How big is infinity? - Dennis Wildfogel

무한대는 얼마나 클까?

번역: Woo Hwang 검토: K Bang

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

제가 4학년이었을 때, 선생님께서 우리들에게 이런 말씀을 하셨습니다:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"전체 숫자들 만큼이나 많은 짝수들이 있어요."

"Really?", I thought.

"정말일까?" 라고 저는 생각했어요. 네 그래요. 정말 무한히 많은 수와 짝수가 있고 저는 아마도 그 숫자들의 수가 같을거라고 생각했어요.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

하지만 짝수는 전체 숫자들의 일부이고 홀수가 남아 있잖아요,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

그래서 짝수보다는 전체 숫자가 더 많아야 한다고 생각했어요. 그렇죠?

To see what my teacher was getting at,

선생님께서 말씀하신 것을 알아보기위해 두개의 집합이 같은 크기라는것이 의미하는바를 생각해보죠.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

제가 오른손의 손가락 수와 왼손의 손가락 수가 같다고 말하면 무엇을 의미할까요?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

물론 각 손마다 5개의 손가락이 있지만 사실 더 간단하게 갯수가 같음을 알수 있습니다.

셀 필요가 없이 이렇게 두손을 겹쳐보면 됩니다.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

사실 3보다 더 큰 숫자를 표현하는 단어가 없었던

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

고대 사람들은 이런 마술같은 방법을 사용했습니다. 예를들어 양들을 우리에서 목초지로 방목을 시킬때,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

몇마리가 나갔는지는 돌을 하나씩 차례로 두고,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

양들이 돌아오면 다시 돌을 하나씩 빼게 됩니다,

so you know if any are missing without really counting.

그래서 잃어버린 양이 있는지를 알게 되는 것이죠.

As another example of matching being more fundamental than counting,

이렇게 세는것 보다 더 기본적인 예를 한가지 들어볼께요,

if I'm speaking to a packed auditorium,

서있는 사람없이 모두가 앉아 있는 강연장에서 연설을 한다면,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

도대체 몇명이 왔고, 의자의 갯수가 몇개인지는 몰라도

even though I don't know how many there are of either.

저는 이 강연에 오신 분들의 숫자가 의자수 만큼이라는 것을 알수 있습니다.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

그래서 두개의 집합이 같은 크기라는 말은

is that the elements in those sets

각 집합의 원소들이 적당한 방법으로 1대1로 대응이 된다는 말입니다.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

그래서 제 선생님께서는 전체 숫자를 쓰시고 밑에 2를 곱한 숫자를 쓰셨습니다.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

보는시대로 밑에 줄의 숫자들은 모두 짝수이고 이숫자들은 1대1로 대응 관계를 이루고 있습니다.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

그것이 바로 전체 숫자만큼 짝수의 갯수도 많다는 것입니다.

But what still bothers us is our distress

하지만 여전히 짝수는 전체 숫자들중의 일부라는 사실이 신경쓰이죠.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

그런데 이렇게하면 오른손 손가락 수가 왼손가락의 수가 다르다고 생각이 드나요?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

물론 아니죠. 여러분들이 다른 방법으로 대응해 보더라도 상관없습니다,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

그래도 우리는 그렇게 생각하지 않습니다.

that doesn't convince us of anything.

두 집합이 1대1로 대응할 수 있는 방법만 있다면

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

그 두집합의 크기는 같다고 말할수 있는 것입니다.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

모든 분수의 목록를 작성 할 수 있을까요? 너무 많아서 힘들겠죠.

This might be hard, there are a lot of fractions!

먼저 어떤 분수부터 써야할지도 명확하지 않고, 모든 분수를 목록에 작성했는지를 확인하는 것도 어렵습니다.

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

그렇지만 모든 분수의 목록를 만들수 있는 아주 똑똑한 방법이 있습니다.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

이 방법은 1800년대 말에 게오르크 칸토어(Georg Cantor)라는 독일의 수학자가 처음으로 시도했습니다.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

먼저 모든 분수를 이렇게 격자 형태로 배열합니다. 예를들어, 117/243은

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

117번째 열, 243번째 행에 있게되죠.

Now we make a list out of this

그리고 왼쪽상단에서 부터 시작하여 이렇게 대각선으로 하나씩 빼면서 리스트를 만듭니다,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

그리고 2/2와 같이 1로 약분되는 분수는 처음에 뽑았으니 포함시키지 않으면 됩니다.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

그러면 모든 분수를 포함하는 리스트를 만들 수 있게됩니다. 이 뜻은

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

더 많은 분수가 있을거라고 생각하지만 모든 숫자들에 이 분수들을 1대1로 대응 할 수 있다는 뜻입니다.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

좋습니다, 여기에 정말 재밌는게 있어요.

OK, here's where it gets really interesting.

여러분은 모든 실수가 분수는 아니라는걸 알고 있죠. 즉, 모든 수가 이 선위에 있지 않습니다.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

예를들어 루트 2와 파이(Pi)가 그렇습니다.

Any number like this is called irrational.

이런 수들을 무리수라고 합니다. 이 숫자들이 미쳐서가 아니라

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

분수들은 전체 숫자의 비율로 표시합니다, 그래서 유리수라고하죠; 즉, 나머지가 끊임없이 이어지기 때문에 무리수입니다.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

무리수는 무한히 반복되지 않는 숫자들로 표시합니다.

So, can we make a one-to-one match

그럼 모든 숫자들과 모든 유리수, 무리수사이에 1대1 대응관계를 만들수 있을까요?

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

즉, 모든 소수들의 리스트를 만들수 있겠냐는것이죠.

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

칸토어는 만들수 없다는 것을 증명했습니다. 단순히 어떻게 하는지 모르니까 안된다고 한 것이 아니라 실제로 안된다는 것을 보여주었죠.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

자 보세요, 여러분들이 그런 목록을 만들었다고 가정해보죠. 제가 그말이 잘못되었다는 것을

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

여러분이 만든 리스트에 없는 소수가 있다는 것으로 증명할 수 있습니다.

I'll construct my decimal one place at a time.

저는 한번에 소수자리 하나씩 만들겁니다.

For the first decimal place of my number,

제가 만들 소수의 첫번째 자리부터 시작해서, 여러분들의 숫자의 첫번째 소수자리부터 보죠.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

만약 여러분의 소수자리가 1이면 저는 2라고 쓰고, 그외의 숫자가 나오면 저는 1이라고 제 숫자를 만들겠습니다.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

제 숫자의 두번째 소수자리는 여러분의 두번째 숫자의 두번째 소수자리와 비교해서 만듭니다.

I'll look at the second place of your second number.

여러분의 숫자가 1이 나오면 저는 2라고 쓰고, 그외 숫자가 나오면 저는 1이라고 쓰겠습니다.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

어떻게 되지는 보세요? 제가 만들어낸 소수자리는 여러분의 숫자 리스트에는 없습니다.

The decimal I've produced can't be on your list.

왜그럴까요? 예를들어, 143번째 숫자정도에는 나올까요? 그렇지 않습니다.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

왜냐하면 제 숫자의 143번째 소수자리는 여러분 숫자의 143번째 소수자리와는 다르기 때문입니다. 이런식으로 만들었습니다.

I made it that way.

Your list is incomplete.

그래서 여러분이 만든 리스트는 완벽하지 않습니다. 제 숫자는 포함하지 않는다는 말이죠.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

그래서 여러분이 어떤 리스트를 만들더라도 저는 같은 방법으로 여러분의 리스트가 포함하지 않는 숫자를 만들수 있습니다.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

그래서 우리는 이렇게 놀라운 결론에 이르게 됩니다:

The decimal numbers cannot be put on a list.

소수는 리스트에 들어 갈 수 없습니다. 그 숫자들은 전체 숫자의 무한대 보다 더 큰 무한대를 표현합니다.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

그래서 루트 2나 파이와 같은 무리수에 친숙하기는 하지만

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

모든 무리수의 무한대는 분수의 무한대 보다 훨씬 더 큽니다.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

누군가 분수와 같은 유리수는 밤하늘의 별들과 같다고 말했습니다;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

그럼 무리수는 그냥 암흑과 같다고 생각하면 됩니다.

Cantor also showed that, for any infinite set,

또한 칸토어는 무한집합에 대해서, 원래 집합의 모든 부분집합으로 만든 새로운 집합은

forming a new set made of all the subsets of the original set

원래 집합보다 더 큰 무한대를 표현한다는 것을 증명했습니다. 이말은 여러분들이 하나의 무한대를 가지고 있다면,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

언제든지 그 부분집합으로 더 큰 집합을 만들수 있고,

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

그렇게 계속해서 반복해서 정말 더 큰 집합을 계속 만들수 있습니다.

And so on.

그래서 서로 다른 크기의 무한대 집합이 무한히 많습니다.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

이런 이야기가 잘 이해가 안되더라도 걱정마세요. 칸토어가 살았던 시대의 위대한 수학자들도

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

이말에 매우 당황했으니까요. 그분들도 이런 무한대를 별볼일 없는것으로 취급해서

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

이런 개념없이 수학을 하려고 했으니까요.

칸토어 조차도 이런 개념 때문에 비난받아 우울증으로 고통 받기도 했습니다.

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

그리고 인생의 절반을 정신병원을 오가면서 살았습니다.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

하지만 결국 그의 생각은 맞았습니다. 오늘날, 그의 생각은 중요하고 위대한 것으로 알려졌습니다.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

모든 수학자들은 이런 생각들을 인정하고, 모든 학교에서 가르칩니다.

every college math major learns them,

그리고 제가 여러분에게 불과 몇분만에 그 생각을 설명하기도 합니다.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

아마도 언젠가는 그 생각들이 상식이 되는 날이 올겁니다.

There's more.

더 많은 생각들이 그러겠죠. 우리는 단지 소수 집합은 전체 숫자의

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

집합보다 더 크다라는 점을 말했습니다. 칸토어는 이런 두개의 무한대 사이에

Cantor wondered whether there are infinities

크기가 다른 무한대가 있는지를 궁금해했습니다. 없다고 생각했지만 증명 할 수 있다고 생각했습니다.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

칸토어의 추측은 연속체 가설(Continuum Hypothesis)로 잘 알려져 있습니다.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

1900년에 유명한 수학자 데이비드 힐버트(David Hilbert)가 연속체 가설을

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

수학분야에서 풀리지 않은 가장 중요한 문제로 만들었습니다.

The 20th century saw a resolution of this problem,

20세기에 와서 전혀 기대하지 않았던 패러다임이 깨지는 방법으로 이 문제의 해결책을 보게 되었습니다.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

1920년대에, 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)은 연속체 가설이 틀렸다고는 증명할수 없음을 증명했습니다.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

그리고 1960년대에 폴 코헨(Paul J. Cohen)이 연속체 가설이 사실이라는 것을 증명할 수 없다는 것을 증명했습니다.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

두가지 증명을 종합해보면, 수학에는 답할수 없는것도 있다는 것을 의미합니다.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

정말 놀라운 결론이죠.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

수학은 사람의 이성적인 판단이 표현하는 최고점이라고 알고 있습니다.

but we now know that even mathematics has its limitations.

하지만 수학도 한계가 있다는 것을 이제 알았습니다.

그래도 여전히 수학은 사람들이 뭔가를 생각하는데 있어 아주 놀라운 도구입니다.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.