб

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

математика могла обійтися без них.

Кантора за це обливали брудом, і він так цим перейнявся, що страждав від затяжної депресії

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

та не раз за останню половину свого життя потрапляв до божевільні.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Але врешті-решт його ідеї перемогли. Сьогодні їх вважають фундаментальними та величними.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

Усі математики прийняли його ідеї, і тепер їх вивчає кожен студент математичного коледжу,

every college math major learns them,

а я пояснив вам їх всього за декілька хвилин.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Коли-небудь, можливо, вони стануть загальними знаннями.

There's more.

Але це ще не все. Ми тільки-що зазначили, що множина десяткових чисел - тобто дійсних чисел — це

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

нескінченність більша, ніж множина цілих чисел. Кандора цікавило, чи існують нескінченності

Cantor wondered whether there are infinities

різних розмірів між цими двома нескінченностями . Він не думав, що це можливо, проте зміг це довести.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Гіпотеза Кандора відома під назвою континуум-гіпотези.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

У 1900 знаний математик Девід Гілберт назвав континуум-гіпотезу найважливішою

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

нерозв'язаною задачею в математиці.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Розв'язок цієї задачі з'явився у 20 столітті, несподівано зруйнувавши усталену парадигму.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

У 1920 році Курт Ґодел заявив, що неможливо довести, що гіпотеза-континуум хибна.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

У 1960-х роках Пол Джей Коген стверджував, що неможливо довести те, що гіпотеза-континуум правдива.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

А це свідчить про те, що в математиці все-таки існують питання, на які неможливо дати відповідь.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Дуже приголомшливий висновок.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Математику справедливо вважають вершиною людської думки,

but we now know that even mathematics has its limitations.

але тепер ми знаємо, що навіть математика має певні обмеження.

Та все ж, математика складається з воістино дивовижних речей, над якими варто задуматись.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.