How big is infinity? - Dennis Wildfogel

תרגום: Yifat Adler עריכה: Ido Dekkers

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

כשהייתי בכיתה ד', המורה אמר לנו:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"מספר המספרים הזוגיים זהה למספר המספרים הטבעיים."

"Really?", I thought.

"באמת?" חשבתי. ובכן, שניהם אינסופיים, אז אני מניח שמספרם זהה.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

אבל מצד שני, המספרים הזוגיים הם רק חלק מהמספרים הטבעיים. יש גם מספרים אי זוגיים,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

אז חייבים להיות יותר מספרים טבעיים. לא?

To see what my teacher was getting at,

כדי לראות למה התכוון המורה שלי, נחשוב מה המשמעות של שתי קבוצות באותו גודל.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

כשאני אומר "יש לי אותו מספר אצבעות ביד ימין וביד שמאל", למה אני מתכוון?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

כמובן, יש לי 5 אצבעות בכל יד, אך העניין עוד יותר פשוט.

אני לא צריך לספור. אני רק צריך לוודא שאני יכול להתאים ביניהן, אחת לאחת.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

למעשה, אנחנו חושבים שבעת העתיקה חלק מהשפות שלא כללו מילים

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

עבור מספרים גדולים מ-3 השתמשו בקסם הזה. לדוגמא, אם הוצאתם כבשה מהדיר למרעה

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

תוכלו לעקוב אחר מספר הכבשים שיצאו אם תניחו בצד אבן עבור כל כבשה שיצאה,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

ואז תחזירו אחת אחת את האבנים כשהכבשים יחזרו מהמרעה.

so you know if any are missing without really counting.

וכך תדעו אם חסרה כבשה ללא צורך בספירה.

As another example of matching being more fundamental than counting,

דוגמא נוספת לכך שהתאמה בסיסית יותר מספירה,

if I'm speaking to a packed auditorium,

אם אני מרצה לפני אולם מלא, שבו כל הכסאות תפוסים, ואף אחד לא עומד,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

אני יודע שמספר הכסאות זהה למספר האנשים בקהל,

even though I don't know how many there are of either.

למרות שאני לא יודע כמה כסאות או אנשים ישנם.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

וכך, כשאנחנו אומרים ששתי קבוצות הן באותו גודל, אנחנו מתכוונים

is that the elements in those sets

שיש דרך לבצע התאמה חד חד ערכית בין האיברים של שתי הקבוצות .

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

וכך המורה הראה לנו את המספרים הטבעיים ערוכים בשורה, ומתחת לכל מספר הוא כתב את המספר מוכפל ב-2.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

השורה התחתונה מכילה את כל המספרים הזוגיים, ויש לנו התאמה חד חד ערכית בין השורות.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

כלומר, מספר המספרים הזוגיים זהה למספר המספרים הטבעיים.

But what still bothers us is our distress

אבל איך זה יכול להיות? המספרים הזוגיים הם קבוצה חלקית של קבוצת המספרים הטבעיים.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

אבל האם זה משכנע אתכם שמספר האצבעות בידי הימנית שונה ממספר האצבעות בידי השמאלית?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

כמובן שלא. אם התאמה בדרך מסויימת נכשלת,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

זה לא מוכיח לנו שום דבר.

that doesn't convince us of anything.

אם מוצאים דרך אחת שבה יש התאמה חד חד ערכית בין איברי שתי הקבוצות

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

אז אנחנו אומרים שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

האם אתם יכולים להכין רשימה של כל השברים? זאת משימה קשה, יש המון שברים!

This might be hard, there are a lot of fractions!

ולא ברור מי מהם יהיה ראשון, או איך מוודאים שכל השברים מופיעים ברשימה.

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

עם זאת, ישנה דרך מתוחכמת להכין רשימה של כל השברים.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

הראשון שביצע זאת היה גאורג קנטור, בסוף המאה ה-19.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

ראשית, נכניס את כל השברים לטבלה. כולם נמצאים שם. לדוגמא, תוכלו למצוא את 117/243,

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

במשבצת שבשורה 117 ועמודה 243.

Now we make a list out of this

כעת נהפוך את הטבלה לרשימה. נתחיל בפינה השמאלית העליונה ונתקדם הלוך ושוב באלכסונים,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

ונדלג על שברים, כמו 2/2, שמייצגים מספר שכבר בחרנו.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

וכך קיבלנו רשימה של כל השברים. ומשמעות הדבר היא שיצרנו התאמה חד חד ערכית

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

בין המספרים הטבעיים והשברים, למרות שחשבנו שאולי אמורים להיות יותר שברים.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

אוקי, נעבור כעת לחלק המעניין באמת.

OK, here's where it gets really interesting.

יתכן שידוע לכם שלא כל המספרים הממשיים, כלומר, לא כל המספרים על ציר המספרים, הם שברים.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

שורש ריבועי של 2, והמספר פאי, הם דוגמאות לכך.

Any number like this is called irrational.

המספרים האלו נקראים מספרים אי רציונליים. לא בגלל שהם משוגעים אלא מכיוון שהשברים

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

הם יחס (ratio) בין מספרים טבעיים, ולכן הם נקראים מספרים רציונליים. ושאר המספרים הם אי רציונליים.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

המספרים האי רציונליים מיוצגים ע"י מספרים עשרוניים אינסופיים שאינם מחזוריים.

So, can we make a one-to-one match

האם נוכל לבצע התאמה חד חד ערכית בין המספרים הטבעיים לקבוצת כל המספרים העשרוניים,

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

הרציונליים והאי רציונליים? כלומר, האם נוכל להכין רשימה של כל המספרים העשרוניים?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

קנטור הוכיח שלא ניתן להכין רשימה כזו, לא רק שאנחנו לא יודעים איך, אלא שזה בלתי אפשרי.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

נניח שאתם טוענים שהצלחתם להכין רשימה של כל המספרים העשרוניים. אראה לכם שלא הצלחתם.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

אציג בפניכם מספר עשרוני שלא נמצא ברשימה שלכם.

I'll construct my decimal one place at a time.

אני אבנה את המספר העשרוני שלי ספרה אחר ספרה.

For the first decimal place of my number,

עבור הספרה הראשונה שלי, אבדוק מהי הספרה הראשונה במספר הראשון ברשימה שלכם.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

אם היא 1, הספרה שלי תהיה 2. אחרת - הספרה שלי תהיה 1.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

עבור הספרה השניה במספר שלי, אבדוק את הספרה השניה במספר השני ברשימה שלכם.

I'll look at the second place of your second number.

ושוב, אם הספרה שלכם היא 1, הספרה שלי תהיה 2. אחרת - הספרה שלי תהיה 1.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

מבינים איך זה הולך? המספר העשרוני שבניתי לא יכול להופיע ברשימה שלכם.

The decimal I've produced can't be on your list.

למה? האם הוא יכול להופיע, למשל, במקום ה-143 ברשימה שלכם? לא, מכיוון שהמקום ה-143 במספר שלי

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

שונה מהמקום ה-143 במספר ה-143 ברשימה שלכם. ככה בניתי אותו.

I made it that way.

Your list is incomplete.

ולכן, הרשימה שלכם לא שלמה. היא לא כוללת את המספר העשרוני שלי.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

ולכל רשימה שתציגו בפני, אני יכול לבצע את אותו טריק, ולבנות מספר עשרוני שלא מופיע ברשימה שלכם.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

וכך הגענו למסקנה המפתיעה הבאה:

The decimal numbers cannot be put on a list.

לא ניתן להכין רשימה של המספרים העשרוניים. הם מייצגים אינסוף גדול יותר מהאינסוף של המספרים הטבעיים.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

וכך, למרות שאנחנו מכירים רק מספר קטן של מספרים אי רציונליים, כמו שורש ריבועי של 2 או פאי,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

האינסוף של כל המספרים האי רציונליים הוא למעשה יותר גדול מהאינסוף של השברים.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

מישהו אמר פעם שהמספרים הרציונליים - השברים - הם כמו הכוכבים בשמי הלילה,

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

המספרים האי רציונליים הם כמו החשיכה.

Cantor also showed that, for any infinite set,

קנטור הראה גם שעבור כל קבוצה אינסופית, קבוצה הכוללת את כל תתי הקבוצות של הקבוצה המקורית

forming a new set made of all the subsets of the original set

מייצגת אינסוף גדול יותר מהאינסוף של הקבוצה המקורית. פירוש הדבר הוא, שברגע שיש אינסוף אחד,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

ניתן תמיד ליצור אינסוף גדול יותר אם נבנה את כל תתי הקבוצות של הקבוצה הקודמת.

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

ואז אינסוף עוד יותר גדול אם ניצור קבוצה של כל תתי הקבוצות של הקבוצה הבאה בתור. וכן הלאה.

And so on.

וכך, יש מספר אינסופי של אינסופים.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

אם זה נשמע לכם מוזר, אתם אינכם לבדכם. חלק מהמתמטיקאים הגדולים ביותר בתקופתו של קנטור

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

מצאו את הרעיונות האלה מטרידים ביותר. הם ניסו להפוך את האינסופים השונים ללא רלוונטיים,

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

ולגרום למתמטיקה להסתדר איכשהו בלעדיהם.

קנטור עצמו הוכפש באופן אישי, והוא סבל מדיכאון קשה,

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

ובילה את המחצית השניה של חייו כשהוא נכנס ויוצא מבתי חולים לחולי נפש.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

אבל בסופו של דבר הרעיונות שלו זכו להצלחה. וכיום, הם נחשבים לרעיונות יסודיים ומופלאים.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

כל המתמטיקאים העוסקים במחקר מקבלים את הרעיונות האלה, וכל תלמיד קולג' למתמטיקה לומד אותם,

every college math major learns them,

ואני הסברתי לכם אותם בכמה דקות.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

ויום אחד, אולי, כל אדם יכיר אותם.

There's more.

ויש עוד. הרגע ראינו שקבוצת המספרים העשרוניים - כלומר, המספרים הממשיים -

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

היא אינסוף גדול יותר מקבוצת המספרים הטבעיים. קנטור תהה האם יש אינסופים

Cantor wondered whether there are infinities

מגדלים שונים בין שני האינסופים האלה. הוא לא האמין שהם קיימים אך לא הצליח להוכיח את הדבר.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

ההשערה של קנטור ידועה כהשערת הרצף.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

בשנת 1900, המתמטיקאי הגדול דייוויד הילברט החשיב את השערת הרצף

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

לבעיה המתמטית הלא פתורה החשובה ביותר.

The 20th century saw a resolution of this problem,

במאה ה-20 נמצא פתרון לבעיה, בצורה לגמרי בלתי צפויה ומהפכנית.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

בשנות ה-20 של המאה ה-20, קורט גדל הראה שלא ניתן להפריך את השערת הרצף.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

ואז, בשנות ה-60 של המאה ה-20, פול ג'. כהן הראה שלא ניתן להוכיח שהשערת הרצף נכונה.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

משמעות הדברים היא שהמתמטיקה כוללת שאלות שלא ניתן למצוא להן מענה.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

מסקנה מדהימה ביותר.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

מתמטיקה נחשבת כחוד החנית של החשיבה האנושית.

but we now know that even mathematics has its limitations.

אבל כעת אנו יודעים שאפילו למתמטיקה יש מגבלות.

ועדיין, המתמטיקה כוללת חומר למחשבה מרתק עבורנו.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.