How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Lucas Kaimaras

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Όταν ήμουν στην Δ' Δημοτικού, ο δάσκαλος μάς είπε μια μέρα:

"There are as many even numbers as there are numbers."

«Υπάρχουν τόσοι άρτιοι αριθμοί όσοι αριθμοί συνολικά».

"Really?", I thought.

«Αλήθεια;» σκέφτηκα.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Λοιπόν, ναι, υπάρχουν άπειρα πολλοί και από τους δύο,

so I suppose there are the same number of them.

άρα μάλλον είναι ίσοι.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Όμως οι άρτιοι αριθμοί είναι μόνο ένα μέρος των ακέραιων αριθμών,

all the odd numbers are left over,

απομένουν όλοι οι περιττοί αριθμοί,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

άρα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι ακέραιοι από όσοι άρτιοι, σωστά;

To see what my teacher was getting at,

Για να δούμε πού το πήγαινε ο δάσκαλός μου,

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

ας σκεφτούμε πρώτα τι σημαίνει ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Τι εννοώ όταν λέω ότι έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων

on my right hand as I do on left hand?

στο δεξί και αριστερό μου χέρι;

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Φυσικά, έχω πέντε δάχτυλα σε καθένα, αλλά στην ουσία είναι πολύ πιο απλό.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

Δεν χρειάζεται να μετρήσω, παρά μόνο να δω ότι μπορώ να τα συνταιριάξω ένα προς ένα.

In fact, we think that some ancient people

Μάλιστα, πιστεύουμε ότι κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

των οποίων η γλώσσα δεν είχε λέξεις για αριθμούς μεγαλύτερους του τρία,

used this sort of magic.

έκαναν αυτό το κόλπο.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Αν βγάλετε τα πρόβατά σας από τη στρούγκα για να βοσκήσουν,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

μπορείτε να παρακολουθείτε πόσα βγήκαν, παίρνοντας μία πέτρα για καθένα

and putting those stones back one by one when the sheep return,

και βάζοντας πίσω τις πέτρες μία-μία, όταν επιστρέφουν τα πρόβατα,

so you know if any are missing without really counting.

ώστε γνωρίζετε αν λείπει κάποιο, χωρίς πραγματικά να έχετε μετρήσει.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Άλλο παράδειγμα στο οποίο το ταίριασμα είναι βασικότερο από το μέτρημα:

if I'm speaking to a packed auditorium,

Αν μιλάω σε ένα γεμάτο αμφιθέατρο,

where every seat is taken and no one is standing,

με όλα τα καθίσματα κατειλημμένα και κανέναν όρθιο,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

γνωρίζω ότι υπάρχουν το ίδιο πλήθος καθισμάτων και ακροατών,

even though I don't know how many there are of either.

αν και δεν γνωρίζω το αριθμό τους.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Άρα, όταν λέμε ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος,

is that the elements in those sets

κατά βάση εννοούμε ότι τα στοιχεία τους

can be matched up one by one in some way.

μπορούν να συνταιριαστούν ένα-προς-ένα με κάποιον τρόπο.

My fourth grade teacher showed us

Ο δάσκαλός μου της Δ' Δημοτικού μας έδειξε

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

τους ακεραίους στη σειρά και κάτω από τον καθένα τον διπλάσιό του.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

Όπως βλέπετε, η κάτω γραμμή περιέχει όλους τους άρτιους

and we have a one-to-one match.

και έχουμε μία ένα-προς-ένα αντιστοίχιση.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Δηλαδή, υπάρχουν τόσοι άρτιοι, όσοι οι ακέραιοι.

But what still bothers us is our distress

Αλλά αυτό που μας ενοχλεί ακόμα είναι η δυσφορία μας

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

για το ότι οι άρτιοι αριθμοί φαίνεται να είναι μόνο μέρος όλων των αριθμών.

But does this convince you

Αλλά σας πείθει αυτό

that I don't have the same number of fingers

ότι δεν έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων

on my right hand as I do on my left?

στα δύο μου χέρια;

Of course not.

Όχι, βέβαια.

It doesn't matter if you try to match

Δεν έχει σημασία αν προσπαθείτε να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία

the elements in some way and it doesn't work,

και δεν μπορείτε, αυτό δεν μας πείθει για τίποτα.

that doesn't convince us of anything.

If you can find one way

Αν μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο

in which the elements of two sets do match up,

με τον οποίο τα στοιχεία των δύο συνόλων συνταιριάζουν,

then we say those two sets have the same number of elements.

τότε λέμε ότι αυτά τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.

Can you make a list of all the fractions?

Μπορείτε να φτιάξετε μια λίστα με όλα τα κλάσματα; Είναι δύσκολο, υπάρχουν πολλά!

This might be hard, there are a lot of fractions!

And it's not obvious what to put first,

Και δεν είναι προφανές ποιο να βάλουμε πρώτο

or how to be sure all of them are on the list.

ή πώς θα εξασφαλίσουμε ότι όλα είναι στη λίστα μας.

Nevertheless, there is a very clever way

Παρόλα αυτά, υπάρχει ένας πολύ έξυπνος τρόπος

that we can make a list of all the fractions.

για να φτιάξουμε μια λίστα με όλα τα κλάσματα.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Πρώτος το έκανε ο Γκέοργκ Κάντορ στα τέλη του 19ου αιώνα.

First, we put all the fractions into a grid.

Πρώτα βάζουμε όλα τα κλάσματα σε ένα πλέγμα.

They're all there.

Είναι όλα εκεί.

For instance, you can find, say, 117/243,

Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε τον 117/243

in the 117th row and 243rd column.

στην 117η γραμμή και 243η στήλη.

Now we make a list out of this

Τώρα κάνουμε μια λίστα από το πλέγμα

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

ξεκινώντας από πάνω αριστερά και σαρώνοντας μπρος πίσω διαγωνίως,

skipping over any fraction, like 2/2,

πηδώντας κλάσματα όπως το 2/2,

that represents the same number as one the we've already picked.

που αναπαριστά τον ίδιο αριθμό με κάποιον που σαρώσαμε νωρίτερα.

We get a list of all the fractions,

Έτσι, παίρνουμε μια λίστα με όλα τα κλάσματα,

which means we've created a one-to-one match

δηλαδή, δημιουργήσαμε μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα

between the whole numbers and the fractions,

ανάμεσα στους ακεραίους και τα κλάσματα,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

παρά το ότι ίσως νομίζαμε πως υπάρχουν περισσότερα κλάσματα.

Ωραία. Τώρα γίνεται πραγματικά ενδιαφέρον.

OK, here's where it gets really interesting.

You may know that not all real numbers

Ίσως γνωρίζετε ότι δεν είναι κλάσματα όλοι οι πραγματικοί αριθμοί -

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

δηλαδή, όλοι οι αριθμοί στην πραγματική ευθεία.

The square root of two and pi, for instance.

Για παράδειγμα η √2 και ο π.

Any number like this is called irrational.

Αριθμοί σαν αυτούς ονομάζονται άρρητοι.

Not because it's crazy, or anything,

Όχι επειδή δεν μπορούμε να τους αναφέρουμε,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

αλλά επειδή τα κλάσματα -οι λόγοι ακεραίων αριθμών-

and so are called rationals;

ονομάζονται ρητοί,

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

άρα οι υπόλοιποι είναι μη ρητοί, δηλαδή άρρητοι.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Οι άρρητοι αναπαριστώνται με άπειρου πλήθους μη επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς.

So, can we make a one-to-one match

Μπορούμε, να βρούμε μία 1-1 αντιστοίχιση ανάμεσα στους ακεραίους

between the whole numbers and the set of all the decimals,

και το σύνολο όλων των δεκαδικών ψηφίων,

both the rationals and the irrationals?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

ρητών και αρρήτων;

Μπορούμε να φτιάξουμε μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς αριθμούς;

Cantor showed that you can't.

Ο Κάντορ απέδειξε ότι δεν μπορούμε.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Όχι ότι δεν ξέρουμε πώς, αλλά ότι δεν είναι δυνατό.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

Ας πούμε ότι ισχυρίζεστε πως έχετε φτιάξει μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς.

I'm going to show you that you didn't succeed,

Θα σας αποδείξω ότι δεν τα έχετε καταφέρει,

by producing a decimal that is not on your list.

εμφανίζοντας έναν δεκαδικό, που δεν είναι στη λίστα σας.

I'll construct my decimal one place at a time.

Θα κατασκευάσω τον δεκαδικό μου ψηφίο προς ψηφίο ως εξής.

For the first decimal place of my number,

Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο στον αριθμό μου,

I'll look at the first decimal place of your first number.

θα δω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο στον πρώτο αριθμό σας.

If it's a one, I'll make mine a two;

Αν είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,

otherwise I'll make mine a one.

αλλιώς θα το κάνω 1.

For the second place of my number,

Για το δεύτερο δεκαδικό στον αριθμό μου,

I'll look at the second place of your second number.

θα δω το δεύτερο δεκαδικό στον δεύτερο αριθμό σας.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

Πάλι αν το δικό σας είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,

and otherwise I'll make mine a one.

αλλιώς θα το κάνω 1.

See how this is going?

Βλέπετε που το πάω;

The decimal I've produced can't be on your list.

Ο δεκαδικός που έχω δημιουργήσει δεν μπορεί να είναι στη λίστα σας.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Γιατί; Δεν θα μπορούσε να είναι, π.χ. ο 143ος αριθμός;

No, because the 143rd place of my decimal

Όχι.

Διότι το 143ο δεκαδικό ψηφίο του δεκαδικού μου

is different from the 143rd place of your 143rd number.

διαφέρει από το 143ο ψηφίο του δικού σας 143ου αριθμού.

I made it that way.

Έτσι τον έφτιαξα.

Your list is incomplete.

Η λίστα σας είναι λειψή.

It doesn't contain my decimal number.

Δεν περιέχει τον δεκαδικό μου αριθμό.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Ό,τι λίστα κι αν μου δώσετε, μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα

and produce a decimal that's not on that list.

και να βρω έναν δεκαδικό, που δεν ανήκει σε αυτήν τη λίστα.

So we're faced with this astounding conclusion:

Έτσι, έχουμε φτάσει σε ένα εκπληκτικό συμπέρασμα:

The decimal numbers cannot be put on a list.

Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν μπορούν να καταγραφούν σε μία λίστα.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Αναπαριστούν ένα μεγαλύτερο άπειρο από το άπειρο των ακεραίων αριθμών.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

Άρα αν και είμαστε εξοικειωμένοι με λίγους άρρητους,

like square root of two and pi,

όπως την √2 ή τον π,

the infinity of irrationals

το άπειρο των άρρητων

είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο από το άπειρο των κλασμάτων.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Κάποιος είπε κάποτε ότι οι ρητοί -τα κλάσματα-

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

είναι σαν τα άστρα στον νυχτερινό ουρανό.

The irrationals are like the blackness.

Οι άρρητοι είναι σαν τη μαυρίλα.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Ο Κάντορ επίσης έδειξε ότι για κάθε απειροσύνολο,

forming a new set made of all the subsets of the original set

ένα νέο σύνολο, που περιέχει όλα τα υποσύνολα του αρχικού συνόλου,

represents a bigger infinity than that original set.

αναπαριστά ένα μεγαλύτερο άπειρο από αυτό του αρχικού συνόλου.

This means that, once you have one infinity,

Δηλαδή, άπαξ και έχετε ένα άπειρο,

you can always make a bigger one

μπορείτε πάντα να φτιάξετε ένα μεγαλύτερο,

by making the set of all subsets of that first set.

φτιάχνοντας το σύνολο όλων των υποσυνόλων του αρχικού συνόλου.

And then an even bigger one

Και ένα ακόμα μεγαλύτερο,

by making the set of all the subsets of that one.

κατασκευάζοντας το σύνολο όλων των υποσυνόλων αυτού κ.ο.κ.

And so on.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Έτσι, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος απείρων διαφορετικών μεγεθών.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Αν αυτές οι ιδέες σας φέρνουν αμηχανία, δεν είστε οι μόνοι.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Μερικοί από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής του Κάντορ

were very upset with this stuff.

αναστατώθηκαν κι αυτοί.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Προσπάθησαν να καταστήσουν αυτά τα άπειρα άνευ σημασίας,

to make mathematics work without them somehow.

να κάνουν τα Μαθηματικά να λειτουργούν χωρίς αυτά.

Cantor was even vilified personally,

Ο ίδιος ο Κάντορ κατακρίθηκε και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

και πέρασε το δεύτερο μισό της ζωής του μπαινοβγαίνοντας σε ψυχιατρεία.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

But eventually, his ideas won out.

Τελικά όμως, οι ιδέες του επικράτησαν.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Σήμερα θεωρούνται θεμελιώδεις και λαμπρές.

All research mathematicians accept these ideas,

Όλοι οι μαθηματικοί ερευνητές τις αποδέχονται,

every college math major learns them,

κάθε φοιτητής Μαθηματικών τις μαθαίνει

and I've explained them to you in a few minutes.

και σας τις εξήγησα σε μερικά λεπτά.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Ίσως κάποια μέρα θα είναι κοινή γνώση.

There's more.

Υπάρχει κάτι ακόμα.

We just pointed out that the set of decimal numbers

Μόλις επισημάναμε ότι το σύνολο των δεκαδικών αριθμών,

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

δηλαδή των πραγματικών, είναι μεγαλύτερο άπειρο από αυτό των ακεραίων.

than the set of whole numbers.

Cantor wondered whether there are infinities

Ο Κάντορ αναρωτήθηκε αν υπάρχουν άπειρα διαφορετικού μεγέθους

of different sizes between these two infinities.

ανάμεσα σε αυτά τα δύο άπειρα.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Πίστευε ότι δεν υπήρχαν, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Η εικασία του Κάντορ έγινε γνωστή ως η Υπόθεση του Συνεχούς.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

Το 1900 ο μεγάλος μαθηματικός Ντάβιντ Χίλμπερτ

listed the continuum hypothesis

έθεσε την Υπόθεση του Συνεχούς

as the most important unsolved problem in mathematics.

ως το πιο σημαντικό άλυτο πρόβλημα στα Μαθηματικά.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Ο 20ος αιώνας απεφάνθη για αυτό το πρόβλημα,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

αλλά με έναν εντελώς αναπάντεχο, ριζοσπαστικό τρόπο.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Στη δεκαετία του 1920, ο Κερτ Γκέντελ απέδειξε

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι εσφαλμένη.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Στη δεκαετία του 1960, ο Πολ Τζ. Κόεν απέδειξε

ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Taken together, these results mean

Αυτά τα δύο μαζί σημαίνουν

ότι υπάρχουν ερωτήματα στα Μαθηματικά, που είναι αδύνατο να απαντηθούν.

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Ένα αναπάντεχο συμπέρασμα.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Τα Μαθηματικά δίκαια θεωρούνται ο κολοφώνας της ανθρώπινης διανόησης,

but we now know that even mathematics has its limitations.

αλλά τώρα γνωρίζουμε ότι ακόμα κι αυτά έχουν περιορισμούς.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

Ακόμα κι έτσι, τα Μαθηματικά μάς δίνουν μερικά εκπληκτικά πράγματα να σκεφτούμε.